高中数学三角函数经典知识点总结

高中数学三角函数经典知识点总结

三角函数知识要点

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ

|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

②终边在x轴上的角的集合：

▲y2sinx1cosxcosx3sinx4cosxcosxx⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90

2.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧长公式：l2||r.扇形面积公式：s扇形lr||r

1sinxsinx342SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域ya的终边P（x,y)r4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则siny；cosx；tany；cotx；secr；.cscr.

xrxryy5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

1212oxyPT++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切y16.几个重要结论:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xOMAx6、三角函数线

正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：三角函数f(x)sinx

cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx

sin2(x)sinxcos2(x)cosxtan2(x)tanxcot2(x)cotx

sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt

（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

coscos()coscossinsinsin22sin222co2ssin2co2s112sincos()coscossinsincos21tan1cossin()sincoscossinsin

22sin()sincoscossintan22tan

tan()tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan1tantan21cos1cossin公式组三公式组四公式组五1sincossinsin12tan2cos()sin221sincossinsinsin221tan12sin()cos12coscoscoscos2121tantan()cot212sinsincoscoscos221tan2

sinsin2sinsinsin2cos2cos2sin222tancoscos2coscos221tan22coscos2sinsin222tan1cos()sin21tan()cot21sin()cos262,tan15cot7523,tan75cot1523.410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]sin15cos7562,sin75cos154上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.②ysinx与ycosx的周期是.

▲yx)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(ytan2.

xOx的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2os(x)的对称轴方程是xk（kZ）④ysin(，对称中心（k,0）；yc2x)的对称轴方程是xk（kZ），

k,0）.ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x2tan1,k(kZ)；tantan1,k(kZ).⑤当tan

对称中心（k1,0）；

2ytan(x)的对称中心（

221⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则y(x)sin(xk)cos(x).

22⑦函数

ytanx在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，ytanx为增函数，同样也是

错误的].

⑧定义域关于原点对称是

，f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要）

二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：奇函数特有性质：若0ytanx是奇函数，ytan(x1)是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

3▲x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

y⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；；ycosx为周期函数（T）；ycosx是周期函数（如图）

1/2xycos2x1的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：yf(x)5f(xk),y=|.kcos2x+1/2R|图象2▲y⑩yacosbsina2b2sin()cos定义域值域周期性奇偶性单调性b有a2b2y.ay=cos|x|图象xysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）RRR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ[1,1]2奇函数[1,1]RRA,A22偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2k2k[22k,[2k1,2k][2k,；2[2k]上为增函数k,k1上为减函k,k数（kZ）22上为增函数（kZ）上为增函数；2k1]232k]22k,上为减函数（kZ）2(A),12(A)上为增函数；上为减函数（kZ）2(A),32(A)上为减函数（kZ）11、三角函数图象的作法：1）、描点法五点作图法2）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，频率f1||，相位x;初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞

T2||0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）.由y＝sinx的图象上的

1点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的||倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x).由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）.由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

扩展阅读：高中数学三角函数经典总结

三角函数知识点总结整理者:陈老师

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ

②终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ

④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ

⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180

⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k

⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′3、弧长公式：l||r.扇形面积公式：s12扇形2lr12||r

4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

5.三角函数的定义域：

三角函数定义域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2

f(x)cotxx|xR且xk,kZ

sincos6、同角三角函数的基本关系式：

costan

sincot

tancot1sin2cos217、诱导公式：

把k的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”2三角函数的公式：

（一）基本关系

公式组一sinxcscx=1tanx=sinx22

cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosxsinx1+tan2x=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x

公式组二公式组三

sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanx

cot(2kx)cotxcot(x)cotx

公式组四公式组五公式组六

sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotx

cot(2x)cotxcot(x)cotx（二）角与角之间的互换

cos()coscossinsinsin22sincos

cos()coscossinsin-2-

cos2cos2sin2cos112sin

2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantan

tantan1tantan

tan()

8.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）定义域RR值域周期性奇偶性单调性[1,1][1,1]1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRRR奇函数A,A22奇函数2当当0,非奇非偶奇函数偶函数奇函数0,上为上为上为增函上为增函数；上为增增函数；增函数；数；上为减函数函数；上为减函数上为减上为减上为减函数函数函数注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.②ysinx与的ycosx周期是.

