国培第二阶段数学作业
图形与几何数学思想和展现
水城县勺米乡果立普小学裴倩
小学生所处的年龄阶段是形象化思维高速发展的时期，在教学中，通过具体形象的展现以及演示，既符合学生的发展特点同时又能达到良好的教育效果，从而使教学事半功倍，更能引起学生学习的兴趣和主动性。
数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位。著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非。”数形结合，主要指的是数与形之间一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或者以数助形将抽象转化为具体可感知的事物，将复杂的问题简单化。
小学数学从一开始就是采用此种思想教学，如阿拉伯数字的认识，是将数字比作常见而具体的形象来帮助学生记忆的，因而在小学数学图形与几何方面，这一数学思想更是作为主要思想方法来展现。
一、小学数学中图形的面积编排
小学数学中图形的面积是从以下三个层面进行编排的：
1、感知物体表面的大小；2、比较平面图形面积的大小;
3、体验周长与面积的区别，这三个层面从数形思想出发，循序渐进，逐步深入，帮助学生通过直观的形象来准确理解面积的含义：
长方形是所有规则图形的基础，长方形面积=长×宽。通过长方形可以推导出三个图形：正方形（特殊长方形，正方形=边长×边长），平行四边形（拉伸后成为长方形，平行四边形=底面积×高），圆形（切成N等分约是一个长方形，所以公式就是S=πr）。然后根据平行四边形推导出三角形面积（两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，S三角形=ah/2），梯形（S=（a+b)h/2两个完全一样的三角形可以组成一个平行四边形）
1、长方形面积公式是基础。
2、图形转化是推到面积公式的常用方法。如在平行四边形的面积推导后，学生根据已学过的平行四边形的面积公式，独立思考三角形的面积推导。在这个过程中，教师占主导地位，引导学生理解、思考并发现问题，最后通过自己的思维解决问题，从而获得面积公式，更重要的是获得自行完成问题解决过程的体验。
3、在图形的转化中，应用了平移旋转。
4、有些曲线图形可以转化成直线图形。如将圆形转化为长方形。在以上面积的推导过程中体现了以下思想：
长方形的面积（正方形）：统一思想（用标准单位测量面积）；数形结合思想（把测量过程通过图形转化成计算方法）。
平行四边形的面积推导体现以下思想：转化思想（转化成所学的长方形的面积，突出转化的可能性：转化前后图形关系的比较）；对应思想（转化后长方形的各部分分别相当于原图形的哪个部分）。
三角形的面积推导体现以下思想：转化思想；对应思想；一般化思想（从个例到一般，突出各种三角形都能转化成平行四边形）。
梯形的面积推导体现以下思想：转化思想（转化方法的灵活性：梯形可通过多种方式转化成已经学过的图形如三角形、长方形、平行四边形）；整体化思想（用梯形公式统整所有已学的面积公式）
圆的面积推导体现以下思想：转化思想（转化的特殊方法），极限思想（无限切分与无限接近）
总之，各图形的面积推导都是建立在学生已有知识的基础上层层递进实施的，都是从学生已有图形面积的公式中转化得出的。
二、方格纸和坐标的关系方格纸是坐标的基础，从方格纸上让学生了解了交点，数值，从左向右从下向上的看图方法，而这些都是学习坐标轴时有用的。方格纸左边线的延生就是纵轴，下线延生就是横轴。方格纸相对来说是具体、形象的，这为过渡到抽象的坐标系建立了表象。
在小学阶段，方格纸是小学生熟知的材料，其中，内含着坐标系的基本思想，只不过，没有明确标出x、y轴的箭头，而且，其单位也是通过一个一个的格子来体现的。应该说，“在方格纸操作”是坐标思想在小学几何学中的第一个阶段。
几何变换的教学，主要在方格纸上进行，即沿着平行、垂直于方格纸的两个格的边缘线进行，不涉及直接按斜线方向运动的情形（可以先按照平行方向运动若干个格，在沿着垂直方向运动若干个格）。
综上所述，数学思想方法是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，无论是数形结合思想还是其他类思想，都是分析与综合下的灵活运用，是对数学规律的理想认识和形象展现。因此，在教学中，教师应当注重培养数学的数学思想与智慧，使学生掌握数学思想方法，体会其中的奥秘，紧密联系实际，为将来的学习打好基础。
扩展阅读：国培数学作业二
如何营造和谐的课堂环境
和谐的课堂环境能唤醒和激活学生的学习动机和需要，使之产生强烈的欲望，并积极进入状态，全身心地参与教学活动。?
