一次函数及其图像知识点总结

一次函数及其图像知识点总结

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第一节：函数

一、知识归纳函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。函数的三种表达式：（1）图象；（2）表格；（3）关系式。要使函数的解析式有意义。

函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。4常见函数关系式几何物理生活

二、经典题型

题型考点一求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。

例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。

⑴写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：①用水量小于等于3000吨；②用水量大于3000吨。

⑵某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费元。⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？参考答案：(1)y=0.5x、y=1500＋0.8(x－3000)(2)16601400(3)3050

例2.函数是研究()

A．常量之间的对应关系的B．常量与变量之间的对应关系的C．变量与常量之间对应关系的Ｄ．变量之间的对应关系的题型考点二确定函数的自变量取值范围，例1．（201*四川凉山）在函数yx1中，自变量x的取值范围是____2x1题型考点三能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像

例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。游客爬山所用时间t与登山高度h间的函数关系用图形表示是（）

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第二节一次函数一、知识归纳

知识点一：一次函数的定义

函数y=______(k、b为常数，k_____,自变量x的次数是U___U次)叫做一次函数.知识点二：正比例函数的定义

当b_____时，函数y=_____(k______,比例系数U____)叫做正比例函数.知识点三：一次函数与正比例函数的异同

（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）。

（2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中y=kx+b的b=0时，一次函数就变成正比例函数y=kx二经典题型

题型考点一：理解一次函数和正比例函数的概念与定义例1已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,(1)此函数为正比例函数此函数为一次函数

题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值

例1气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km,气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．（1）当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式？（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。

（3）求在离地面13km的高空处、气温是多少度？（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？

第三节一次函数图像

知识归纳知识点一

1、函数图象的的概念：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫这个函数的图象；2、画函数图象的步骤：

①列表；②描点；③连线．知识点二：一次函数的图象

比例函数y=kx(k≠0)的图象是过原点和（1，___）两点的_____________

⑵一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，_____)、(______，0)的___________（3）一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响。yyyyoxoxoxox①②③④

①k0,b0,y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k0,b0,y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k0,b0,y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k0,b0,y＝kx+b的图象在二、三、四象。

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知识点三：一次函数的性质

比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y随x的增大而______；当k0时，y随x的增大而______；当k0(或kx＋b一元一次不等式咨询电话：2238700022397000

题型考点四：一次函数图像与象限关系

1.一次函数ykxb的图象只经过第一、二、三象限，则()A．k0，b0

B．k0，b0

C．k0，b0D．k0，b0

2（201*年湖北十堰市）一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知直线y=(5－3m)x+

21m－4与直线y=x+6平行，求此直线的解析式.32题型考点五：自变量与因变量取值范围

例1、已知y－1与x成正比例，当x=－2时，y=4（1）求出y与x函数表达式

（2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a，－2）在这个平移图象上求a值。（3）如果x取值范围0≤x≤5，求y取值范围

第四节确定一次函数的表达式

一、知识归纳

知识点一：求一次函数的表达式

用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:.二经典题型

题型考点一：用待定系数法求一次函数解析式

1.当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx－4的值相同，那么k和y的值分别为（）A.1,11B.－1,9C.5,11D.3,32.若直线y=kx+b经过A（1，0），B（0，1），则（）A.k=－1,b=－1B.k=1,b=1C.k=1,b=－1D.k=－1,b=1

3、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

题型考点一：一次函数图像与面积

例8.已知直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形为__________。

yy面积等于4，则直线解析式

2O1xFAEBOCx

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第五节一次函数图像的应用

知识点一：

若直线l与直线ykxb关于

（1）x轴对称，则直线l的解析式为ykxb（2）y轴对称，则直线l的解析式为ykxb

y（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

1bxkk1bxkk

（4）直线yx对称，则直线l的解析式为

y（5）原点对称，则直线l的解析式为ykxb

例1.若直线l与直线y2x1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。解：由（2）得直线l的解析式为y2x1

题型考点一：利用图像信息解决实际问题

1、某自来水公司中为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（t）的函数，其图象如图所示

y元（1）与出x≤8时，函数表达式。（2）写出x＞8时，函数表达式。1412（3）由图象知收费标准为。

（4）当某户居民该月用水15吨，则应交水费_____元。

x(t)o810题型考点二：一次函数的应用1．（11分）小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图4所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：

(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的函数关系式．(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

题型考点三：通过两种函数的图像解决问题

1、已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y轴上，则k值为。

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扩展阅读：初中数学一次函数知识点总结

一次函数知识点总结:

一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b

中考要求

1．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数及变量思想，进一步发展抽象思维能力；经历一次函

数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作意识和能力．

2．经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展形象思维能力．

3．初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系．

4．能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.中考热点

一次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容．本知识点主要考查一次函数的图象、性质及应用，这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力．因此，一次函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.中考命题趋势及复习对策

一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～

10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．

针对中考命题趋势，在复习时应先理解一次函数概念．掌握其性质和图象，而且还要注重一次函数实际应用的练习．

复习要点

一次函数的图象和性质

正比例函数的图象和性质

考点讲析

1．一次函数的意义及其图象和性质

⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一

次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．

⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0）的一条直线，正比例函数y=kx的图

象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k≠0）当k＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．

⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．①②③④

直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；

2．一次函数表达式的求法

⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

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