人教版高一数学必修4第一章三角函数小结和复习教案

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人教版高一数学必修4第一章三角函数小结和复习教案

三角函数小结和复习

【知识与技能】

理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。

【过程与方法】

三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。例题

例1判断下列函数的奇偶性

①y=-3sin2x②y=-2cos3x-1③y=-3sin2x+1④y=sinx+cosx⑤y=1-cos(-3x-5π)

分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数

解：（过程略）①奇函数②偶函数③④非奇非偶函数⑤偶函数例2求函数y=-3cos(2x-13终边相同角象限角区间角任意角的概念角度制与弧度制诱导公式任意角的三角函数符号法则三角函数线三角函数图象与性质弧长与扇形面积公式同角函数关系第三章：三角恒等变换π)的最大值，并求此时角x的值。

分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。解：函数的最大值为：ymax=|-3|=3,此时由2x-13π=2kπ+π得x=kπ+

23π,(k∈Z)

例3求函数y11tanx的定义域。

解：要使函数y411tanx有意义，则有2,(kZ)

1tanx0xkx2(kZ)

即xk,且xk所以，函数的定义域为{χχ∈R且xk【情态与价值】一、选择题

4,xk2,kZ}

1．已知cos240约等于0.92,则sin660约等于（）

A．0.92B．0.85C．0.88D．0.952．已知tanx=2，则A．

115sin2x2cos2x2cosx3sin2x12的值是（）。

23B．

215C．-

25D．

3．不等式tanx≤-1的解集是（）。

3]（k∈Z）A．(2k,2k]（k∈Z）B．[2k,2k2442C．(k2,k4]（k∈Z）D．[2k2,2k34]（k∈Z）

4．有以下四种变换方式：

11①向左平移，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移；

4228③将横坐标变为原来的

12，再向左平移

4；④向左平移

48，再将横坐标变为原来的

12。

其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（）

A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题

75．tan（-）=．

66．函数y=sinx（

6≤x≤

23）的值域是。

127．若函数y=a+bsinx的值域为[-，

32]，则此函数的解析式是。

8．对于函数y=Asin（ωx+）（A、ω、均为不等于零的常数）有下列说法：①最大值为A；②最小正周期为

||；③在[0，2π]λο上至少存在一个x，使y=0；

④由2k2≤ωx+≤2k2（k∈Z）解得x的范围即为单调递增区间，

其中正确的结论的序号是。三、解答题

9．（1）已知sinθ－cosθ=

（2）求函数y=23cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是时的x的值。

10．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系

为y=6sin（2πt+)）。

623(0＜θ＜

2)，求sinθ+cosθ的值；

（1）作出它的图象；

（2）单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？（4）单摆来回摆动一次需要多少时间？

扩展阅读：必修四第一章三角函数复习与小结(1)

年级课程标题编稿老师

高一学科数学版本苏教版必修四第一章三角函数复习与小结王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破

1.三角函数的概念

三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。3.三角函数的图象与性质

三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。4.三角函数的应用

主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示

重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与正弦函数y＝sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、知识脉络图：

2(kZ)；

当tantan1时，k6.函数

2(kZ)

ytanx在R上为增函数。（×）

[只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则ytanx为增函数的说法同样也是错误的。]

ycosx是周期函数（如图）；y=|cosx|ycosx为周期函数（T）；

随堂练习：函数f（x）=sinx（cosx-sinx）的最小正周期是（）A.B.C.πD.2π422解：∵f（x）=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sinx=1112（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）－42222∴T=π故选C．知识点一：三角函数的概念例题1设角α属于第二象限，|cos|＝－cos，试判断角属于第几象限？222思路导航：首先应根据α所属象限确定出所属的象限，然后再由－cos≥0，22cos≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。2答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋∴kπ＋2＜α＜2kπ＋π（k∈Z），＜＜kπ＋（k∈Z）。422当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋∴

＜＜2nπ＋（n∈Z）。422是第一象限角；253＜＜2nπ＋（n∈Z）。422当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋∴

