复变函数总结

复变函数总结

第一章复数的运算与复平面上的拓扑

1.复数的定义

一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,yImz.i21，X称为复数的实部，y称为复数的虚部。复数的表示方法1）模：

zx2y2；

2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为是位于(,]中的幅角。

argzArgz（多值函数）；主值

3）argz与

arctanyx之间的关系如下：

yx；

当x0,

argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan当yxyx

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”5）指数表示：

2.复数的四则运算

1）.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：

3）若z1x1iy1,z2x2iy2，则

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其中argz

；。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4）若

z1z1ei1,z2z2ei2,则

z1z2z1z2ei12；

z1i12z1ez2z2

5.无穷远点得扩充与扩充复平面

复平面对内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面这样的球面称作复球面.

扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集

复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复数域的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。

第二章复变量函数

1.复变量函数的定义

设G是一个复数zxiy的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与之对应,那末称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作wf(z).

1）复变函数的反演变换（了解）2）复变函数性质

反函数有界性周期性，3）极限与连续性极限：

设函数wf(z)定义在z0的去心邻域

连续性

0zz0内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的0,相应地必有一正数()使得当0zz0(0)时,有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.

如果limf(z)f(z0),那末我们就说f(z)zz0在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.2.复变量函数的形式偏导

1）复初等函数ezexcosyisinye2)指数函数：，在z平面处处可导，处处解析；且注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：主值：

zzez。

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；

。（单值函数）

lnzlnziargzLnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且

lnz1z；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

4)乘幂与幂函数：

abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且

zbz。

eizeizeizeiz5)三角函数：

sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性

sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）

ezezezez6）双曲函数

shz2,chz2；shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz,chzshz

第三章解析函数的定义

1.复变量函数的导数

设函数wf(z)定义于区域D,z0为D中的一

点,点z0z不出D的范围,f(z0z)f(z0)

如果极限limz0z存在,

那末就称f(z)在z0可导.这个极限值称为f(z)在z0的导数,复变量函数的解析性

如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z0解析.如果函数f(z)在区域D内每一点解析,则称

f(z)在区域D内解析.或称f(z)是区域D内的一

个解析函数(全纯函数或正则函数).

2.函数可导与解析的充要条件1）函数可导的充要条件：

fzux,yivx,y在zxiy可导

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：

uv,xyuvuvfziyx此时，有xx。

2）函数解析的充要条件：

fzux,yivx,y在区域内解析

ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：

uv,xyfzuvyx；uvixx。

此时

注意：若

ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则

ux,y,vx,y在区

域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。

解析映射的几何意义

保角性：任何两条相交曲线的夹角（即在交点的切线的夹角）在解析映射下的夹角保持不变

第四章柯西定理和柯西公式

1．复变函数积分的性质

fzdz1）

ccc1fzdz（c与c的方向相反）；

cc1

[fzgz]dzfzdzgzdz,,2）是常数；

3）若曲线c由c1与c2连接而成，则c2．复变函数积分的一般计算法

ccfzdzfzdzfzdzc1c2。

fzdzudxvdyivdxudy1）化为线积分：；（常用于理论证明）

c2）参数方法：设曲线c：

zzt(t)，其中对应曲线c的起点，对

应曲线c的终点，则c

3.积分与路径无关的条件和原函数1）条件：见书中定理（1.1）（1.2）命题（1.1）（1.2）这几个定理及命题都只有理论上的意义。柯西-古尔萨定理及其应用4．柯西古萨基本定理：

fzdzf[zt]z(t)dt设

fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

fzdz0c

5．复合闭路定理：设

fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，

c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn为边界的区域全含于D内，则

①

fzdz,fzdzcnk1ck其中c与ck均取正向；

②

fzdz01cc，其中由及(k1,2,n)所组成的复合闭路。

6．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数

fz沿闭曲线c的积分，不

因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使的奇点。

7．解析函数沿非闭曲线的积分：设

fz不解析

fzGzfz在单连域B内解析，为在B(z1,z2B)内的一个原函数，则

说明：解析函数数即可。

8.柯西积分公式：设

z2z1fzdzGz2Gz1

fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函

fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，cfzdz2ifz0czzz0的内部完全属于D，0为c内任意一点，则9．高阶导数公式：解析函数

fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为fz2indzc(zz0)n1n!fz0其中c为

(n1,2)

fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内

部完全属于D。10重要结论：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法1）若2）设

fzfz在区域D内处处不解析，用一般积分法在区域D内解析，

cfzdzf[zt]ztdt

cc是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，fzdz0

c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

cfzdzz2z1fzdzFz2Fz1

3）设

fz在区域D内不解析

fzdz2ifz0czz0fz2indzfz0c(zz)n1n!0曲线c内仅有一个奇点：（f(z)在c内解析）

曲线c内有多于一个奇点：cnfzdzfzdzk1ckkn（ci内只有一个奇点zk）

或：

fzdz2iRes[f(z),z]ck1（留数基本定理）

fzn1(zz)o若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。

在柯西定理的基础上还有莫拉雷定理，柯西不等式，刘维尔定理最大模原理

解析函数的模不能再区域内达到极大值，除非它是一个常函数

扩展阅读：复变函数总结完整版

第一章复数

1i2=-1i1欧拉公式z=x+iy

实部Rez虚部Imz

2运算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2

②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2

z1z2③

x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1

④

z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxiy共轭复数

zzxiyxiyx2y2共轭技巧

运算律P1页

3代数，几何表示

zxiyz与平面点x,y一一对应，与向量一一对应

辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=02kk=±1±2±3…

把位于-π＜0≤π的0叫做Argz辐角主值记作0=argz0

4如何寻找argz

例：z=1-iz=i

4

2z=1+i

4z=-1π

5极坐标：xrcos，yrsinzxiyrcosisin

i利用欧拉公式ecosisin可得到zre

iz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei12

6高次幂及n次方

znzzzzrneinrncosnisinn

凡是满足方程z的ω值称为z的n次方根，记作

nnz

zrei2kn即rn

2knr2kn

1n第二章解析函数

1极限2函数极限

①复变函数

对于任一ZD都有W与其对应fz注：与实际情况相比，定义域，值域变化例fzz

②limfzzz0称fz当zz0时以A为极限

zz0☆当fz0时，连续例1

证明fzz在每一点都连续

证：fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一点都连续

3导数

fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC时有C证：对z有limz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3证明fzz不可导解：令zz0

fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy当0时，不存在，所以不可导。

定理：fzux,yivx,y在zxiy处可导u，v在x,y处可微，且满足C-R

条件

uvuvuvi且fz

xxxyyx例4证明fzz不可导

解：fzzxiy其中ux,yxvx,yyu,v关于x,y可微

uv11不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例5fzRez

解：fzRezxux,yxvx,y0

uv10不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例6：fzz

2解：fzz2x2y2其中ux,yx2y2vx,y0

根据C-R条件可得2x0,2y0x0,y0所以该函数在z0处可导

4解析

若fz在z0的一个邻域内都可导，此时称fz在z0处解析。用C-R条件必须明确u,v

四则运算fgfgfgzfggzkfkfznnzn1

zfgfgfg☆eezffgfg2gg例：证明fzezeezz

解：fzezexcosyiexsiny则ux,yexcosyvx,yexsiny

uvexcosyexcosyxyuvexsinyexsiny任一点zxiy处满足C-R条件yxz所以e处处解析fzuviexcosyiexsinyezxx练习：求下列函数的导数

fzzz

22232233223解:fzzzxyxiyxixyxyiyxxyixyy

2ux,yx3xy2vx,yx2yy3所以

u2xyyuv3x2y2x23y2xyC-R

方程可得

v2xy根据xuv3x2y2x23y2xyuv2xy2xyx0,y0yx所以当z0时fz存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

