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高中数学三角函数知识点总结

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-29 07:37:05 | 移动端:高中数学三角函数知识点总结

高中数学三角函数知识点总结

三角函数知识点总结整理者:陈老师

1.①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):|k360,kZ

②终边在x轴上的角的集合:|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合:|k18090,kZ

④终边在坐标轴上的角的集合:|k90,kZ

⑤终边在y=x轴上的角的集合:|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合:|k18045,kZ

⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360k

⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:360k180

⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:180k

⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:360k902.角度与弧度的互换关系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′3、弧长公式:l||r.扇形面积公式:s12扇形2lr12||r

4、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)

yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

5.三角函数的定义域:

三角函数定义域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2

f(x)cotxx|xR且xk,kZ

6、同角三角函数的基本关系式:

sincostan

cossincot

tancot1sin2cos217、诱导公式:

把k2“奇变偶不变,符号看象限”的三角函数化为的三角函数,概括为:三角函数的公式:

(一)基本关系

公式组一sinxcscx=1tanx=sinx22

cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosx2sinx1+tanx=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x

公式组二公式组三

sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanxcot(2kx)cotxcot(x)cotx

公式组四公式组五sin(x)sinxsin(2x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxcot(x)cotx

cot(2x)cotx(二)角与角之间的互换

cos()coscossinsincos()coscossinsin

公式组六

sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanx

cot(x)cotxsin22sincos-2-

cos2cos2sin2cos112sin

2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantan

tantan1tantan

tan()

8.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

ysinxycosxytanxycotxyAsinx(A、>0)定义域RR值域周期性奇偶性单调性[1,1][1,1]1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRRR奇函数A,A22奇函数2当当0,非奇非偶奇函数偶函数奇函数0,上为上为上为增函上为增函数;上为增增函数;增函数;数;上为减函数函数;上为减函数上为减上为减上为减函数函数函数注意:①ysinx与ysinx的单调性正好相反;ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地,若yf(x)在[a,b]上递增(减),则yf(x)在[a,b]上递减(增).②ysinx与的ycosx周期是.

▲y

Ox

0)的周期T③ysin(x)或yx2cos(x)(2.

ytan的周期为2(TT2,如图,翻折无效).

④ysin(x)的对称轴方程是xk2(

kZ),对称中心(

12k,0);

ycos(x)的对称轴方程是xk(

kZ),对称中心(k,0);

yatn(

x)的对称中心(

k2,0).

三角函数图像

数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T2||,频率f1T||2,相位x;初

相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),

由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的|1|倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用

ωx替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。

扩展阅读:高中数学三角函数知识点总结实用版[1]

高中数学第四章-三角函数

1.①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合:|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合:|k18090,kZ④终边在坐标轴上的角的集合:|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合:|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合:|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360k⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:360k180⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:180k⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:360k902.角度与弧度的互换关系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式:1rad=180°≈57.30°=57°18.1°=≈0.01745(rad)

1803、弧长公式:l2||r.扇形面积公式:s扇形lr||r

12124、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则siny;rya的终边P(x,y)ryxcos;tanxr;cotx;secr;.cscr.yxyox5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.几个重要结论:(1)y6、三角函数线

正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.

高三数学总复习三角函数

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函数的定义域:三角函数f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定义域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函数的基本关系式:sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、诱导公式:

把k的三角函数化为的三角函数,概括为:2“奇变偶不变,符号看象限”

三角函数的公式:(一)基本关系

公式组一公式组二公式组三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt(二)角与角之间的互换

公式组一公式组二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三数学总复习三角函数tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式组三公式组四公式组五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx(A、>0)RR[1,1]RA,A当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2(A),12(A)2奇函数22偶函数[2k1,2k]奇函数k,k22奇函数[22k,;k,k1上为减函数(kZ)22k]上为增函数;[2k,232k]2上为增函数[2k,2k1]上为减函数(kZ)上为增函数(kZ)上为增函数;2k上为减函数(kZ)2(A),32k2(A)上为减函数高三数学总复习三角函数(kZ)注意:①ysinx与ysinx的单调性正好相反;ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地,若yf(x)在[a,b]上递增(减),则yf(x)在[a,b]上递减(增).

▲②ysinx与ycosx的周期是.

x)或ycos(x)(0)的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期为2(TT2,如图,翻折无效).

2x)的对称轴方程是xk④ysin(2(cs(kZ),对称中心(k,0);yox)的

对称轴方程是xk(kZ),对称中心(k1,0);yant(2(x)的对称中心

k.,0)2ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤当tan

2tan1,k(kZ);tan

2(kZ).

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数,则

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,

ytanx为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(x)f(x),奇函数:f(x)f(x))

1奇偶性的单调性:奇同偶反.例如:ytanx是奇函数,ytan(x)是非奇非偶.(定

3义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若0x的定义域,则f(x)一定有f(0)0.(0x的定义域,则无此性质)

▲⑨ysinx不是周期函数;ysinx为周期函数(T);y▲yx1/2x高三数学总复习三角函数

y=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象;ycosx为周期函数(T);ycosx是周期函数(如图)

ycos2x1的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函数图象的作法:1)、几何法:

b有a2b2y.a2)、描点法及其特例五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).

3)、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T2,频率f1||,相位x;初相||T2(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),

由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的|1|倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx

替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数:函数y=sinx,的反函数叫做反正弦函数,记作x2,2y=arcsinx,它的定义域是[-1,

1],值域是-,.

22函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].

函数y=tanx,记作的反函数叫做反正切函数,x2,222y=arctanx,它的定义域是(-

∞,+∞),值域是,.

高三数学总复习三角函数函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).

II.竞赛知识要点

一、反三角函数.

1.反三角函数:反正弦函数yarcsinx是奇函数,故arcsin(x)arcsinx,x1,1(一定要注明定义域,若x,,没有x与y一一对应,故ysinx无反函数)注:sin(arcsinx)x,x1,1,arcsinx,.

22反余弦函数yarccosx非奇非偶,但有arccos(x)arccos(x)2k,x1,1.注:①cos(arccosx)x,x1,1,arccosx0,.

②ycosx是偶函数,yarccosx非奇非偶,而ysinx和yarcsinx为奇函数.反正切函数:yarctanx,定义域(,),值域(arctan(x)arctanx,x(,).

22,),ynatcrax是奇函数,

注:tan(arctanx)x,x(,).

反余切函数:yarccotx,定义域(,),值域(arotc,yc,)

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k,x(,).注:①cot(arccotx)x,x(,).

1x)互为奇函数,yarctanx同理为奇而yarccosx与yarccotx②yarcsinx与yarcsin(非奇非偶但满足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函数的解集:

a的取值范围解集a的取值范围解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a>1=1x|x2karcsai,nkZ<1x|xk1karcsina,kZ

aa>1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa<1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集:x|xkarctana,kZ③coxta的解集:x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1组一ncoscos2cos4...cos2n12sin

组二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三数学总复习三角函数cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan组三三角函数不等式

sinx<x<tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是减函数x若ABC,则x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三数学总复习三角函数

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