是第三象限角。2

|＝－cos≥0cos≤0。222应为第二、三象限角或终边落在x轴的负半轴上。综上所述，是第三象限22，，等角所在的象限时，一般有两种办法：

423一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定，，所属

423点评：由α所在象限，判断诸如

的象限；另一种办法就是将k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式3例题2（1）已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝，求sin（3π＋α）与tan（α－57）的值；2（2）已知2＋sinAcosA＝5cos2A，求tanA的值；1，且α∈（0，π），求sin3α－cos3α的值。53答案：（1）∵cos（α－7π）＝－cosα＝，53∴cosα＝。5（3）已知sinα＋cosα＝又π＜α＜2π，∴34＜α＜2π，sinα＝－，2537sin()47cos32sin（3π＋α）＝－sinα＝，tan（α－）＝5.752sin44cos()25（2）将已知式化为2sin2A＋2cos2A＋sinAcosA＝5cos2A，∵cosA≠0，∴2tan2A＋tanA－3＝0，tanA＝1或tanA＝－3。212(sincos)21（3）sinαcosα＝＝，252∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，

7，571281∴sin3α－cos3α＝×（1）＝。

525125∴sinα－cosα＝12sincos

知识点三：三角函数的图象与性质

），给出下列结论：3①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x＝成轴对称；③图象可由函数y＝

122sin2x的图象向左平移个单位得到；④图象向左平移个单位，即得到函数y＝2cos2x312例题3对于函数f（x）＝2sin（2x＋的图象。其中正确结论的个数为（）个A.0B.1C.2D.3思路导航：∵f（x）是非奇非偶函数，∴①错误。∵f（x）是由y＝2sin2x向左平移∴③错误。把x＝个单位得到的，6代入f（x）中使函数取得最值，12∴②正确。左移个单位12f（x）＝2sin（2x＋）f（x）＝2sin［2（x＋）＋］＝2cos2x，3123∴④正确。答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。在用排除法时，要注意函数性质的应用。例题4设函数f（x）＝sin3x＋|sin3x|，则f（x）为（）A.周期函数，最小正周期为2B.周期函数，最小正周期为33C.周期函数，最小正周期为2πD.非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入f(xT)f(x)检验，也可化简f(x)sin3xsin3x。答案：f（x）＝sin3x＋|sin3x|2k2k2sin3x,x,333＝2k2k20,x.3333∴B正确。答案：B

知识点四：三角函数的应用

例题5在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是

1，则sin2θ－cos2θ的值等于（）25A.1B.2477C.D.－2525251，则BE＝sinθ，5思路导航：由题意，设大正方形边长AB＝1，小正方形的边长是AE＝cosθ，1。524平方得2cosθsinθ＝。25∴cosθ－sinθ＝∴（cosθ＋sinθ）2＝1＋2cosθsinθ＝∴cosθ＋sinθ＝49。257。5∴sin2θ－cos2θ＝（sinθ－cosθ）（sinθ＋cosθ）＝177。5525答案：D点评：三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。1的定义域是_______________。2sinx0sinx0思路导航：由题意知，11

cosx0cosx.22例题6函数y＝sinxcosx作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2kπ≤x≤2kπ＋

，k∈Z}。3

，k∈Z}3

点评：解三角不等式基本上有两种方法：①利用三角函数线。②利用三角函数图象。sinxcosx的最大、最小值。1sinxcosx22思路导航：利用三角函数中sincos1和sincos与sincos的关例题7求函数f（x）＝系，转化成同一个量的关系式。t21答案：设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝，t∈［－2，2］，且t≠－1，则y2t21t21t12＝，t∈［－2，2］。1t22t221∴当t＝2，即x＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）的最大值为；42321当t＝－2，即x＝2kπ－（k∈Z）时，f（x）的最小值为。42点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。例题（全国大纲理5）设函数f(x)cosx(＞0)，将yf(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（）A.313B.3C.6D.9思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将yf(x)的图象向右平移与原图象重合，说明了

个单位长度后，所得的图象3是此函数周期的整数倍。3解答过程：由题意将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象

32k(kZ)，解得6k，又重合，说明了是此函数周期的整数倍，得

330，令k1，得min6。

规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。

在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。例题（临沂统考）作函数y＝cotxsinx的图象。思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。函数y＝cotxsinx的图象即是y＝cosx（x≠kπ，k∈Z）的图象，因此应作出y＝cosx的图象，但要把x＝kπ，k∈Z的这些点去掉。答案：当sinx≠0，即x≠kπ（k∈Z）时，有y＝cotxsinx＝cosx，即y＝cosx（x≠kπ，k∈Z）。其图象如图，学习本章应该先复习角的概念，了解角度制的内容。在学习本章时应该注意任意角、弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。学习过程中，对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。对函数图象的作图过程要抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。对三角函数式的化简求值要多加强练习，注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。必修四第二章第1－2节向量的概念及表示；向量的线性运算一、预习导学1.向量的概念：。表示法。2.平行向量的概念：、相等向量的概念：。3.已知点O是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）A.OB、CD、FE、CBB.AB、CD、FA、DE

