寒假初一第1讲

寒假初一第1讲

第一讲有理数（1）

【知识要点】

1．整数与分数统称为有理数．有理数

2．数轴三要素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的。3．如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是0，一般地实数a的相反数是－a；若a与b互为相反数，则有a+b=0，反之亦然；

几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。4．倒数：若两个数的积等于1，则这两个数互为倒数。5．绝对值：

代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离.6．有理数的加、减、乘、除四则运算加法交换律：a+b=b+a(a、b为任意有理数)

加法结合律：(a+b）+c=a+(b+c)(a,b,c为任意有理数)

【典型例题】

1．把下面各数填入表示它所在的数集里．

2

－3，7，－，0，201*，－1．41，0．608，－5％

5

正有理数集｛｝；负有理数集｛｝；整数集｛｝；有理数集｛｝；2．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数．

3、今年我市二月份某一天的最低气温为－5C，最高气温为13C，那么这一天的最高气温比最低气温高（）

A．－18CB．18CC．13CD．5C4、|－2|的值是（）

A．－2B.2C．4D．－4

32a-95．若的倒数与互为相反数，则a等于__________________

a36．已知有理数x、y满足x1+2y-4+z-6=0，求xyz的值．

1529

7．比较－与－的大小

1632

8．已知|x|=3，|y|=2，且xy≠0，则x+y的值等于___9．计算12－|－18|+(－7)+(－15)．

10.自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷断”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉人“陷井”的这个固定不变的数R=_________

11．如图是一个正方体盒子的展开图，请把

-10，8，10，－2，－8，2分别填入六个小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．

12.下面请同学来玩“24点”游戏:从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，

22ooooo

o

根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次）使得运算结果可能为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K分别代表11、12、13。

（1）某同学如抽到下列一组牌3、12、－1、－12，你帮她设计一下算式使之能凑成24。

24×3-（-12）×（-1）=24

（2）老师抽到下列四张牌，1、-2、2、3，你认为能凑成24吗？

[3-（-2）]-1=24

试一试，你自编两组可凑成24的牌，请邻座同学帮你设计算式。

2

【经典练习】

一选择题

1、下列说法不正确的是（）

A．没有最大的有理数B．没有最小的有理数C．有最大的负数D．有绝对值最小的有理数

2、－2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（）A．10B．20．C．－30D．181

3、一个数的倒数的相反数是1,则这个数是（）

5

6565

A、B、C、D、－

56564、如果ab<0，a+b>0，那么这两个有理数为（）A．绝对值相等的数

B．符号不同的数，其中正数的绝对值较大C．符号不同的数，其中负数的绝对值较大D．以上都不正确

5、若|a|=7，|b|=5,a+b＞0，那么a－b的值是（）

A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或121

6、一个正整数a与其倒数，相反数－a，相比较，正确的是（）

a11

A、－a＜≤aB、－a＜＜a

aa11

C、－a＜＜aD、－a＜＜a

aa

二、填空题

7、数轴上点A到原点的距离是5，则A表示的数是_____________56

8、比较大小：－____－

671

9、若－|a|=－，那么a=_______．

2

10、若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋b=___________．11

11、（－3）×÷(－)×3

33

12、在某次数学小测验中，某小班8个人的平均分为85分，其中6位同学平均分为84分，另两人中一个人比另一个人高6分，求这两位同学各多少分？

13、体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第1小组8名男生的成绩记录，其中“+”号表示成绩大于15秒．

－0．8+10－1．2－0．7+0．6－0．4－0．l（1）这个小组男生的达标率为多少？平均成绩为多少秒？（2）以15秒为0点，用数轴来表示第1小组男生的成绩．

【课后作业】

1．已知数轴上表示－2和－101的两点分别为A，B，那么A，B两点间距离等于()（A）99（B）100（C）102（D）103

512．从－1中减去与的和，所得的差是（）

812（A）

77711（B）（C）2（D）1242424243．银行储蓄所办理了7件储蓄业务：取出9.5元，存进5元，取出8元，存进12元，

存进25元，取出10.25元，取出2元，这时银行现款增加了（）

（A）12.25元（B）－12.25元（C）12元（D）－12元4．下列等式中，正确的是（）

（A）23＝2×3（B）23＝32（C）－24＝(－2)4（D）(－2)3＝－23

325．计算的结果是（）

23131513（A）（B）（C）（D）

66666．当a＝－4，b＝－5，c＝－7时，a－b－c＝237．2912＝248．一个病人每天下午要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五血压变化情况，该病人上个星期日的血压为160单位，血压的变化与前一天比较：星期血压的变化一升30单位二降20单位三升17单位四升18单位五降20单位请算出星期五该病人的血压

