二次函数图像和性质第一课时

二次函数图像和性质第一课时

学习目标知识与技能

1．学会画二次函数y=ax2的图象，初步认识抛物线2．掌握形如y=ax2(a≠0)的抛物线的特征过程与方法

1．学生经历探索描点法画二次函数的图象，体会抛物线的特征，通过列表、描点的过程，体验数形结合的思想

2．教师用电脑现场画图，通过对比同一坐标系内多条函数图像，总结归纳抛物线y=ax2的性质。情感、态度和价值观

1．动画演示投射炮弹，让学体会抛物线名称来源于实际2．体会抛物线的对称美学习重点

画二次函数y=ax2(a≠0)的图象并理解其性质。学习难点

理解二次函数y=ax2(a≠0)的最高（或最低）点，最大（或最小）值等性质。教学准备

教具：多媒体课件；学具：每人一张学案教学流程

一、提出问题导入新课

一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么呢？通常如何画函数的图象呢？今天我们共同来探讨一下二次函数y＝ax2的图像和性质。（板书课题）

二、动手操作合作探究

1、画一般函数图像的步骤是什么呢？（列表、描点、连线）

2、师生共同画函数y=-2x2的图像

教师用电脑操作、学生在坐标纸上跟随老师一步一步操作。3、电脑动态演示炮弹投射过程并讲述相关概念（抛物线、顶点）

4、学生动脑思考，初步感知抛物线的特征：关于y轴对称，开口方向向下。三、再探图象明确性质

1、教师用电脑在直角坐标系内画图。（y=2x2,y=x2,y=8x2）

212、学生观察，从a的取值、顶点、对称轴、开口方向上总结抛物线的性质。3、教师用电脑在直角坐标系内画图。（y=－2x2,y=－

12x2,y=－8x2）

4、学生观察，从a的取值、顶点、对称轴、开口方向上总结抛物线的性质。四、知识归纳构建体系

1、小组交流，归纳总结抛线的性质2、小组代表汇报，老师梳理并板书性质五、新知应用深化理解从三个深度对学生加以考评1、直接运用性质⑴、口答

①函数y=3x2的开口方向________，对称轴________顶点坐标_________。

②函数y=－4x2图像是_____，开口方向_____对称轴是______，顶点坐标是______。2、理论升华性质

比较二次函数y=3x2与y=－x2相同点与不同点。3、整体把握二次函数

已知函数y=(a+1)xa是二次函数，且其开口向下，则a=______六、归纳小结布置作业

一、导入（前面我们已经学过一次函数和反比例函数，今天我又给大家带来了一个新的朋友二次函数。（进入新课）

1、（课件），让学生了解二次函数的概念。根据概念来判断我所写的函数是不是二次函数。2、（板书）二次函数并让学生识别

①y=－x2②y=3x2③y=－8x2④y=x2⑤y=－3x2⑥y=8x2

3、一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是双曲线，二次函数的图像是什么形状呢？二、新授（我们就来画一下y＝－2x2的图像，画一般函数图像的步骤是什么呢？下面我们就来用描点法画函数图像）

4、应用电脑用描点法画y＝－2x2的图像，（点击画图）用动画演示抛物线的由来，并介绍相关概念（抛物线、对称性、顶点）。（所以我们在画图像的时候要在对称轴左右描点，这就要求我们在列表时自变量的取值应在0左右分别取有代表性的值。）

5、学生用描点法画函数y＝2x2的图像，学生回答抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。6、利用你所得到的结论，判断①y=－x2②y=3x2的性质。电脑直接画函数图像。①y=－x2②y=3x2③y=－8x2④y=x2⑤y=－3x2⑥y=8x2

7、抛物线都有哪些性质呢？学生交流探究抛物线的性质。学生口述，教师梳理板书。三、练习8、巩固练习。四、小结

9、小结10、作业。

27.2.1二次函数y=ax2的图象和性质------导学提纲

一、简要提示：

本节主要通过画二次函数y=x2和y=-x2的图像，从而由特殊到一般，总结出二次函数y=ax2的图像和性质二、认知与探究

（一）知识性问题通过复习前面学过的和预习教材5-----7页，尝试解决下列问题：1、形如的函数叫做二次函数。

2、判断一个二次函数的关键是

3、平面直角坐标系内的点与有序实数对是

4、一次函数的图像是，反比例函数的图像是，二次函数的图像是一条，它有条对称轴，叫做抛物线的顶点。

5、抛物线y=ax对称轴是，顶点坐标是，当a>0时，抛物线开口向，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧，y随x的增大而，当a

22

（1）做一做在同一直角坐标系中画出y=x和y=-x的图像，观察并比较它们有什么共同点和不同点（2）通过函数图像引入抛物线，及对称轴和抛物线的顶点

（3）通过观察比较y2x2和y2x2的图像,从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值这几个方面总结一下二次函数y=ax2的性质。小组交流讨论

抛物线开口方向对称轴顶点坐标位置增减性最值（三）梳理与反馈1知识梳理

（1）通过本节学习我们知道了二次函数y=ax的图像是一条抛物线

（2）画函数图像的步骤是列表，描点，连线。在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．（3）二次函数y=ax2的性质

2反馈训练

1、根据左边已画好的函数图象填空：

（1）抛物线y=3x2的顶点坐标是,对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=3x2在x轴的方（除顶点外）。