初等函数

Ⅰ常数

Ⅱ指数函数ezexcosyisiny

①定义域②e1ezz2ez1z2③ez2iezcos2isin2ez④ezez

Ⅲ对数函数称满足ze的叫做z的对数函数，记作lnz分类：类比nz的求法（经验）目标：寻找arg幅角主值

i可用：zezreuiv

iuiveueivreireu,eieiv过程：zreeeulnr,v2kk0,1,2

所以

uivlnri2klnrirgzlnziargz2k

k0,1,2

例：求Ln1Ln1iLni的值

arg1

Ln1ln1iarg12ki2k1k0,1,2

arg1i4

Ln1iln1iiarg1i2kargi1ln2i2kk0,1,2242

Lnilniiargi2k1i2kk0,1,2

2Ⅳ幂函数对于任意复数，当z0时

zeLnz

例1：求i解

1i的值

：

i1ielni1ie1iLelnii1iniie1ii2kAr2ei12kg2

k0,1,2

例2：求1i3ieln1i3ie3iln1ie13iln2i2k24

Ⅴ三角函数eiyeiycosyeiycosyisiny2iyiyiy

eeecosyisinysiny2i定义：对于任意复数zxiy，由关系式可得z的余弦函数和正弦函数

eizeizeizeizcoszsinz

22i例：求sin1icos5i解：sin1i1i1ieei1i2i1cos5iei5iei5i

2第三章复变函数的积分

1复积分

定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线fzux,yivx,y在C上连续，则

fzux,yivx,yCC在C上可积，且有

fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx

C注：①C是线②方式跟一元一样方法一：思路：复数→实化

把函数fzuiv与微分dzdxidy相乘，可得

fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx

CCC方法二：参数方程法☆核心：把C参数C：ztt

fzdzztztdt

C例：求

1；11izdz①C：0→1i的直线段②0CC1C2解：①C：zttit0t1

zdztittitdtt1i1idt1

C0011②C1:ztt0tC2:zt1it0t1

zdzzdzzdztdt1itdtCC1C201*111i1i22★结果不一样

2柯西积分定理

例：

zaC1nn12idz

n10C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针解

：C

：

zaei2in

2

zxiy

02

zaC1ndz0edz10einieid2in1i221nin1e1nid1ed1ni0n1001ni☆积分与路径无关：①单联通②处处解析例：求

2zC2xasin8z1dz，其中C是连接O到点0,2a的摆线：

ya1cos解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因fz2z8z1在全平面上解析，

22z8z1dz0即2z8z1dz2z则

2CL2CL28z1dz

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

2zL28z1dz22a02x288x1dx2a2a28a1

3故

2zC88z1dz2a2a28a1

3★关键：①恰当参数②合适准确带入z

3不定积分

定义3.2设函数fz在区域D内连续，若D内的一个函数z满足条件

zfzzD定理3.7若可用上式，则例：计算解：

fzdzzzz,zz00z0D

edz

0i0izi0ezdzezei1

2练习：计算解：

2i2i22ze3z1dz

12i3z21212i3z214i12edzed3z1222622ze3z1dz4柯西积分公式

定理处处解析fz在简单闭曲线C所围成的区域内则fa1fzdz

2iCzaez1dz例1：z1zez1ez1解：dzdzez1z1z1z0zz00

sinzz2z21dzsinz1sinz1sinzdzdzdz2isin1解：z2z21z2z22z12z1例2：例3：

9zz7dz

z22z解：

z2z2zz9zdzdz2iz2zi9z2z79z2zi5

fz1fdzDC2iz注：①C：zD

②

1一次分式z③找到fzfz在D内处处解析例4：解

sinzzz22zz1dz

：

szzz22zz1dzszzszzs22dzdz2iiizzz1szzis11z0z2z1z2z0225解析函数的高阶导数

公式：fnzn!f2iCzn1dzDn=1，2……应用要点：①zD

②

1zn1"n"