▲y

Ox

0）的周期T③ysin(x)或yx2cos(x)（2.

ytan的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

④ysin(x)的对称轴方程是xk2（

kZ），对称中心（

12k,0）；

ycos(x)的对称轴方程是xk（

kZ），对称中心（k,0）；

yatn(

x)的对称中心（

k2,0）.

三角函数图像

数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，频率f1T||2，相位x;初

相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用

ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

三角函数复习题（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知x∈(－π2，0)，cosx＝4

5

，则tan2x等于（）

A.7

B.－724C.24

247

D.－24

7

2．3cos

π12－sinπ

12的值是（）A.0

B.－2C.

2

D.2

3．已知α，β均为锐角，且sinα＝

55，cosβ＝31010，则α＋β的值为（）A.π34或π

4

B.3π4C.π4D.2kπ＋π4

(k∈Z)

4．sin15°cos30°sin75°的值等于（）

A.3B.34

8C.1

D.1

84

5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin

π12

)等于（）A.12B.－12C.－332D.2

6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)的值为（）

A.12

B.32

C.1

D.0

7．已知sinα＋cosα＝1

3

，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为（）

A.89，179

B.－817

9，9

C.－89，－179D.－817

9，±9

8．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定cos（π＋α）－sin（π

＋α）

9．化简44

的结果为（）

cos（π4－α）＋sin（π

4

－α）

A.tanα

B.－tanαC.cotα

D.－cotα

10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为（）A.－1

2

B.1

2

C.－1

D.1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．sin70＋cos150sin80

11cos70－sin150sin80的值等于_____________.

12．若

1－tanA1＋tanA

＝4＋5，则cot(π

4＋A)＝_____________.

-5-

4ππππ

13．已知tanx＝(π＜x＜2π)，则cos(2x－)cos(－x)－sin(2x－)sin(－x)＝_____.

33333ππππ

14．sin(－3x)cos(－3x)－cos(＋3x)sin(＋3x)＝_____________.

4364

2π1ππ

15．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则sin(α＋)sin(－α)的值为____________.

54444ββα－βα

16．已知5cos(α－)＋7cos＝0，则tantan＝_____________.

2222

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）π12ππ

17．（本小题满分12分）已知cos(α－)＝，＜α＜，求cosα.

61362

π2

18．（本小题满分14分）已知sin2α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，

2

求sinα、tanα.

19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，

ACAC

求tan＋tan＋3tantan的值.

2222

1217233

20．（本小题满分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.

132622

三角函数单元复习题（一）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．2－312．4＋513．－32－6514．4

15．【解析】∵tan(α＋π4)＝tan［(α＋β)－(β－π3

4)］＝22

∴原式＝sin(α＋π4)cos(α＋π

4)

sin(α＋π)cos(α＋π)tan(α＋π

＝44)

＝4＝66

.sin2(α＋π4)＋cos2(α＋π2

π493

4)1＋tan(α＋4)

16．【解析】由5cos(α－ββ

2)＋7cos2

＝0得：

5cos（

α－β2＋α2）＋7cos（α－β2－α

2

）＝0展开得：12cos

α－β2cosβ2＋2sinα－β2sinβ

2

＝0，两边同除以cosα－β2cosβ2得tanα－β2tanα

2

＝－6.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知cos(α－π6)＝1213，π6＜α＜π

2

，求cosα.

【解】由于0＜α－π6＜ππ12

3，cos(α－6)＝13

所以sin(α－π

26

)＝

1－cos(α－π6)＝5

13

所以cosα＝cos［(α－π6)＋π123－5

6］＝26

18．（本小题满分14分）已知sin2

2α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2

)，

求sinα、tanα.

【解】∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0

即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0又α∈(0，π2

)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.

故sinα＝12，α＝π36，tanα＝3

.19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，

求tanACAC

2＋tan2＋3tan2tan2

的值.

-7-

【解】因为A、B、C成等差数列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝

2πACπ，＋＝3223

AC

tan＋tanAC22∴tan(＋)＝3，由两角和的正切公式，得＝3

22AC

1－tantan

22ACAC

tan＋tan＝3－3tantan2222ACAC

tan＋tan＋3tantan＝3.2222

1217233

20．（本小题满分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.

132622

【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.

33

【解】∵π＜α＜π，π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.

22又∵cosα＝－

12172572，cos(α＋β)＝，∴sinα＝－，sin(α＋β)＝－13261326

172127252（－）＋（－）（－）＝－.261326132

故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝3

而0＜β＜π，∴β＝π.