(1)注重师生间的情感交流。教学过程是师生情感交流、彼此感染的过程。教师要以饱满的热情、真诚的微笑面对每一个学生，对学生要保持宽容与理解，给予鼓励与引导，少一些批评与指责，多一些赞扬与鼓励，充分发挥评价的激励作用，缩短师生间的情感距离，消除师生间的无形的心灵鸿沟，让学生主动参与到教学活动中来。?
(2)鼓励学生表达自己的见解。课堂上教师要给学生提问题的环境与机会，要尊重学生的选择，允许学生发表不同的看法与意见，鼓励学生从不同角度去思考问题，激发学生的创造性思维，鼓励学生质疑，倡导多样化的解题策略。这样，有利于调动学生的学习积极性，又能充分挖掘学生的思维深刻性，同时又能满足学生的求胜心理，形成热烈的课堂氛围。
一、建立融洽的师生关系
教师对学生尊重、理解、关怀、帮助，就能给学生以鼓舞和启迪，学生就会喜欢上教师所教的学科。在这种融洽的感情基础上建立起来的师生关系就能极大地提高教与学之间的信息交流，从而收到良好的教学效果。
一、设“疑”激发兴趣
心理学家一致认为，“疑”最容易引发人的探究反射，它不仅能激发学生强烈的求知欲望和浓厚的学习兴趣，还有助于学生点燃创新思维的火花，因此，在教学环节中，教师巧妙设疑，能促使学生积极参与探究，从而培养学习的兴趣。例如，我在教学圆的认识时，学生就对车轮子是圆的不是方形和车轴装在轮子的圆心两个事实感到好奇，总想弄个明白，这给了我很好的启发，上课一开始，我就提出这两个问题，让学生带着疑问进入本节课的学习，再让他们通过动手操作和仔细观察（形状各异的车轮的转动）从而认识到轴装在圆心，而圆心到圆上任何一点的距离即半径都相等，这样的圆心形轮子转动才能使车子平稳行走，而其他轮子则不稳定。这样设疑教学，既使学生认识和理解了抽象的知识，又激发学生的学习兴趣。
二、以趣味激发兴趣
数学知识本身蕴涵着一定的吸引力，这就是教材本身的趣味因素，在教学中善于挖掘这些因素，学生就会被有趣的数学知识所吸引，继而发生兴趣迁移，迁移到数学学科的兴趣上。例如，教学能被2，3，5整除的数的特征时，教师先鼓励学生任选一个数，考考教师：它能被2（3，5）整除吗？学生无论举出什么样的数，都没有难倒教师，学生觉得教师太神奇了，这时教师紧跟说，不是老师有什么特殊才能，而是老师掌握了有关的数学规律，此语一出。学生马上意识到这些规律的神奇力量，学习欲望自然十分强烈。
三、以情境激发兴趣
许多教师都有这样的经历：在教学的过程中，创设一定的活动情境，使学生在活动中愉快的学习。可以这样说，这样的学习的过程是活泼有趣的，当然学习的效果也是不错的，这种方法在数学教学中也可用，例如教师都感到：在教学一些概念、法则时，学生往往觉得很枯燥，学习兴趣不高，教师也觉得教起来吃力。可是如果通过直观的演示、实验、动手操作、表演等多种形式，让学生直接感知和体验，轻松而深刻的理解到掌握概念；例如，在教学角的初步认识中，角的大小与两边长短有没有关系时，我让学生拿出活动角，亲自动手操作：（1）使活动角变大，边长是否也变大；（2）使活动角变小，边长是否也变小；（3）用剪刀把角两边剪短，角发生了什么变化？学生动手操作，剪活动角的边，得出结论，角的大小跟两边的长短没有关系，学生在观察比较中，再动手操作探索出规律，突破难点，掌握知识。
四、以数学的美激发兴趣
心理学家指出，美感来源于现实，是对客观现实美的反映，而数学也有它独特的美。数学的美是丰富的，多层次的，多样的，主要有简洁美、相似美等等，在教学中充分揭示这些数学美，使学生认识到数学的美，并感受数学的美，以此能大大激发学生的兴趣。
⑴在教学中充分揭示数学的简洁美
