高中数学高考导数题型分析
高中数学高考导数题型分析
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析
题型一：利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点
42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）
4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30
4．求下列直线的方程：
322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；
即xy20即y2x1或y10x25解：（1）y1x1，（2）y12(x1)或y2510(x5)，题型二：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
32解：（1）f(x)x2x4x5.（2）在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.
2x①当
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；
x②当
612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,)
第1页共5页
32f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．2．已知三次函数
(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；
3f(x)x3x2．解：(1)
]上是减函数；(2)当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；在区间[1,１在区间[1,)上是增函数．函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．3．设函数f(x)x(xa)(xb)．
（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，求实数a,b的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．解：（1）a=1，b=1．
题型三：利用导数研究函数的图象
/1．f（x）的导函数f(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）2．函数
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)
A、0B、1C、2D、3
第2页共5页
题型四：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.
解：（1）f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，
22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，
∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，
|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
22解：（1）函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
题型五：导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设
（1）求实数a的取值范围；（2）设
x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.
第3页共5页
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，
2x1,,故3x3.从而0
11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为
f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16
2749581616
易知f(x)的极大值为
f(x)在[1，0]上的最大值
M对任意x1,x2(1,0)，恒有
|f(x1)f(x2)|Mm题型六：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
3当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y（升）关于行驶速度x（千米/
y小时）的函数解析式可以表示为：
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
13(403408)2.517.580解：（I）128000（升）。
（II）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80
千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
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导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是21．
22．已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c＝6；
33．函数y13xx有极小值－1,极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点
42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）
4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30
4．求下列直线的方程：
322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；
32y/3x22xky/|x－13－21解：（1）点P(1,1)在曲线yxx1上，
即xy20所以切线方程为y1x1，
2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0①又函数的导数为y2x，
所以过
2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为
ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有
y05x03x01x05y1或y250②，由①②联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分
即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数
第1页共61页（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.解：（1）由
过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③
32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2，b=－4，c=5∴
2（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).
23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当
2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。
2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.
x①当
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；
x②当
612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,)
322．已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．
第2页共61页(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；
(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．
(x)3x22axbf解：(1)，
2由题意得，1,1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b3．
3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴
(x)3x233(x1)(x1)f(2)，
当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；
当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；]上是减函数；在区间[1,)上是增函数．在区间[1,１函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．
(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．
于是，函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的单调性知，1n4综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n
3．设函数f(x)x(xa)(xb)．
（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，求实数a,b的值；
6．
2，即3n6．
第3页共61页（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
解：（1）f(x)3x2(ab)xab.
由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，
224(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2．因
""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符号如下：2，由12可判断不妨设1"""xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)＞０1122当＞０；当＜０；当
因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f1．如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）2．函数
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)
A、0B、1C、2D、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
第4页共61页1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.
22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：
x（-∞，a）a
（a，3a）3a+
0极大
（3a，+∞）-
f(x)f(x)
-0极小
∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，
22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，
∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，
|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
－由f（
21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
第5页共61页x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
题型六：利用导数研究方程的根
131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+∞)+1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
第6页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设
（1）求实数a的取值范围；（2）设
x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，
2x1,,故3x3.从而0
3f(x)(x2)(xa)22．已知a为实数，函数
（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x1、x2(1,0)，不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解：
333xaf"(x)3x22ax22，2
函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f"(x)0有实数解
4a243
39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范围是22，
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2
f"(1)0，
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为
f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值为
f(x)在[1，0]上的最大值
M对任意x1,x2(1,0)，恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4
第8页共61页由题设可得正六棱锥底面边长为：
32(x1)282xx2，（单位：m）
6故底面正六边形的面积为：
333((82xx2)22282xx)=24，（单位：m）
帐篷的体积为：
V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（单位：m）
V"（x）求导得
3(123x2)2。
（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V"为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V"为减函数。
∴当x2时，V（x）最大。
3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y（升）关于行驶速度x（千米/
y小时）的函数解析式可以表示为：
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，
13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。
100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第9页共61页
令h"(x)0,得x80.