22y（2）抛物线x在x轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x

的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x0时，y0)y=ax2(a1、理解二次函数的意义，会用描点法绘制二次函数y=ax2的图像。2、探究分析常量a的符号决定开口方向以及二次项的系数的绝对值大小确定抛物线的开口的小大。3、从图象上掌握二次函数的性质，讨论最大值和最小值由哪些条件确定，复习轴对称。二、过程与方法：认识二次函数，强调自变量指数为2，要求学生利用坐标纸画y=2x2；y=-2x2的图象。根据图象培养观察、分析、归纳的能力。比较解析式，图象的异同，二次项的系数确定了什么？两个图形是否对称？等关于二次项的系数的性质。然后利用坐标纸再画，y=12x2，y12x2的图象，巩固所学内容；接着分别比较y=2x2,y=的y12x212x2；y=-2x2的开口的大小，为以后一坐标画多个函数作准备。最后小结本节课学校内容。三、情感态度价值观：通过二次函数的学习，要求学生学会画二次函数，掌握其性质；在教学中渗透师生、生生合作交流的教学理念；培养动手，动脑的好习惯；体验成功，分享成功，为课后相互帮助，继续学习提供一个良好的开端。1、二次函数y=2x2；y=-2x2的图象和性质。教学重点1、从二次函数y=ax2的图象或解析式分别归纳当a＞0、a教学难点＜0时的函数的性质；拓展视野，放眼看函数。

扩展阅读：二次函数图像和性质练习题1

二次函数图像和性质1

一、选择题

1．已知二次函数y＝Ax2＋Bx＋C的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞0

(第10题)

2．如图5，已知抛物线yx2bxc的对称轴为x2，点A，B均在抛物线上，且AB

与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为

yx=2ABOx图5

A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）

3．函数yaxb和yax2bxc在同一直角坐标系内的图象大致是()

4．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（）

A．b=3，c=7B．b=6，c=3C．b=9，c=5D．b=9，c=215．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是A．ab＜0B．ac＜0

C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小

D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。

6．已知函数y1＝x2与函数y2＝－

围是（）．

1x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范2

A．－

333＜x＜2B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜2222D．x＜－2或x＞

327．若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E（x，x2x1）可以由E（x，x）怎样平移得到？A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位8．已知抛物线yax2bxc（a＜0）过A（2，0）、O（0，0）、B（3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是

A．y1＞y2

B．y1y2

C．y1＜y2D．不能确定

29．下列函数：①y3x；②y2x1；③y1x0；④yx22x3，其中xy的值随x值增大而增大的函数有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

22

10．设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax+bx+a-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（）yyyy－1O1x－1O1xOxOx

A.6或－1B.－6或1C.6D.－1

11．已知函数y3(xm)(xn)，并且a,b是方程3(xm)(xn)0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是

mabnB．manbC．ambnD．amnbA．

12．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为

13．定义[a,b,c]为函数yaxbxc的特征数,下面给出特征数为[2m，1m,1m]

的函数的一些结论：

①当m=3时，函数图象的顶点坐标是(

218，)；333；2②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于③当m<0时，函数在x>

1时，y随x的增大而减小；4④当m0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④14．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四

边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）

ADBC

(第10题)

B．yA．y22x25422xC．yx2255D．y42x515．已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：

①b24ac0；②abc0；③8ac0；④9a3bc0．其中，正确结论的个数是

（A）1（C）3y（B）2（D）4

21Oxx1第（15）题

16．将抛物线y2x212x16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．y2x12x16B．y2x12x16C．y2x12x19D．y2x12x20

17．y=x＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）。A．a=5B．a≥5C．a＝3D．a≥3

18．已知二次函数yxbxc中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点

22

22A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，当03．已知抛物线y12xbx经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定2一点D,使得ADCD的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

4．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.

12yx1上运动，当⊙P与x轴相切5．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线

2时，圆心P的坐标为▲.

6．如图，抛物线yaxc(a0)交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧。BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C。

四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为。

2

7．（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2=▲；（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝▲．

yyx

y2PO

三、解答题

x

1．（201*江苏泰州）如图，二次函数y129xc的图象经过点D3,，与x轴交22于A、B两点．

⑴求c的值；⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2．（201*福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．AHEF

（1）求证：＝；

ADBC

（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

(第21题)

第21题图1

3．如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，1

OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．、

(第3题图1)(第3题图2)

4．如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线

一定过点E；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一

动点，求△CMN面积的最大值．

yDCEAOBx=4x

5．（201*湖南邵阳）如图，抛物线y＝12xx3与x轴交于点A、B，与y轴相交于点4C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。（1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；②若r=45，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存5在，请说明理由．

第5题图

6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

yPAODBQxC27．如图，二次函数yxaxb的图象与x轴交于A(,0),B(2,0)两点，且与y轴交

12

于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

第7题图8．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)．(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知抛物线yaxbxc(a0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y25作垂线，垂足为M，连FM（如图）.434（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求

出t值，若不存在请说明理由.

10．(已知二次函数yax2bxc的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

第10题图

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

BE→F→C2yQOMCPBANx

ADG12．如图1，抛物线y1ax2axb经过点A（－1，0），C（0，

3）两点，且与x轴2的另一交点为点B．

（1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=

2y2，求y2于x的函数关系式，并且直接写出2自变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．图2

图1

13．已知一次函数y＝

1x1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数211yx2bxc图象与一次函数y＝x1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E22两点且D点的坐标为(1,0)

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，

求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

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