C.FE、AB、CB、OFD.AF、AB、OC、OD

4.向量的加法法则：。

5.数的运算：减法是加法的逆运算，。

6.向量的加法运算：、向量共线定理：。7.平面向量基本定理：。二、问题思考1.如何用数学符号和有向线段表示向量？2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则如何？3.如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？4.理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。（答题时间：60分钟）一、选择题1.集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A.B.C.D.2.已知角α的终边经过点P（－4m，3m）（m≠0），则2sinα＋cosα的值是（）A.1或－1C.1或－B.或－D.－1或3.已知f（cosx）＝cos3x，则f（sinx）等于（）A.－sin3xB.－cos3xC.cos3xD.sin3x

4.（天津）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ

D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ5.要得到函数A.向左平移C.向左平移

个单位个单位

的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）B.向右平移D.向右平移

个单位个单位

6.已知α是某三角形的一个内角且sin（π－α）－cos（π＋α）＝，则此三角形是（）A.锐角三角形C.钝角三角形7.若|sinθ|＝，A.C.

B.直角三角形D.等腰三角形

＜θ＜5π，则tanθ等于（）B.－D.

对称的是（）

8.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线A.C.

9.函数y＝tg（

B.D.

）在一个周期内的图象是（）

A.B.

C.D.

10.（上海）函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是（）

A.B.

C.D.

11.（福建）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x＋2），当x∈[3，5]时，f（x）＝2－|x－4|，则（）

A.f（sinC.f（cos

）＜f（cos）＜f（sin

））

B.f（sin1）＞f（cos1）D.f（cos2）＞f（sin2）

12.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面的距离y（m）与时间x（t）满足函数关系式y＝Asin（ωx＋φ）＋2，则（）

A.ω＝C.ω＝，A＝5，A＝3B.ω＝D.ω＝，A＝5，A＝3二、填空题13.若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是______________。14.函数15.已知tanθ＝2，则的值域是______________。＝。16.已知17.不等式18.函数，则的解集是。的单调减区间是。时，＝。19.函数f（x）是周期为π的偶函数，且当则的值是。，20.设函数f（x）＝3sin（2x＋直线x＝，

），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于，0）成中心对称；④它在区间[－成轴对称；③它的图象关于点（]上是增函数。其中正确命题的序号是。

三、解答题

21.如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线拟合正弦型曲线：yAsin(x)k.

（1）求这段时间的最大温度差；（2）写出这段曲线的函数表达式。22.设函数f(x)2sin(2x3)(xR).（1）若0，求的值，使函数f(x)为偶数；（2）在（1）成立的条件下，求满足f(x)1,且x[,]的x的集合。23.（1）已知tan5,求3sin22sincoscos2的值；12（2）已知sinm(0＜m＜1),求tan、cos的值。2在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0,2)和(x02,2).（1）求函数f(x)的解析式；7（2）若x1(0,]，且cosx1，求f(x1)的值。2924.已知函数f(x)Asin(x)(A＞0,＞0,＜)的图象在y轴上的截距为1，它25.已知函数f(x)abcosxhsinx的图象过A（0，1）及B(,1)两点，对2x[0,]，恒有f(x)2。2（1）求实数a的取值范围；（2）当实数a取（1）中范围的最大整数时，若存在实数m、n、使得式子mf(x)nf(x)1成立，试求m、n、的值。

一、选择题

1.C解析：当k取偶数时，比如k＝0时，＋当k取奇数时，比如k＝1时，＋

≤α≤＋

，故角的终边在第一象限。

，故角的终边在第三象限。

综上，角的终边在第一或第三象限，故选C。2.B解析：r当m＞0时，；当m＜0时，。故选B。3.A解析：（法一）令t＝cosx，由三倍角公式求出f（t）＝4t3－3t，换元可得f（sinx）的解析式。（法二）把sinx用cos（－x）来表示，利用已知的条件f（cosx），(4m)2(3m)25m，，＝cos3x得出f（sinx）的解析式。解答过程：（法一）令t＝cosx，∵cos3x＝4cos3x－3cosx，f（cosx）＝cos3x＝4cos3x－3cosx，∴f（t）＝4t3－3t，∴f（sinx）＝4sin3x－3sinx＝－sin3x，故选A。（法二）∵f（cosx）＝cos3x，∴f（sinx）＝f[cos（＝cos（－x）]＝cos3（－x）－3x）＝－sin3x，故选A。，cosα＜cosβ；故A错。，tanα＜tanβ；故B错。，cosα＜cosβ；故C错。，tanα＞tanβ。（均假定0≤α，4.D解析：若α、β同属于第一象限，则若α、β同属于第二象限，则若α、β同属于第三象限，则若α、β同属于第四象限，则β≤2π。）故D正确。5.D6.C解析：∵sin（π－α）－cos（π＋α）＝，∴sinα＋cosα＝∴（sinα＋cosα）2＝，∴2sinαcosα＝－，∵α是三角形的一个内角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形。7.C解析：∵|sinθ|＝，