数学中的许多定义，公式都体现着简洁的特征，主要是语言的简洁，这在数学中应给予揭示，例如，在教学平行四边形的定义时，先让学生充分观察后自由下定义，然后通过比较揭示：对边平行的四边形叫做平行四边形的定义表述是多么无可挑剔的简单，这种数学语言的简洁美给人以明快，精练之美感，数学的简洁美还在数学技巧上，教学中要注意培养学生追求简洁的品质，在多种解法中选择美德解法，例如，在几种后算法中揭示：7+7+7+4+7+7+7=7×7-3=46的算法是多么简单明了！这种数学技巧的简洁美给人强烈的美感体验。
⑵在教学中充分揭示数学的相似美
数学教学中的具体内容和形式之间的相似现象构成了数学的相似美，如相似的数式，相似的图形，相似的解法，在课堂教学中，要善于运用具体势力，展现相似美，并且启发学生进行相似联想，大胆猜想，以引发学生的美感体验，例如，设计这一组计算题：
12345679×9=？12345679×18=？12345679×27=？12345679×36=？12345679×45=？12345679×54=？
学生一开始就感受到算式的相似美，着手计算两三道题后，很快又发现结果的相似性，即是一个相同数字组成的九位数，随后同学们依靠类比直接写出答案，并从中发现了隐含的规律，得意之情溢于言表，学生的学习兴趣也得到大幅度提高。
五、紧密联系实际，全面培养兴趣
著名数学家华罗庚指出，对数学产生枯燥乏味，神秘难懂的印象的原因之一，便是脱离实际。教学中注重联系实际，运用贴近学生的生活案例，使学生体会到所学内容与自己接触到的问题息息相关，并能解决生活中的一些问题，可以大大调动学生学习的积极性，同时培养他们的兴趣;教师要善于引导学生把课堂中所学的数学知识和方法应用于生活实际，例如在学过用比例的方法解答应用题后，我问学生学校的旗杆有多高时，他们都说不知道，我便启发他们用什么方法解决这个问题呢？有的同学说爬上去量一量，这个方法刚刚提出来，便被其他同学否定了，又有的同学说把旗杆放下来进行测量，同样的这个方法也没有得到认可，这时我问学生能不能利用所学过的解比例的方法来解决这个问题，学生们立即反应过来，是啊！老师，我们可以根据杆高和影长在同时同地的情况下成正比例，这个问题可以用正比例的方法来解决。这样教师创设出条件，重视从学生的生活经验和已有知识出发，学习和理解数学，既可加深对知识的理解，又能让学生切实体验到生活中处处有数学，体验到数学的价值。
总之，在数学课堂教学中，教师要从激发学生的兴趣入手，让学生在学习数学知识的过程中充分感受学习数学的兴趣，逐步形成对数学学科的兴趣，教师应该深入到学生的心里去，和他们一起历经知识获取的过程，历经企盼、等待、焦虑、兴奋等心理体验，与学生共同分享获得知识的快乐。
要解决的问题是：兴趣是一个人前进的内驱力，是永不枯竭的动力
源。学生参与的热情、动力皆源于兴趣。在数学教学中,培养学生的学习兴趣教育是非常重要的,它是学生学好功课的动力和源泉,因此,要使学生对数学感兴趣才是学生学好数学的关键。如何才能使学生对数学学得有兴趣呢?这是我要解决的问题。
突破的难点：教师要把培养学生学习兴趣、学习热情和良好的情感、
态度作为重要的教学目标，而绝不能把他们仅仅看作是提高学生学业成绩的条件。教学中要改进教学活动，通过联系学生实际，激发学生学习兴趣，增强学生情感体验，使教学过程充满情趣和活力。预期目标：在数学课堂教学中，教师从激发学生的兴趣入手，让学生在
学习数学知识的过程中充分感受到了学习数学的兴趣，逐步形成了对数学学科的兴趣。教师深入到学生的心里去，和他们一起历经知识获取的过程，经历期盼、等待、焦虑、兴奋等一系列的心理体验，与学生共同分享获得知识的快乐。
实现计划：如何才能使学生对数学学得有兴趣呢？作为数学教师，我打
算从以下几个方面进行实施：