当x(0,80)时，h"(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h"(x)0,h(x)是增函数。
当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy，
（1）求函数关系式Sf(t)；
，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）
3113,),b(,).ab1，ab02222
又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。
（2）
f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，
0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由
22f(t)03tk0k3t由。
因为在t∈1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22围是k3。
第10页共61页导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是21．
22．已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c＝6；
33．函数y13xx有极小值－1,极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点
42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）
4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30
4．求下列直线的方程：
322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；
32y/3x22xky/|x－13－21解：（1）点P(1,1)在曲线yxx1上，
即xy20所以切线方程为y1x1，
2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0①又函数的导数为y2x，
所以过
2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为
ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有
y05x03x01x05y1或y250②，由①②联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分
即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数
第11页共61页（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.解：（1）由
过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③
32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2，b=－4，c=5∴
2（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).
23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当
2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。
2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.
x①当
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；
x②当
612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,)
322．已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．
第12页共61页(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x","p":{"h":16.69,"w":7.131,"x":243（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
解：（1）f(x)3x2(ab)xab.
由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，
224(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2．因
""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符号如下：2，由12可判断不妨设1"""xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)＞０1122当＞０；当＜０；当
因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f1．如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）2．函数
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)
A、0B、1C、2D、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
第14页共61页1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.
22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：
x（-∞，a）a
（a，3a）3a+
0极大
（3a，+∞）-
f(x)f(x)
-0极小
∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，
22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，
∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，
|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
－由f（
21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
第15页共61页x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
题型六：利用导数研究方程的根
131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+∞)+1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
第16页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设
（1）求实数a的取值范围；（2）设
x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，
2x1,,故3x3.从而0
3f(x)(x2)(xa)22．已知a为实数，函数
（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x1、x2(1,0)，不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解：
333xaf"(x)3x22ax22，2
函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f"(x)0有实数解
4a243
39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范围是22，
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2
f"(1)0，
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为
f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值为
f(x)在[1，0]上的最大值
M对任意x1,x2(1,0)，恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4
第18页共61页由题设可得正六棱锥底面边长为：
32(x1)282xx2，（单位：m）
6故底面正六边形的面积为：
333((82xx2)22282xx)=24，（单位：m）
帐篷的体积为：
V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（单位：m）
V"（x）求导得
3(123x2)2。
（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V"为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V"为减函数。
∴当x2时，V（x）最大。
3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y（升）关于行驶速度x（千米/
y小时）的函数解析式可以表示为：
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，
13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。
100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第19页共61页
令h"(x)0,得x80.
当x(0,80)时，h"(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h"(x)0,h(x)是增函数。
当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy，
（1）求函数关系式Sf(t)；
，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）
3113,),b(,).ab1，ab02222
又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。
（2）
f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，
0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由
22f(t)03tk0k3t由。
因为在t∈1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22围是k3。
第20页共61页
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是21．
22．已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c＝6；
33．函数y13xx有极小值－1,极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点
42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）
4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30
4．求下列直线的方程：
322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；
解：（1）
点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/3x22xky/|x－13－21
即xy20所以切线方程为y1x1，
2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0①又函数的导数为y2x，
所以过
2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为
ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有
y05x03x01x05y1或y250②，由①②联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分
即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
第21页共61页32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322解：（1）由f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.
过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③
32由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x2x4x5.
2f(x)3x4x4(3x2)(x2).（2）
23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当
2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.
2x①当
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；
x②当
612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,)
第22页共61页32f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．2．已知三次函数
(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；
(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．
2解：(1)f(x)3x2axb，
2由题意得，1,1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b3．
3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1)，
当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；
当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；]在区间[1,１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．
函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．
(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．
于是，函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的单调性知，1n4综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n
3．设函数f(x)x(xa)(xb)．
（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，
6．
2，即3n6．
第23页共61页求实数a,b的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
2f(x)3x2(ab)xab.解：（1）
由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，
24(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2．因
""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨设，由可判断(x)的符号如下："""xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)＞０1122当＞０；当＜０；当
因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f1．如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）2．函数
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)
A、0B、1C、2D、3
第24页共61页
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.