＜θ＜5π，

∴sincosθ＝－

，

＝－

，

∴tanθ＝＝＝－。

8.D解析：将将x代入可得y＝≠±1，排除A；

3代入ysin(x)可得23，可得y＝≠π，排除B；将代入≠±1，排除C。故选D。，可知函数y＝tg（）9.A解析：令tg（与x轴的一个交点不是∵y＝tg（）＝0，解得x＝kπ＋，排除C，D）的周期T＝＝2π，故排除B。故选A。10.C解析：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y＝x＋sinx，∴y′＝1＋cosx≥0，又y＝cosx在[0，π]上为减函数，所以函数y＝x＋sinx在[0，π]上为增函数且增速越来越小；当－π≤x＜0时，∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx≥0，又y＝cosx在[－π，0）上为增函数，所以函数y＝x－sinx在[0，π]上为增函数且增速越来越小；又函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]恒过（－π，－π）和（π，π）两点，所以C选项对应的图象符合。11.D解析：由f（x）＝f（x＋2）知T＝2，又∵x∈[3，5]时，f（x）＝2－|x－4|，可知当3≤x≤4时，f（x）＝－2＋x。当4＜x≤5时，f（x）＝6－x。其图如下，故f(x)在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数。又由|cos2|＜|sin2|，∴f（cos2）＞f（sin2）。故选D。12.D解析：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω＝

又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，∴最高点为5，即A＝3，故选D。

二、填空题

13.16cm2解析：设扇形半径为r，面积为S，圆心角是α，则α＝2，弧长为αr，则周长16＝2r＋αr＝2r＋2r＝4r，∴r＝4，

扇形的面积为：S＝αr2＝×2×16＝16（cm2），故答案为16cm2。14.1,3

解答：解：由题意知本题需要对角所在的象限进行讨论，以确定符号。当角x在第一象限时，y＝1＋1＋1＝3，当角x在第二象限时，y＝1－1－1＝－1，当角x在第三象限时，y＝－1－1＋1＝－1，当角x在第四象限时，y＝－1＋1－1＝－1。15.4解析：∵tanθ＝2，5∴＝＝＝＝。16.5解析：∵16，＋∴＝＝＝＝17.x6kxk,kZ2即tanx≥－，又kπ－

＜x＜kπ＋

，k∈Z，

解析：不等式∴18.(k8,k8](kZ)

解析：函数令t＝∵t＝故函数，则

为减函数，

在

的定义域为

上为增函数；

的单调减区间是19.2解析：∵函数f（x）是周期为π的偶函数，∴∵当∴＝＝f（时，＝2。＝π，故①正确；）＝f（－）＝，，20.①②③④解析：①根据周期公式②∵函数在对称轴处取得函数的最值，f（）＝，故②正确；，当k＝1时，故③正③根据函数的对称性可得，确；④令数，故④正确。三、解答题21.解：（1）最大温度差为30－10＝20℃可得，即函数在上是增函T1468，T＝16，2233，6T88243这段曲线的函数表达式为y10sin(x)2084（2）A＝10，k＝20，22.解：（1）f(x)2sin(2x3)，且函数f(x)是偶函数，

对xR,f(x)f(x)，即sin(2x)sin(2x)（对xR恒

33成立），

（2）当时，f(x)2cos2x，f(x)1，且x[,]的x的集合是

11522(3tan2tan1)[3()251tan121()2122(5189)1]121692m1m2（2）（i）若在第一、四象限，cos1m，tan；（ii）若21mm1m22在第二、三象限，cos1m，tan1m2x24.解：（1）f(x)2sin()26x17（2）x1(0,]，且cosx1，sin1，2923x2212231322，f(x1)2(cos1)2323233ab1b1a25.解：（1）,f(x)a2(1a)sin(x)，当4ah1h1aa＜1,x[0,]时，12sin(x)2，且恒有f(x)2，或242(21)a2a1,解之得2a32422(21)a,1,，使mf(x)nf(x)1成立。（2）当a＝8时，存在mn16

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