一、建立融洽的师生关系，加强师生间的情感交流。教学过程是师生情感交流、彼此感染的过程。加强师生间的情感交流，形成亲切、和谐的群体感情氛围，使学生在享受感情中学习。教师要以饱满的热情、真诚的微笑面对每一个学生，对学生要保持宽容与理解，给予鼓励与引导，少一些批评与指责，多一些赞扬与鼓励，充分发挥评价的激励作用，缩短师生间的情感距离，消除师生间的无形的心灵鸿沟，让学生主动参与到教学活动中来。在这种融洽的感情基础上建立起来的师生关系能极大地提高教与学之间的信息交流，从而收到良好的教学效果。
二、创设求知情境，激发学生的学习兴趣。兴趣能激发灵感，它不是自发的，是逐渐培养起来的。
1、设“疑”激发兴趣。心理学家一致认为，“疑”最容易引发人的探究反射，它不仅能激发学生强烈的求知欲望和浓厚的学习兴趣，还有助于学生点燃创新思维的火花，因此，在教学环节中，教师巧妙设疑，能促使学生积极参与探究，从而培养学习的兴趣。例如，我们已经学过两条直线相交于一点时，有两组对顶角；三条直线相交于一点时，有6组对顶角；然后教师可以提出问题：四条直线、五条直线、甚至于n条直线相交于一点时，有几组对顶角？我为学生提供了质疑的空间，同时学生也积极动脑思考问题，给学生创造思考的空间。
2、以体验激发兴趣。我们老师要积极鼓励学生发表独特的见解，让学生畅所欲言的展示独特情感体验，学生的不同体验有力于创新能力的培养。学生在体验中活动成功的欢乐，使学习的过程成为体验成功和喜悦的过程，让学生在体验中学习。3、以活动激发兴趣
许多教师都有这样的经历：在教学的过程中，创设一定的活动情境，使学生在活动中愉快的学习。可以这样说，这样的学习的过程是活泼有趣的，当然学习的效果也是不错的。在教学一些概念、法则时，学生往往觉得很枯燥，学习兴趣不高，教师也觉得教起来吃力，可是如果通过直观的演示、实验、动手操作、表演等多种形式，让学生直接感知和体验，增进乐趣，进而解决教学中的重点或难点。
4、以数学的美激发兴趣
心理学家指出，美感来源于现实，是对客观现实美的反映，而数学也有它独特的美。数学的美是丰富的，多层次的，多样的，主要有简洁美、相似美等等，在教学中充分揭示这些数学美，使学生认识到数学的美，并感受数学的美，以此能大大激发学生的兴趣。
⑴在教学中充分揭示数学的简洁美
数学中的许多定义，公式都体现着简洁的特征，主要是语言的简洁，这在数学中应给予揭示，例如，在教学平行四边形的定义时，先让学生充分观察后自由下定义，然后通过比较揭示：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。定义表述是多么无可挑剔的简单，这种数学语言的简洁美给人以明快，精练之美感。
⑵在教学中充分揭示数学的相似美
数学教学中的具体内容和形式之间的相似现象构成了数学的相似美，如相似的数式，相似的图形，相似的解法，在课堂教学中，要善于运用具体势力，展现相似美，并且启发学生进行相似联想，大胆猜想，以引发学生的美感体验，例如，设计这一组计算题：
12345679×9=？12345679×18=？12345679×27=？12345679×36=？12345679×45=？12345679×54=？
学生一开始就感受到算式的相似美，着手计算两三道题后，很快又发现结果的相似性，即是一个相同数字组成的九位数，随后同学们依靠类比直接写出答案，并从中发现了隐含的规律，得意之情溢于言表，学生的学习兴趣也得到大幅度提高。
三、紧密联系实际，全面培养兴趣
著名数学家华罗庚指出，对数学产生枯燥乏味，神秘难懂的印象的原因之一，便是脱离实际。教学中注重联系实际，运用贴近学生的生活案例，使学生体会到所学内容与自己接触到的问题息息相关，并能解决生活中的一些问题。把课堂中所学的数学知识和方法应用于生活实际，可以大大调动学生学习的积极性。
总之，在数学课堂教学中，我们要巧妙运用各种方法，积极创设各种情境，来激发学生的学习兴趣，使学生学得有兴趣，学得有热情。
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