初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
a0）b，c是常数，1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。这
c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，数．
2.二次函数yax2bxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上00，00，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．
2.yax2c的性质：上加下减。
a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上c0，c0，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．
3.yaxh的性质：
左加右减。
2a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上0h，0h，性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a02向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．4.yaxhk的性质：
a的符号开口方向顶点坐标对称轴第1页共6页性质a0向上h，kh，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．
2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．
4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值
2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；
2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；
3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，
当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a第3页共6页
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同2a右异”总结：
3.常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；
yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；2.关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；
22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；3.关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；
2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．n对称5.关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，第4页共6页
22
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：
①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次
b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.
a2②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.
1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
0抛物线与x轴有两个交点0二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为非负二次三项式的值恒为正一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程无实数根.0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函数图像参考：
y=3x2y=3(x-2)2y=x22第5页共6页
y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函数的应用
刹车距离二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2第6页共6页
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初三数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，的函数，叫做二次函数。这a0）里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数yax2bxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x0
0，00，0y轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x0x的增大而增大；x0时，y有最大值0．2.yax2c的性质：上加下减。
a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x0
0，c0，cy轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh的性质：
左加右减。
a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质xhh，0h，0X=h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hxhx的增大而增大；xh时，y有最大值0．
第1页共14页
4.yaxhk的性质：
a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质xhh，kh，kX=h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．a0向下X=hxh
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
2b4acb1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．
2a2a4ab当x值
b2a2时，y随x的增大而减小；当x．
b2a时，y随x的增大而增大；当xb2a时，y有最小
4acb4a2b4acbb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a2a2a4abx的增大而增大；当xb2a时，y随x的增大而减小；当xb2a时，y有最大值
4acb4a2．
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；
2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；
3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，
当b0时，当b0时，b2ab2a00，即抛物线的对称轴在y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；
第3页共14页
当b0时，b2a0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
00总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴xb2a在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是
“左同右异”
总结：
3.常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称
2ya2xbx关于cx轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；
yaxhk2关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；
22.关于y轴对称
2xbx关于cy轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；ya2yaxhk2关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；
23.关于原点对称
2xbx关于原点对称后，得到的解析式是cyaxbxc；ya2kyaxhk；yaxh关于原点对称后，得到的解析式是
22第4页共14页
4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
yaxbxyaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是c22b22a；
yaxhk2关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．
25.关于点m，n对称
yaxhk2关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk
2根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：
①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次
b4aca2方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x12.
②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.
1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
第5页共14页0抛物线与x轴有两个交点抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.0交点
二次函数图像参考：
y=2x2
y=x2y=2x2y=2(x-4)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2
十一、函数的应用
刹车距离二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
第6页共14页
y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)
二次函数考查重点与常见题型
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点，则m的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（）
yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x53，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3
已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1（1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,)在（）
acA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
(1)(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
22x=2，则抛物线的顶点坐标为()
A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)
答案：C
例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设
2x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym．（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.
125例5、已知抛物线y=x+x-．
22（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、“已知函数y12xbxc的图象经过点A（c，－2），
2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答]（1）根据y12xbxc的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，
2122cbcc2,得b3,122b3,解得
c2.所以所求二次函数解析式为y（2）在解析式中令y=0，得
12122x3x2.图象如图所示。
5,x235.
2x3x20，解得x13第8页共14页
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
(35,0).
令x=3代入解析式，得y所以抛物线y12252,
52),
x3x2的顶点坐标为(3,52所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）152030y（件）25201*若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则15kb25,2kb20解得k=-1，b=40，即一次函数表达
式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
22w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
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二次函数对应练习试题
一、选择题
1.二次函数yx24x7的顶点坐标是()
A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）
A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函数ykx2k和ykx(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()
4.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是x11.3和x2（）
Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2xx222x的正根的个数为（）
A.0个B.1个C.2个.3个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A.yxx2B.yxx2
C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2
222222
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二、填空题
9．二次函数yx2bx3的对称轴是x2，则b_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。
12．抛物线y2(x2)26的顶点为C，已知直线ykx3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。
13.二次函数y2x24x1的图象是由y2x2bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).
三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式hv0t2
52).
第15题图
12gt（0
17.如图，抛物线yx2bxc经过直线yx3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD5：4的点P的坐标。
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
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练习试题答案
一，选择题、
1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C
二、填空题、
9．b410．x＜-311．如y2x24,y2x4等（答案不唯一）12．113．-8714．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为yax2bxc,由题意可得b2a3abc65c2
解得a
12,b3,c52所以y12x3x252
(2)x1或-5(2)x3
16．（1）由已知得，1520t1210t，解得t13,t221当t3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃
后1秒离地15米．（2）由题意得，h5t220t＝5(t2)220，可知顶点的横坐标t2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
93bc0b217．（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则解得
c3c3所以此抛物线解析式为yx2x3．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与x轴的另一个交点C（－
21，0）.设P(a,a2a3)，则(4a2a3):(44)5:4.化简得a22a35
212122当a2a3＞0时，a2a35得a4,a2∴P（4，5）或P（－2，5）
当a2a3＜0时，a2a35即a2a20，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
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222
18．（1）45y34226024010．（2）y(x100)(457.5=60（吨）
34x315x240002260x107.5)，化简得：
（3）yx315x24000．
34(x210)90752．
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额
Wx(45260x107.5)3(x160)219200来说，4当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．
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