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二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-29 07:36:30 | 移动端:二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数图像平移、旋转总归纳

一、二次函数的图象的平移,先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位,所得图象的函数表达式是:y=2x2+4;②向下平移4个单位,所得图象的函数表达式是:y=2x2-3;③向左平移5个单位,所得图象的函数表达式是:y=2(x+5)2+1;④向右平移6个单位,所得图象的函数表达式是:y=2(x-6)2+1.由此可以归纳二次函数y=ax2+c

向上平移m个单位,所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m;向下平移m个单位,所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m;向左平移n个单位,所得图象的函数表达式是:y=a(x+n)2+c;向右平移n个单位,所得图象的函数表达式是:y=a(x-n)2+c,二、二次函数的图象的翻折

在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象,

⑤沿x轴把这张纸对折,所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3.⑥沿y轴把这张纸对折,所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c

若沿x轴翻折,所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c,若沿y轴翻折,所得图象的函数表达式是:y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转,

将二次函数y=-2x+x-1的图象,绕原点旋转180°,所得图象的函数表达式是y=22

122

1x-x+1;

由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°,所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c.(备用图如下)

1、(201*桂林)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是()A.y=-(x+1)2+2

B.y=-(x-1)2+4

C.y=-(x-1)2+2D.y=-(x+1)2+4

2、(201*浙江宁波中考)把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________.

3、飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2,飞机着陆后滑行的最远距离是()A.600m

B.300mC.1200m

D.400m

4、(201*襄阳)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后滑行m才能停下来.

5、已知二次函数yax2bxc的图象与

x轴交于点(-2,0),(x1,0)且1<x1

<2,与y轴正半轴的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c<0,④2a-b+l>0.其中的有正确的结论是(填写序号)__________.6、已知二次函数y=ax2(a≥1)的图像上两点A、B的横坐标分别是-1、2,点O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△OAB的周长为。

37、如图,已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A,B,C三点,点A的横坐

433)的直线yx3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的标为1,过点C(0,4t一个动点,PHOB于点H.若PB5t,且0t1.(1)确定b,c的值:

(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示):

(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

CyPAOQHBx8、已知P(m,a)是抛物线yax2上的点,且点P在第一象限.(1)求m的值

(2)直线ykxb过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.①当b2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;

1②当b4时,记△MOA的面积为S,求的最大值

sMyPOAx

9、已知直线y2xbb0与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为yx2b10xc.

(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y2xb上,试确定这条抛物线的解析式;

(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2xb的解析式.

扩展阅读:二次函数知识点总结及练习题

二次函数

考点1、二次函数的概念

定义:一般地,如果yaxbxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.注意:(1)二次函数是关于自变量x的二次式,二次项系数a必须为非零实数,即a≠0,而b、c为任意实数。

2(2)当b=c=0时,二次函数yax是最简单的二次函数。

(3)二次函数yaxbxc(a,b,c是常数,a0)自变量的取值为全体实数(axbxc为整式)

例1:函数y=(m+2)x+2x-1是二次函数,则m=_______.

2

例2:已知函数y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数),当a____时,是二次函数;当a______,b_____时,是一次函数;当a_______,b_______,c_________时,是正比例函数.

2

例3:函数y=(m-n)x+mx+n是二次函数的条件是()

A.m、n为常数,且m≠0B.m、n为常数,且m≠nC.m、n为常数,且n≠0D.m、n可以为任何常数例4:下列函数中是二次函数的有()

①y=x+

m2222211222

;②y=3(x-1)+2;③y=(x+3)-2x;④y=2+x.xxA.1个B.2个C.3个D.4个

考点2、三种函数解析式:

2

(1)一般式:y=ax+bx+c(a≠0),

b4acb2b对称轴:直线x=顶点坐标:(),2a4a2a2(2)顶点式:yaxhk(a≠0),对称轴:直线x=h顶点坐标为(h,k)

(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),

对称轴:直线x=

x1x222(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).

例1:抛物线yx2x8的顶点坐标为____________;对称轴是___________。例2:二次函数y=-4(1+2x)(x-3)的一般形式是_______例3:已知函数ymx(mm)x2的图象关于y轴对称,则m=________;

2

例4:抛物线y=x-4x+3与x轴的交点坐标是______.例5:把方程x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____.考点3、用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:yaxhk.已知图像的顶点或对称轴或最值,通常选择顶点式.

