高一数学第三章函数的应用知识点总结

高一数学第三章函数的应用知识点总结

高一数学第三章函数的应用知识点总结

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象○

联系起来，并利用函数的性质找出零点．

零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。先判定函数单调性，然后证明是否有f（a）f(b)第三章函数的应用习题

一、选择题

1.下列函数有2个零点的是（）

222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法计算3x3x80在x(1,2)内的根的过程中得：f(1)0，f(1.5)0，

f(1.25)0，则方程的根落在区间（）

A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)

3.若方程axxa0有两个解，则实数a的取值范围是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、

4.函数f(x)=lnx-2x的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,

5.已知方程x3x10仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()

A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)

6．函数f(x)lnx2x6的零点落在区间()A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）

7.已知函数

fx的图象是不间断的，并有如下的对应值表：x1234567fx8735548那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（）个A．5B．4C．3D．28．方程2x1x5的解所在的区间是Ａ（０，１）Ｂ（１，２）Ｃ（２，３）Ｄ（３，４）

9.方程4x35x60的根所在的区间为A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)

10．已知f(x)2x22x，则在下列区间中，f(x)0有实数解的是（）

）

（）

（）

（(A)（-3，-2）(B)（-1，0）(C)（2，3）(D)（4，5）11．根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为（）

xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程

x12x根的个数为（）

A、0B、1C、2D、3二、填空题

13.下列函数：1)y=lgx；2)y2;3)y=x2;4)y=|x|－1;其中有2个零点的函数的序号是。

x214.若方程3x2的实根在区间m,n内，且m,nZ,nm1，

x则mn.

222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零点是15、函数（必须写全所有的零点）。

扩展阅读：高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，○

并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

k(k0)没有零点。x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。

②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.

⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。Eg：试判断方程xx2x10在区间[0,2]内是否有实数解？并说明理由。

1

42x7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。Eg：求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

Eg：一元二次方程根的分布讨论

一元二次方程根的分布的基本类型

2axbxc0（a0）的两实根为x1，x2，且x1x2.设一元二次方程

k为常数，则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）或根在区间上的

分布主要有以下基本类型：

表一：（两根与0的大小比较）

分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10,x20x10,x20x10x2a0）大致图象（得出的结论0b02af000b02af00f00

大致图象（a0）得出的结论0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00（不综讨合论结a论）

af00表二：（两根与k的大小比较）

分布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0）大致图象（kkk得出的结论0bk2afk00bk2afk0fk0大致图象（a0）得出的结论0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0（不综讨合论结a论）a0）afk0分布情况大致图象（得出的结论表三：（根在区间上的分布）

两根都在m,n内两根有且仅有一根在m,n一根在m,n内，另一根在p,q内（有两种情况，只画了一种）内，mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或

大致图象（a0）得出的结论0fm0fn0bmn2a综合结论fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0（a不）讨论

fmfn0Eg：（1）关于x的方程x22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围？

（2）关于x的方程x2(m3)x2m140有两实根在[0,4]内，求m的取值范围？

2（3）关于x的方程mx2(m3)x2m140有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围？

9、二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数

yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，

使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);

指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型

12

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