复变函数简单总结

复变函数简单总结

对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。复变函数的记号是w＝f（z）。从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。

在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数V＝V（z）＝Vx（x，y）＋iVy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy（x，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。

在静电学中，平面静电场也可以用复函数E（z）＝Ex（x，y）＋iEy（x，y）来表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。

对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。

复变函数泛谈

首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。

复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。

复数的集合复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。

而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。

曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将著名的佯谬薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。

“虚数”是人类在发展数学上的解题技术时，以人为定义方式发明的一种虚拟的数，在现实生活中不存在，在实务的商用数学中也用不着。“复数”可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义，带有虚数的复数届时没有意义的。

至此，虚数在物理学中不存在的理论在我的认识中仍然是正确的。直到到看到时间的空间矢量代数法则：“时间有空间的方向性，它能做矢量代数。”做代数运算时，虚数就是时间。多普勒效应是证明四维时间存在的实验基础之一。

虚数是的确不存在于三维世界中的，但却被定义为第四维的时间。虚数时间只是用数学呈现的方法，是一种处理方式。就像RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。

之后我又得到了物理学中有关快子的概念：快子是理论上预言的粒子。它具有超过光速的局部速度（瞬时速度）。它的质量是虚数，但能量和动量是实数。有人认为这种粒子无法检测，但实际未必如此。影子和光斑的例子就说明超过光速的东西也是可以观测到的。目前尚无快子存在的实验证据，绝大多数人怀疑它们的存在。有人声称在测氚的贝塔衰变放出的中微子质量的实验中有证据表明这些中微子是快子。这很让人怀疑，但不能完全排除这种可能。快子虽未被科学界认可，但至少已经人类已将虚数应用到物理学中。其一旦被证明，虚数不存在物理意义的观点即被打破。

虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义”的根式也变得有理可寻。可是在历史上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为数的鬼魂，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几何解释虚数成功后才慢慢平静下来。对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家来说却并非如此。高斯就曾经说过，关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活性。为什么认为“歧视虚数”就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则在起作用：对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属于一个统一的复平面的横轴和竖轴时，所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了一种对称性。而任何人为的歧视都将打破这种对称。”

通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。

扩展阅读：复变函数总结

第一章复数的运算与复平面上的拓扑

1.复数的定义

一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,yImz.i21，X称为复数的实部，y称为复数的虚部。复数的表示方法1）模：

zx2y2；

2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为是位于(,]中的幅角。

argzArgz（多值函数）；主值

3）argz与

arctanyx之间的关系如下：

yx；

当x0,

argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan当yxyx

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”5）指数表示：

2.复数的四则运算

1）.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：

3）若z1x1iy1,z2x2iy2，则

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其中argz

；。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4）若

z1z1ei1,z2z2ei2,则

z1z2z1z2ei12；

z1i12z1ez2z2

5.无穷远点得扩充与扩充复平面

复平面对内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面这样的球面称作复球面.

扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集

复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复数域的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。

第二章复变量函数

1.复变量函数的定义

设G是一个复数zxiy的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与之对应,那末称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作wf(z).

1）复变函数的反演变换（了解）2）复变函数性质

反函数有界性周期性，3）极限与连续性极限：

设函数wf(z)定义在z0的去心邻域

连续性

0zz0内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的0,相应地必有一正数()使得当0zz0(0)时,有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.

如果limf(z)f(z0),那末我们就说f(z)zz0在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.2.复变量函数的形式偏导

1）复初等函数ezexcosyisinye2)指数函数：，在z平面处处可导，处处解析；且注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：主值：

zzez。

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；

。（单值函数）

lnzlnziargzLnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且

lnz1z；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

4)乘幂与幂函数：

abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且

zbz。

eizeizeizeiz5)三角函数：

sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性

sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）

ezezezez6）双曲函数

shz2,chz2；shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz,chzshz

第三章解析函数的定义

1.复变量函数的导数

设函数wf(z)定义于区域D,z0为D中的一

点,点z0z不出D的范围,f(z0z)f(z0)

如果极限limz0z存在,

那末就称f(z)在z0可导.这个极限值称为f(z)在z0的导数,复变量函数的解析性

如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z0解析.如果函数f(z)在区域D内每一点解析,则称

f(z)在区域D内解析.或称f(z)是区域D内的一

个解析函数(全纯函数或正则函数).

2.函数可导与解析的充要条件1）函数可导的充要条件：

fzux,yivx,y在zxiy可导

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：

uv,xyuvuvfziyx此时，有xx。

2）函数解析的充要条件：

fzux,yivx,y在区域内解析

ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：

uv,xyfzuvyx；uvixx。

此时

注意：若

ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则

ux,y,vx,y在区

域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。

解析映射的几何意义

保角性：任何两条相交曲线的夹角（即在交点的切线的夹角）在解析映射下的夹角保持不变

第四章柯西定理和柯西公式

1．复变函数积分的性质

fzdz1）

ccc1fzdz（c与c的方向相反）；

cc1

[fzgz]dzfzdzgzdz,,2）是常数；

3）若曲线c由c1与c2连接而成，则c2．复变函数积分的一般计算法

ccfzdzfzdzfzdzc1c2。

fzdzudxvdyivdxudy1）化为线积分：；（常用于理论证明）

c2）参数方法：设曲线c：

zzt(t)，其中对应曲线c的起点，对

应曲线c的终点，则c

3.积分与路径无关的条件和原函数1）条件：见书中定理（1.1）（1.2）命题（1.1）（1.2）这几个定理及命题都只有理论上的意义。柯西-古尔萨定理及其应用4．柯西古萨基本定理：

fzdzf[zt]z(t)dt设

fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

fzdz0c

5．复合闭路定理：设

fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，

c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn为边界的区域全含于D内，则

①

fzdz,fzdzcnk1ck其中c与ck均取正向；

②

fzdz01cc，其中由及(k1,2,n)所组成的复合闭路。

6．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数

fz沿闭曲线c的积分，不

因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使的奇点。

7．解析函数沿非闭曲线的积分：设

fz不解析

fzGzfz在单连域B内解析，为在B(z1,z2B)内的一个原函数，则

说明：解析函数数即可。

8.柯西积分公式：设

z2z1fzdzGz2Gz1

fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函

fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，cfzdz2ifz0czzz0的内部完全属于D，0为c内任意一点，则9．高阶导数公式：解析函数

fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为fz2indzc(zz0)n1n!fz0其中c为

(n1,2)

fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内

部完全属于D。10重要结论：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法1）若2）设

fzfz在区域D内处处不解析，用一般积分法在区域D内解析，

cfzdzf[zt]ztdt

cc是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，fzdz0

c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

cfzdzz2z1fzdzFz2Fz1

3）设

fz在区域D内不解析

fzdz2ifz0czz0fz2indzfz0c(zz)n1n!0曲线c内仅有一个奇点：（f(z)在c内解析）

曲线c内有多于一个奇点：cnfzdzfzdzk1ckkn（ci内只有一个奇点zk）

或：

fzdz2iRes[f(z),z]ck1（留数基本定理）

fzn1(zz)o若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。

在柯西定理的基础上还有莫拉雷定理，柯西不等式，刘维尔定理最大模原理

解析函数的模不能再区域内达到极大值，除非它是一个常函数

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