2222yaxx1xx2.

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:

2

例1:一个二次函数的图象顶点坐标为(-5,1),形状与抛物线y=2x相同,这个函数解析式为______________.

例2:已知抛物线的顶点坐标是(-2,1),且过点(1,-2),求抛物线的解析式。

例3:已知二次函数的图像经过(0,1),(2,1)和(3,4),求该二次函数的解析式。

例4:已知二次函数的图像与x轴的2个交点为(1,0),(2,0),并且过(3,4),求该二次函数的解析式。

考点4.二次函数的图象

1、二次函数yaxbxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①yax;②yaxk;③

222yaxh;④yaxh2k;⑤yax2bxc.

2注:二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数yaxbxc的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时步骤是:(1)先找出顶点坐标,画出对称轴;

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等);(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

典型例题:

2

例1:函数y=x的顶点坐标为_______.若点(a,4)在其图象上,则a的值是________.

2

例2:若点A(3,m)是抛物线y=-x上一点,则m=________.

2222

例3:函数y=x与y=-x的图象关于________对称,也可以认为y=-x,是函数y=x的图象绕___________旋转得到.

2

例4:若二次函数y=ax(a≠0),图象过点P(2,-8),则函数表达式为_________.

2

例5:.函数y=x的图象的对称轴为______,与对称轴的交点为_______,是函数的顶点.

2

例7:若a>1,点(-a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函数y=x的图象上,判断y1、y2、y3的大小关系?

考点5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2yax2yax2k2yaxh当a0时开口向上当a0时开口向下x0(y轴)x0(y轴)xh(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(yaxhk2xhxb2ayaxbxc2b4acb2,2a4a)注:常用性质:1、开口方向:当a>0时,函数开口方向向上;当a0时,在对称轴左侧,y随着x的增大而减少;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;当a0时,函数有最小值,并且当x=,y最小=

4a2a4acb2b当a0时,当x为何值时,y=0;当x为何值时,y考点7.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点坐标。①a的符号决定抛物线的开口方向

②对称轴平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.③顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.例1:函数

在同一坐标系中的图象大致是图中的()

2

例2:抛物线y(x2)3的顶点坐标是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)例3:二次函数y(x1)2的最小值是().A.2B.1C.-3D.

22,n是常数)的顶点坐标是()例4:抛物线y2(xm)n(mn)D.(m,n)A.(m,n)B.(m,n)C.(m,2

例5:函数y=ax+1与y=ax+bx+1(a≠0)的图象可能是()

23y1y1y1y1oxo2xoxox

A.B.C.D.

考点8.抛物线yaxbxc中a、b、c的作用1、a决定抛物线的开口方向和开口大小

a的符号决定抛物线的开口方向:当a>0时,函数开口方向向上;当a3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。(于y=kx+b中的b作用相同)

2yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0,c)ycx0当时,,∴抛物线:

注意:

①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则

2b0.a例1:已知抛物线yaxbxc经过原点和第一、二、三象限,则()A.a>0,b考点9、抛物线的平移

方法:左加右减,上加下减

抛物线的平移实质是顶点的平移,因为顶点决定抛物线的位置,所以,抛物线平移时首先化为顶点式

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0时,抛物线有最低点,函数有最小值,当x=,y最小=

4a2ab4acb2当a例4:二次函数y(x1)2的最小值是()A.2(B)1(C)-1(D)-2

例2:抛物线y=-x+x+7与x轴的交点个数是()

2

例3:抛物线y=-3x+2x-1的图象与x轴交点的个数是()A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点

考点12、直线与抛物线的交点问题

(1)y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ah2222

2bhc).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点0抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;③没有交点0抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是axbxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交

2222点,由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.

例1:已知a0,在同一直角坐标系中,函数yax与yax2的图象有可能是()

1yy1yO1yx1O1xO1x1O1xA.B.C.D.

例3:在同一直角坐标系中,函数ymxm和函数ymx2x2(m是常数,且m0)的图象可能是..

例4:已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax相交于A、B两点,且A点坐标为(-3,m).(1)求a、m的值;

(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标;

(3)x取何值时,二次函数y=ax中的y随x的增大而减小;

22

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