9．有资料表明：某地区高度每增加100米，气温下降0.8℃，小明和小颖想出一个测量山峰高度的方法，小颖在山脚，小明在峰顶，他们同时在上午10点测得山脚和山峰顶的气温分别为2.2℃和0.2℃，你知道山峰有多高吗？

扩展阅读：初一寒假第1讲 整除 带余除法

第一讲整除带余除法

板块1数论中的基本概念和常识

质数合数整除约数倍数互质进位制定义略。质数是数论中第一重要的概念。算数基本定理：整数分解的唯一性。1不是质数，因为破坏了这个唯一性。定理叙述如下：任何大于1的整数a能唯一地写成ap1a1p2a2......psas

（1）

的形式，其中p1p2......ps都是质数.式（1）被称为a的标准分解式。【例】证明：若n0,anbn，则ab.

【例】（1）求201*的标准分解式2×5×3×67（2）求201*的标准分解式质数（3）求201*的标准分解式22×503

【例】如果自然数n使得2n1和3n1都恰好是平方数，试问5n3能否是一个素数．【解析】如果2n1k2，3n1m2，则

5n342n13n14k2m22km2km．因为2km1，否则，将有5n32m1，并且

m12而这是不可能的．故5n3不是素数．m22m123n15n322n0．

判定质数很困难，判定合数的方法是分解。

(1)若b|c且c|a，则b|a(传递性)；

|a)c。(2)若b|a且b|c，则b(若反复运用这一性质，易知对于任意的整数u,v有b|(aucv)。

有时候要想知道a|b是否成立，只需考察a|db+ca是否成立。这里的c,d是适当选取的。

(较高级技巧)

【例】我们想知道一个数是不是7的倍数（34675676），可以用34675（截掉末三位）减去676（末三位），看看差是不是7的倍数，这是为什么？更彻底的，我们想知道5740376987465是不是7的倍数，可以去计算465-987+376-740+5是不是7的倍数。

【例】已知一个七位自然数62xy427是99的倍数(其中x、y是阿拉伯数字)，试求950x24y1之值，简写出求解过程．【解析】由9962xy427知962xy427且1162xy427

①962xy427，所以62xy427是9的倍数，所以xy39m(m是自然数)由0≤x≤9，0≤y≤9，可得3≤xy3≤21，从而xy6或xy15；②1162xy427，所以11(6x47)(2y2)，所以13xy11k(k是整数)又9≤xy≤9，即4≤13xy≤22，所以xy2或xy9，

xy6xy15x2x12xyxy(舍去)，因为与同奇同偶性，所以或，即或xy2xy9y4y950x24y11997

(3)若b|a，则或者a=0，或者|a||b|，因此若a|b且b|a，则ab；1整除任何整数，任何非0整数整除0。这里相当于提供了证明两数相等的一个方法。(4)a,b互质，若a|c,b|c，则ab|c；

这个性质的意义是，满足整除条件的除数变大了，被除数不变，整除条件变得更强。

【例】某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A、B、C三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?

(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．

售票处

普通票团体票(须满人)

每人每人

【解析】360+384+480－72=1152(元)，1152÷72=16(元／人)，即团体票是每人16元．

因为16不能整除360，所以A团未达到优惠人数．

若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360：384：480=15：16：20，即三个团的人数分别为

15162072,72,72，这都不是整数(只要指出其中某一个不是整515151数即可)，不可能．所以C团本来就已达到优惠人数．

这有两种可能：①只有C团达到；②B、C两团都达到．对于①，可得C团人数为480÷16=30，A、B两团共有42人，A团人数为15/31×42，不是整数，不可能．刘于②，可得B团人数为384÷16=24，C团人数为480÷16=30A团18人

售票处

普通票团体票(须满20人)

每人20元每人16元(或／或8折优惠)

【例】是否存在3个大于1的自然数，使得其中每个自然数的平方减1，能分别被其余的每个自然数所整除？

【解析】设a≥b≥c是满足题设条件的三个自然数．因为a2－1被b整除，所以a与b互素．又c2－1能分别被a、b整除，因而被ab整除，于是c2－1≥ab．另一方面由a≥c及b≥c得ab≥c2，矛盾．所以满足题设的数不存在．

【例】已知p、q都是大于1的自然数，并且

2p12q1

和都是整数，问pq的值是多少？qp

2p1为大于0小于2的整数，为1，则q【解析】运用排序思想，不妨设q大于等于p，则

2p1q，

2q13化为4，则p3,q5，结果为8．pp

a|bc,a,b互质，则a|c

这个性质的意义是：需要讨论的被除数变小了，整除条件变得更强。

【例】可将1~30这30个整数写成一行，使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所有数之和的约数．则排在第30个位置上的数最大应是．