③精准分离

fzn1

sinzZ12z3dzsinz例：2z1z021dz2i2!sinz2z006调和函数

2g2若gx,y满足gx2gy20则称gx,y叫做D内的调和函数若fzux,yivx,y在D内解析

所以2u2u2xyv2v22xyxy0

把u,v称为共轭调和函数

第四章级数理论

1复数到znn1距离dz,z

谈极限对zn若有z0D使得dzn,z0znz00n此时z0为zn的极限点记作z0limzn或znz0n

n推广：对一个度量空间x,d都可谈极限2极限的性质

znnz00znz0nznnz00nn0

n0znz0n03znxniynz0x0iy0n

xx0nn

yy0n

4zn级数问题

Snz1z2z3znSn部分和数列

若limSnS0nzn1n则zn收敛，反之则发散。都收敛，则

性质：1若

zn

nzznnnn收敛

2若一个收敛，一个发散，可推出发散3SnS0n

Sn1S0n若若

aanan绝对收敛

但an收敛，为条件收敛

nz1zn等比级数：Snzzz

1z2nSn

zz1时收敛，其他发散n1z幂级数

Cnzz0

nn0zz0则Cnn

n0求收敛域limnCn1Cn0010R0

0zn例：求的收敛半径及收敛圆

n1n解：因为lim

Cn1nlim1所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为z1

nCnn1n泰勒级数

泰勒定理：设函数fz在圆K：zz0R内解析，则fz在K内可以展成幂级数

fzCnzz0n0nfnz0其中，Cn，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

n!z例1：求fze在z0处的泰勒展式

解：fze在全平面上解析，fznzez，fn01

所以在z0处的泰勒展式为

z2zne1zz

2!n!z例2：将函数fz解

11z2展成zi的幂级数

：

fz11z211121z1izi1in1zizin121i1izi2

罗朗级数

罗朗定理若函数fz在圆环D：rzz0R0rR内解析，则当zD时，有fznCzzn0n

其中Cn1fdn0,1,2n12iz01例：将函数fz内展成罗朗级数。

z1z2在圆环（1）1z2（2）2z

解：（1）在1z2内，由于

1z1,1，所以z2111111z1z1z2z2z121z12z

nn1z11zn1n1n12n02zn0zn02n0zfz（2）在2z内，由于

1121,1，所以zz11111121z1z2z2z121z1zz

nn12112n11zn0zzn0zznn1fz

孤立奇点

定义：若函数fz在z0的去心邻域0zz0R0R内解析，在z0点不解

析，则称z0为fz的孤立奇点。

sinzz2z4z2nn例：11z0为可去奇点

2n1!z3!5!2n3sinz1zn1z21z0为一级极点

2n1!z3!zsin1z11111n11z0为本性奇点32n12n1!zz3!z第5章留数理论（残数）

定义：设函数fz以有限项点z0为孤立奇点，即fz在z0的去心邻域

1fzdz的值为函数fz在点z0处的留数2iC0zz0R内解析，则称积分

记作：Resfz,z01fzdzC2i其中，C:zz0R，C的方向是逆时针。例1：求函数fzsinz在z1处的留数。z414解：因为z1以z1为一级零点，而sin10，因此fz以z1为一级极点。

Resfz,1sinzz411zz1sinz4z3z11sin14例2：求函数fzez在z0处的留数

解：z0是fz的本性奇点，因为

fzez1z111z2zn111ee1z12n2!n1!z2!n!zzz1z0z

所以C111111

n1!n!2!2!3!可得Resfz,01

111

n1!n!2!2!3!

第7章傅里叶变换

通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数ft在,上有定义，则称

Ffteitdt

为傅里叶变换。同时ftfteitd为傅里叶逆变换

注：①傅里叶变换是把函数ft变为函数F

②傅里叶逆变换是把函数F变为函数ft③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分复习积分：①exdx1xxedxe

0

②sin7x1dx1cos7sin7x1d7x17x17③xe2dx1x233x33x23213x232e32edx6ed3x36

④

x3exdxx3exexdx3

x3ex3exx2dxx3ex3exx2exdx2

x3ex3exx26exxdxx3ex3exx26xexex

dxx3ex3exx26xex6ex⑤x2sinxdxx2sinxsinxdx2

x2sinx2xsinxdxx2sinx2xsinxsinxdxx2sinx2xsinx2cosx

注：uvdxuvudv

例1：求ft10tsts的F

Ffteitdtsitt0edts1isedts0eitdtisitdit解：

seieits

siiisese2sins例2：求ft0ett0t00的FFfteitdt00eitdteteit0dt解：it0edt

1eiti0i22-函数

定义：如果对于任意一个在区间,上连续的函数ft，0tt0ftdtft0，则称t为-函数。

例1：求-函数的F

恒有解：Fteitdtt0eit0eitt01

例2：求正弦函数ftsin0t的傅氏变换

Ffteitdtsin0teitdtei0tei0titedt2i解：1ei0tei0tdt2i120202ii00F☆t112

F1第8章拉普拉斯变换设ft在t0时有定义

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