22xa,x23a解：（1）f(x)x4ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：
x（-∞，a）a
（a，3a）3a+
0极大
（3a，+∞）-
f(x)f(x)
-0极小
∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，
22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，
∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，
|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
－由f（
21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2
第25页共61页f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
题型六：利用导数研究方程的根
131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+∞)+1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
第26页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设
（1）求实数a的取值范围；（2）设
x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，
2x1,,故3x3.从而0
3f(x)(x2)(xa)22．已知a为实数，函数
（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x1、x2(1,0)，不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解：
333xaf"(x)3x22ax22，2
函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f"(x)0有实数解
4a243
39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范围是22，
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2
f"(1)0，
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为
f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值为
f(x)在[1，0]上的最大值
M对任意x1,x2(1,0)，恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4
第28页共61页由题设可得正六棱锥底面边长为：
32(x1)282xx2，（单位：m）
6故底面正六边形的面积为：
333((82xx2)22282xx)=24，（单位：m）
帐篷的体积为：
V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（单位：m）
V"（x）求导得
3(123x2)2。
（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V"为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V"为减函数。
∴当x2时，V（x）最大。
3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y（升）关于行驶速度x（千米/
y小时）的函数解析式可以表示为：
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，
13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。
100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第29页共61页
令h"(x)0,得x80.
当x(0,80)时，h"(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h"(x)0,h(x)是增函数。
当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy，
（1）求函数关系式Sf(t)；
，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）
3113,),b(,).ab1，ab02222
又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。
（2）
f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，
0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由
22f(t)03tk0k3t由。
因为在t∈1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22围是k3。
第30页共61页
导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是21．
22．已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c＝6；
33．函数y13xx有极小值－1,极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点
42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）
4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30
4．求下列直线的方程：
322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；
解：（1）
点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/3x22xky/|x－13－21
即xy20所以切线方程为y1x1，
2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0①又函数的导数为y2x，
所以过
2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为
ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有
y05x03x01x05y1或y250②，由①②联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分
即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
第31页共61页32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322解：（1）由f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.
过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③
32由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x2x4x5.
2f(x)3x4x4(3x2)(x2).（2）
23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当
2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.
2x①当
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；
x②当
612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,)
第32页共61页32f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．2．已知三次函数
(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；
(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．
2解：(1)f(x)3x2axb，
2由题意得，1,1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b3．
3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1)，
当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；
当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；]在区间[1,１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．
函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．
(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．
于是，函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的单调性知，1n4综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n
3．设函数f(x)x(xa)(xb)．
（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，
6．
2，即3n6．
第33页共61页求实数a,b的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
2f(x)3x2(ab)xab.解：（1）
由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，
24(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2．因
""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨设，由可判断(x)的符号如下："""xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)＞０1122当＞０；当＜０；当
因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f1．如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）2．函数
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)
A、0B、1C、2D、3
第34页共61页
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.