3031设排在第30位的数为x，由题意x被sx整除，3531，

2即x被s整除.x显然不能为31或31的倍数，因此x最大为3515，而这也是可以达到的，

【解析】1~30的和为s将1~30排列为

16，，117，2，18，3，19，4，20，5，21，6，22，7，23，8，24，9，25，10，26，11，27，12，28，13，29，14，30，15即可．

【例】已知7xyz641808，其中x，y，z代表非0数字．那么x2y2z2．【解析】根据个位数字分析可知x3或8，代入7xyz641808试验可得x8，此时有7853641808，即可得x2y2z298．

(5)p是质数，若p|a1a2a3a4...an，则p能整除a1,a2,a3,a4...an中的某一个；特别地，若p是质数，p|an，则p|a。互质数乘积是平方数，则互质数都是平方数。【例】在正整数范围解方程x2=y(y+p)p是奇质数

【解析】若y是p的k倍，代入得到(k+1)k是平方数，无解。

(p1)2(y,p)=1则y,y+p都是平方数，y=

4(6)p|n,那么n在p进制之下尾数是0。(7)正约数个数，正约数和公式。（会用，会证明）

常识：正整数中，平方数且只有平方数有奇数个正约数。

【例】n是满足下列条件的最小正整数：（1）n是75的倍数；

（2）n恰为75个正整数因子（包括1及本身）．试求n/75．

【解析】为保证n是75的倍数而又尽可能地小，可设n＝2α3β5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75

由75＝523，易知当α＝β＝4，γ＝2时，符合条件（1）、（2）．此时n＝243452，n/75＝432．

(8)质数性质：a是合数，p是它的最小质因数，则p2不超过a。所以判断n的质合性的时候，只需检查1,2,3,4…,[n]1中的质数(9)质数有无限个。质数之间的缝隙可以超过任意正数。

【例】2+3+4+5+…+n是质数，求n。【解析】原式=

(n2)(n1)。n>3时，分子是两个大于2的数乘积（一奇一偶），所以原2式是合数。只要计算n=2,3的情形。

【例】是否存在201*个连续正整数，其中恰有20个质数？

【解析】我们知道存在201*个连续合数，不妨设他们是n,n+1,n+2…，n+201*。

我们还知道前201*个正整数中的质数多于20个。前201*个正整数都加1，算作一次操作。一直进行这个操作，每次操作后得到的数列中的质数只能增加1，减小1或不变。n-1次操作后，质数个数变成0。那么必有某次操作后质数个数等于20。

构造任意长的连续合数列有多种方法，比如201*！+2,201*！+3,201*！+4…,201*！+201*是1999个连续的合数。后面学到剩余定理会给出其他构造方法。

(10)整数的正约数可以凑对，一个整数的所有正约数的乘积的平方，是这个整数的幂。如果一个正整数的所有正约数的乘积不是这个整数的幂，那么这个整数是平方数。逆命题不真。

板块2最小公倍数最大公约数

(1)两个整数除以他们的最大公约数，得到的商互质。两个整数分别除他们的最小公倍数，得到的商互质。两个整数的乘积等于最小公倍数与最大公约数的乘积。这里又提供了一种处理两个数的方法：

我们有时利用这个代换a=(a,b)xb=(a,b)y其中(x,y)=1(2)(a,b)=(a,ab)(a,b)|(am+bn,ap+bq)

【例】正整数m和n有大于1的最大公约数，且满足m3n371，则mn．

【解析】设k是m、n的最大公约数，则m、n可表示为mka，nkb(k1，a、b均为正整数)

故m3n(ka)3kbk(k2a3b)371753，

因为k1且7与53都是质数，又k2a3bk2a3≥k2k，所以k7且k2a3b53，

即49a3b53，由a、b均为正整数，得a1，b4；所以m7，n28，故mn196

【例】50＋n2与50+（n+1）2的最大公约数最大值．【解析】d=（50＋n2,50+（n+1）2）＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）

＝（2（n2＋50），2n＋1）（因2n＋1是奇数）＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）

