二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数图像平移、旋转总归纳

一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c

向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折

在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，

⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c

若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，

将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22

122

1x-x+1；

由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）

1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2

B．y=-（x－1）2+4

C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+4

2、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．

3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m

B．300mC．1200m

D．400m

4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．

5、已知二次函数yax2bxc的图象与

x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1

＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。

37、如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐

433)的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的标为1，过点C(0，4t一个动点，PHOB于点H．若PB5t，且0t1．（1）确定b，c的值：

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

CyPAOQHBx8、已知P（m，a）是抛物线yax2上的点，且点P在第一象限.（1）求m的值

（2）直线ykxb过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M.①当b2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；

1②当b4时，记△MOA的面积为S，求的最大值

sMyPOAx

9、已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2b10xc.

（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.

扩展阅读：二次函数知识点总结及练习题

二次函数

考点1、二次函数的概念

定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。

2（2）当b=c=0时，二次函数yax是最简单的二次函数。

（3）二次函数yaxbxc(a,b,c是常数，a0)自变量的取值为全体实数（axbxc为整式）

例1：函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=_______．

2

例2：已知函数y=ax＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．

2

例3：函数y=（m－n）x＋mx＋n是二次函数的条件是（）

A．m、n为常数，且m≠0B．m、n为常数，且m≠nC．m、n为常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数例4：下列函数中是二次函数的有（）

①y=x＋

m2222211222

；②y=3（x－1）＋2；③y=（x＋3）－2x；④y=2＋x．xxA．1个B．2个C．3个D．4个

考点2、三种函数解析式：

2

（1）一般式：y=ax+bx+c（a≠0），

b4acb2b对称轴：直线x=顶点坐标：()，2a4a2a2（2）顶点式：yaxhk（a≠0），对称轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,

对称轴:直线x=

x1x222(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).

例1：抛物线yx2x8的顶点坐标为____________；对称轴是___________。例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是_______例3：已知函数ymx(mm)x2的图象关于y轴对称，则m＝________；

2

例4：抛物线y=x-4x+3与x轴的交点坐标是______.例5：把方程x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____.考点3、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.

2222yaxx1xx2.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

2

例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x相同，这个函数解析式为______________．

例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。

例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。

例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。

考点4.二次函数的图象

1、二次函数yaxbxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③

222yaxh；④yaxh2k；⑤yax2bxc.

2注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数yaxbxc的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

典型例题：

2

例1：函数y=x的顶点坐标为_______．若点（a，4）在其图象上，则a的值是________．

2

例2：若点A（3，m）是抛物线y=－x上一点，则m=________．

2222

例3：函数y=x与y=－x的图象关于________对称，也可以认为y=－x，是函数y=x的图象绕___________旋转得到．

2

例4：若二次函数y=ax（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为_________．

2

例5：．函数y=x的图象的对称轴为______，与对称轴的交点为_______，是函数的顶点．

2

例7：若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？

考点5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2yax2yax2k2yaxh当a0时开口向上当a0时开口向下x0（y轴）x0（y轴）xh（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)(yaxhk2xhxb2ayaxbxc2b4acb2，2a4a)注：常用性质：1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝

4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。①a的符号决定抛物线的开口方向

②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.例1：函数

在同一坐标系中的图象大致是图中的（）

2

例2：抛物线y(x2)3的顶点坐标是（）

A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）例3：二次函数y(x1)2的最小值是（）．A．2B．1C．－3D．

22，n是常数）的顶点坐标是（）例4：抛物线y2(xm)n（mn)D．(m，n)A．(m，n)B．(m，n)C．(m，2

例5：函数y=ax＋1与y=ax＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）

23y1y1y1y1oxo2xoxox

A．B．C．D．

考点8.抛物线yaxbxc中a、b、c的作用1、a决定抛物线的开口方向和开口大小

a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；当a3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）

2yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）ycx0当时，，∴抛物线：

注意：

①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

2b0.a例1：已知抛物线yaxbxc经过原点和第一、二、三象限，则（）A.a>0，b考点9、抛物线的平移

方法：左加右减，上加下减

抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=，y最小＝

4a2ab4acb2当a例4：二次函数y(x1)2的最小值是（）A.2（B）1（C）-1（D）-2

例2：抛物线y=-x+x+7与x轴的交点个数是（）

2

例3：抛物线y=-3x+2x-1的图象与x轴交点的个数是（）A．没有交点B．只有一个交点C．有且只有两个交点D．有且只有三个交点

考点12、直线与抛物线的交点问题

（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ah2222

2bhc).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是axbxck的两个实数根.

(5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交

2222点，由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

例1：已知a0，在同一直角坐标系中，函数yax与yax2的图象有可能是（）

1yy1yO1yx1O1xO1x1O1xA．B．C．D．

例3：在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数ymx2x2（m是常数，且m0）的图象可能是．．

例4：已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax中的y随x的增大而减小；

22

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