4

【评注】本题中若求sinβ，则由sinβ＝三角函数值得考虑.

23

及0＜β＜π不能直接推出β＝π，因此本类问题如何选择24

三角函数复习题（二）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）

A.y＝sin2xC.y＝sin2x＋cos2x

x

B.y＝cos

2

1－tan2xD.y＝2

1＋tanx

2．设函数y＝cos(sinx)，则（）

A.它的定义域是［－1，1］B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函数

3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象

π

向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为（）

4A.y＝2sin2x

B.y＝－2sin2x

xπ

D.y＝2cos(＋)

24π

C.y＝2cos(2x＋)

4π

4．函数y＝2sin(3x－)图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）

4

πA.3

B.

2π

C.π3

D.

4π

3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，则α角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6．函数y＝|cotx|sinx（0＜x≤

3π

且x≠π）的图象是（）2

7．设y＝

cos2x

，则下列结论中正确的是（）

1＋sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值

C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值π

8．函数y＝sin（－2x)的单调增区间是（）

4

A.［kπ－

3πππ5π，kπ＋］(k∈Z)B.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)8888

π3π3π7π

C.［kπ－，kπ＋］(k∈Z)D.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)

888812

9．已知0≤x≤π，且－＜a＜0，那么函数f(x)＝cosx－2asinx－1的最小值是（）

2

A.2a＋1

B.2a－1C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0，］上是增函数的θ的一个值为

4

（）A.5π

3B.

4π2πC.33

πD.3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．函数y＝

cosx

的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

12．函数y＝的定义域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是

_____________

15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.π

16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：

3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；π②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－)；

6π

③y＝f(x)的图象关于点（－，0)对称；

6π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称.

6

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解

析式.

18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

3π

19．(本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，

4π

0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ和ω的值.

2

三角函数单元复习题（二）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．C8．D9．C10．C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1ππ

11．（－∞，］∪［1，+∞)12．{x|－＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)}

3425

13．x＝0或π，y＝014．4π15．{y｜－≤y≤1＋2}16．②③

4

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解

析式.

【解】由图可得：A＝3，T＝2｜MN｜＝π.

2π

从而ω＝＝2，故y＝3sin(2x＋φ)

Tπ2π

将M（，0）代入得sin(＋φ)＝0

33取φ＝－

2π2π

得y＝3sin(2x－)33

5π

，0）代入y＝3sin(2x+φ)6

【评注】本题若将N（则可得：sin(

5π5π5π2π

＋φ)＝0.若取φ＝－，则y＝3sin(2x－)＝－3sin(2x－)，它与y＝33333

π

sin(2x－)的图象关于x轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y＝3sin(2x＋φ)后，如何确

32π

定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M在上升的曲线上，就相当于“五点法”作图中的第一个点，故＋φ

35π

＝0；而N点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图中的第三个点，故＋φ＝π，由上可得φ的值

32π

均为－.

3

18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

π

【解】y＝1＋sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋)＋2.

4π

(1)要使y取得最大值，则sin(2x＋)＝1.

4πππ

即：2x＋＝2kπ＋x＝kπ＋(k∈Z)

428π

∴所求自变量的取值集合是{x｜x＝kπ＋，k∈Z}.

8(2)变换的步骤是：

ππ

①把函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin(x+)的图象；

44

1π

②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y＝sin(2x＋）的图象；

24π

③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数y＝2sin(2x＋)的图

4象；

π

④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到y＝2sin(2x＋)+2的图象.

4【说明】以上变换步骤不唯一！

3π

19．(本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，

4π

0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ和ω的值.

2【解】由f(x)是偶函数，得f(x)＝f(－x)即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)∴－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立.π且ω＞0，∴cosφ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝

2由f(x)的图象关于点M（

3π

，0）对称，得，4

3π3π3π

取x＝0，得f()＝－f()，∴f()＝0

444∴f(

3π3ωππ3ωπ

)＝sin(＋)＝cos＝0，又ω＞04424

3ωππ2

∴＝＋kπ，k＝0，1，2，，ω＝(2k＋1)，k＝0，1，2，42322ππ

当k＝0时，ω＝，f(x)＝sin(x＋)在区间［0，］上是减函数；

3322ππ

当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)在区间［0，］上是减函数；

2210ππ

当k≥2时，ω≥，f(x)＝sin(ωx＋)在区间［0，］上不是单调函数；

3222

所以，ω＝或ω＝2.

3

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