＝（100－n，2n＋1＋2（100－n））＝（100－n，201）≤201在n＝100时，d＝201．故所求值为201．

(3)若干个整数的最大公约数d，最小公倍数k。那么对于任意质数p，p在d中的次数是p在这些整数中的次数的最小值；p在k中的次数是p在这些整数中的次数的最大值。

【例】证明：对于自然数k、m和n．不等式[k，m][m，n][n，k]≥[k，m，n]2成立．【解析】将k、m、n分解．设

kp11p22p33...pllmp11p22p33...pll

np11p22p33...pll

其中pi（i=1，2，…，l）为不同的素数，αi、βi、γi为非负整数．对任一个素因数pi，不妨设0≤αi≤βi≤γi．在所要证明的不等式左边，pi的指数为βi＋γi＋γi=βi＋2γi；而右边pi的指数为2γi．因而所要证明的不等式成立．

要证明一个数大于另一个数，方法之一是只要证明任何质数，在两个数中的质数都满足同一方向的不等关系。

【例】找到正整数a,b满足（a，b）＋[a，b]＋a＋b＝ab【解析】设a=kxb=ky(x,y)=1得到k+xyk+kx+ky=kx×ky*1+x+y+xy=kxyx|y+1,y|x+1若x=y，则x=y=1。a=b=4

若x>y，则x=y+1代入*得到y|y+2y=1,2所以x=2,3从而a=6,b=3,4

所有的解是(a,b)=(4,4)(6,3)(3,6)(6,4)(4,6)

板块3带余除法

一般地，如果a，b是正整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。这里q,r的选取是唯一的。

带余除法提供了一种处理两个整数的方法，这种方法以后会经常用到。

【例】在大于201*的自然数中，被56除后，商与余数相等的数共有多少个？这些数的总和是多少？

【解析】由于余数小于除数，商和余数相等，故商小于56。另一方面，由于被除数大于201*，故商数大于201*除以56带余除法中的商35，所以

56商数35。

所以，在大于201*的自然数中，被56除后，商与余数相等的数有30个。由于

被除数＝56商数＋余数＝57商数，

其中，商数等于36至55。所以，

30个整数的和=5736375557159177805。

【例】最简分数,ab。它能分解成不超过a个正整数的倒数和，这些整数互不等。解析：也就是写成单位分数的和。我们先看能写出的最大单位分数是多少。为此要利用一下带余除法。

设b=aq+r，那么不超过的最大单位分数是

ab1。q1aba1arar所以我们还需要把分解成单位分数的和。bq1b(q1)b(q1)通过观察，这个分数的分子严格减小了。这说明至多a-1次这样的操作之后，我们的任务就完成了。显然这些单位分数的大小不同，个数不超过a。

课后练习

1.能将1,2,3,……,7,8,9填在33的方格表中，使横向和竖向相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种解法。如果不能，请说明理由。

解析：横向和竖向相邻两数之和都是质数，那么奇偶相同的两数不能相邻。所以正中间是奇数，它与2，4，6，8相邻。容易看出无论中间添的n是几，n+2,n+4,n+6,n+8中有合数。

2.173A是一个四位数，数学老师说：“先后用三个数代替A，A所得到的3个四位数，依次可以被9、11、6整除。”问这3个数的和是多少？解析：9|173711|17386|1734

三个数的和是19。.

3.两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按所指的方向以相同的速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上的甲虫最少爬了几圈时，两只甲虫相距最远？

解析：小圆上的甲虫爬整数圈，大圆上的甲虫爬整数圈多半圈，距离最远。设小圆上的爬了a圈，大圆上的爬了b圈。由于速度相同，30a=48b其中a是整数，b的小数部分是0.5。5a=8b最小的解是a=4，b=2.5所以答案是4。.

4.n个自然数，从第二个开始，每一个都比它前面相邻的一个大3：4,7,10,……,1+3n。它们相乘的积的末尾恰有32个0，求n的最小值。解析：答案只而和数列中5的倍数有关。数列中5的倍数是10,25,40,55,70…10+15k…

令25|10+15k得到k=1,6,11,16,21,26,31…的时候10+15k是25的倍数令125|10+15k得到k=16,41…的时候10+15k是125的倍数

所以10,25,40,55,70…10+15×25的乘积当中5的指数是26+5+1=32。.

所以当1+3n=10+15×25时，n的最小值是128。

5在1-201*的所有的整数中，有多少个x使2x和x2被7除有相同的余数？解析：将1,2,3,4…代入2x，考察除以7的余数，呈2,4,1,2,4,1…循环，周期是3。将1,2,3,4…代入x2，考察除以7的余数，呈1,4,2,2,4,1,0…循环，周期是7。

可见两个数列的余数对也是循环的，周期是21。每个长度21的周期内第2,4,5,6,10,15个位置是相同的。201*÷21=95〃〃〃10所以答案是96×6-1=5756已知

a201*201*201*

201*个201*问：除以13所得的余数是几？

解析：201*201*201*是13的倍数，所以只需计算201*除以13的余数。答案是3。

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