关于复变函数积分求解总结

关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结

摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.

c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

201*011iixdx1i3.

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理：设fz在单连通区域

D内解析，C为D内任一条周线，则

fzdzc0.

D柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，

DDC上解析，则fzdz0.

c为C之内部，fz在闭域

例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，

c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：

设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC上连续，则fzdz0.

c例3.计算积分dzz16z3z1.

1分析：被积函数Fzz3z1在C上共有两个奇点z0和z，在z1内

31作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.

解：显然，

1z3z11z33z1

为心，充分小半径r16任作以z0与以z12:zr313的圆周1:zr及

，将二奇点挖去，新边界构成复周线C12C:z1.

dzz3z1z1z3z12dz

12z3z1z3z1

1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12

dzdzz1dz1z31dz221z3

0.

3.利用柯西积分公式求积分

设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.

z例4.计算积分2zz1z1cdz的值，其中C:z2

解：因为fz2z2z1在z2上解析，

z1z2，由柯西积分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.

设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则函数fz在区域D内有各阶导数，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.计算积分coszdzdn1zf2in!fnz.

czi3，其中C是绕i一周的周线.

解：因为cosz在z平面上解析，

所以e1coszczii.

dz32i2!cosz|ziicosi

e2例6.求积分c921d，其中C为圆周2.

解：

c921didc92

5

另外,若a为周线C内部一点，则dzdz2icza

zacn0（n1，且n为整数）.

4.应用留数定理求复积分

fz在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,an外解析，在闭域DDC上除a1,a2,an外连续，则fzdz2iResfz.

ck1zakn设a为fz的n阶极点，fzzzan，其中z在点a解析，a0，则

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例7.计算积分zz12dz

解：被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1，

Resfzz05z2z22|z02

25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留数定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

例8.计算积分解：fzz13coszz1z3dz.

cosz只以z0为三阶极点，

12Resfzz02!coszz0

由留数定理得coszz1z31dz2ii.

25.用留数定理计算实积分

某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分

02令ze，则cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，

此时有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1

12解：令zei，则cosI2izz，d1dziz，

zzz1dz，其中aa21，aa21，

1,1,1，

应用留数定理得I2a12.

若Rcos,sin为的偶函数，则Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，

0因为此时Rcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.计算taniad（a为实数且a0）

0分析：因为tania1eie2iai2iai11，

直接令e2iaiz，则dze2iai2id，

于是tania解：I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理，当a0时，Ii当a0时，Ii.5.2计算PxQxdx型积分

例11.计算xdx423xz24.

23424解：函数fz2323z在上半平面内只有zi一个四阶极点，

令ia，zat则fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att

211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

故

xdx423x242ii57662886.

扩展阅读：复变函数柯西积分总结

第三章复变函数的积分

能力要求

会通过转化成两个实变函数第一型曲线积分的方法来计算复变函数的积分。

知道复变函数积分的四条性质，特别注意前三条线性性质。

知道在什么时候可以用实变函数中的牛顿莱布尼茨公式计算复变函数

积分。

会用柯西积分公式和高阶导数公式(n=1,2,……)计算积分。会用复合闭路原理和闭路变形原理简化积分计算。会判定一个复变函数是不是某一区域D内的调和函数。会用偏积分法和不定积分法求共轭调和函数。

重点知识点讲解

一、复变函数积分的基本计算法

复变函数的积分是转化成实变函数的第一型曲线积分来计算的，因此我们要先回顾第一型曲线积分的计算步骤。例题：沿计算积分的值第一步：化参数

积分路径是一条抛物线，它在复平面上的方程是，则。

第二步：把原积分式中的x、y和dz都代掉。注意积分上下限的变化。

二、积分的性质

最重要的是积分的线性性质（书P74性质前三条），第四条估值不等式能力要求稍高。

三、用性质、定理计算积分、定理回顾

柯西-古萨基本定理

如果函数在单连通域B内处处解析，那么函数沿B内任何一条封闭曲线C域B内处处解析，那么函数沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零。

关键词：处处解析封闭曲线积分为零注意：该定理中的C可以不是简单曲线。闭路变形原理

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。

关键词：解析函数连续变形不经过不解析点基本定理的推广复合闭路定理

设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，C1，C2，……，Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，……，Cn为边界的区域全含于D。如果在D内解析，那么

i)，其中C及Ck均取正方向；

ii)积分路径为C及Ck所组成的符合闭路，C取逆时针，Ck取顺时针。复合闭路定理告诉了我们被积函数在积分路径所围区域内存在奇点的情况下积分的计算方法：围绕每个奇点画一个小圆作为积分路径，把原积分拆成多个积分的和。虽然书上那一部分要求我们用73页上的那个结果，但其实我们完全可以用后面的柯西积分公式和高阶导数公式来解决，那是更具一般性的。

柯西积分公式

如果在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C内的任一点，那么|f(z0)1f(z)dz2iCzz0关键词：处处解析正向简单闭曲线

柯西积分公式的功效是把一个复变函数的积分和它在积分路径所围区域内话的次序不可颠倒！

接下来重点讲共轭调和函数的两种求法。1、偏积分法

求解过程（以知v求u为例）：①求出和

②由柯西-黎曼方程中的得到，这就是偏积分。当然，也可以用，对y求偏积分。

③代入，确定。求积分过程中出现的常数c则要根据题给信息确定。2、不定积分法求解过程：

①根据复变函数在某一点处的导数公式（见P42）写出的导数表达式。②把它还原成z的函数，得到与。③将它们对z积分，即得到

当已知实部时可用上一式，已知虚部时可用下一式。

题目讲解

1、，C为正向圆周|z|=2.解：

柯西积分公式2、求

高阶导数公式3、求解：

高阶导数公式

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