22xa,x23a解：（1）f(x)x4ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：
x（-∞，a）a
（a，3a）3a+
0极大
（3a，+∞）-
f(x)f(x)
-0极小
∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，
22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，
∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，
|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
－由f（
21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2
第35页共61页f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
题型六：利用导数研究方程的根
131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+∞)+1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
第36页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设
（1）求实数a的取值范围；（2）设
x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，
2x1,,故3x3.从而0
3f(x)(x2)(xa)22．已知a为实数，函数
（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x1、x2(1,0)，不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解：
333xaf"(x)3x22ax22，2
函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f"(x)0有实数解
4a243
39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范围是22，
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2
f"(1)0，
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为
f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值为
f(x)在[1，0]上的最大值
M对任意x1,x2(1,0)，恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4
第38页共61页wenku_39({"font":{"d5c147d433d4b14e8524684a0010027":"宋体","d5c147d433d4b14e8524684a00201*7":"TimesNewRoman","d5c147d433d4b14e8524684a0030027":"宋体","d5c147d433d4b14e8524684a0040027":"TimesNewRomanItalic","d5c147d433d4b14e8524684a0050027":"Symbol","d5c147d433d4b14e8524684a0080027":"TimesNewRomanBoldItalic","d5c147d433d4b14e8524684a00a0027":"TimesNewRomanBold"},"style":[{"t":"style","c":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,0],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[4,14,20,52,54,1],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0010027"}},{"t":"style","c":[1,4,14,16,20,52,54,2],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[1,4,14,20,34,46,48,52,54,69,3],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0010027"}},{"t":"style","c":[4],"s":{"letter-spacing":"-0.074"}},{"t":"style","c":[7,8,18,22,23,25,27,33,39,43,51,53,55,56,57,58,60,61,64,65,66,70,5],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00201*7"}},{"t":"style","c":[7,9,11,6],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[7],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[8],"s":{"font-size":"10.271"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[9,19,28,38,45,50,67,10],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[11,15,21,29,30,44,49,63,12],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0040027"}},{"t":"style","c":[11,12,15,21,29,30,36,44,49,63,13],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"letter-spacing":"-0.058"}},{"t":"style","c":[15],"s":{"font-size":"18.704"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0030027"}},{"t":"style","c":[18,19,21,43,46,17],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[43,18],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[20],"s":{"letter-spacing":"-0.079"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"font-size":"10.499"}},{"t":"style","c":[23],"s":{"font-size":"10.776"}},{"t":"style","c":[25,24],"s":{"font-size":"10.402"}},{"t":"style","c":[25],"s":{"font-size":"10.402"}},{"t":"style","c":[27,28,29,26],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[30],"s":{"font-size":"17.856"}},{"t":"style","c":[30,61,31],"s":{"font-size":"17.856"}},{"t":"style","c":[33,34,35,36,38,41,32],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[33],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[36,38,41,35],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0080027","font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[35,36,38,41,42,37],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[57,58,60,39],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[39,44,45,57,58,60,40],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00a0027"}},{"t":"style","c":[41,42],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00a0027"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"letter-spacing":"1.023"}},{"t":"style","c":[44],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[48,49,50,51,53,47],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[50],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[53,51],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[52],"s":{"letter-spacing":"-0.087"}},{"t":"style","c":[53],"s":{"letter-spacing":"-1.094"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"letter-spacing":"-0.043"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"18.126"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"10.272"}},{"t":"style","c":[57],
令h"(x)0,得x80.
当x(0,80)时，h"(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h"(x)0,h(x)是增函数。
当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy，
（1）求函数关系式Sf(t)；
，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）
3113,),b(,).ab1，ab02222
又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。
（2）
f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，
0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由
22f(t)03tk0k3t由。
因为在t∈1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22围是k3。
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导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是21．
22．已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c＝6；
33．函数y13xx有极小值－1,极大值3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点
42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）
4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30
4．求下列直线的方程：
322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；
解：（1）
点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/3x22xky/|x－13－21
即xy20所以切线方程为y1x1，
2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0①又函数的导数为y2x，
所以过
2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为
ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有
y05x03x01x05y1或y250②，由①②联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分
即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
第41页共61页32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322解：（1）由f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.
过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③
32由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x2x4x5.
2f(x)3x4x4(3x2)(x2).（2）
23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当
2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.
2x①当
b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；
x②当
612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当
综上所述，参数b的取值范围是[0,)
第42页共61页32f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．2．已知三次函数
(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；
(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．
2解：(1)f(x)3x2axb，
2由题意得，1,1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b3．
3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1)，
当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；
当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；]在区间[1,１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．
函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．
(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．
于是，函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的单调性知，1n4综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n
3．设函数f(x)x(xa)(xb)．
（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，
6．
2，即3n6．
第43页共61页求实数a,b的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
2f(x)3x2(ab)xab.解：（1）
由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，
24(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2．因
""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨设，由可判断(x)的符号如下："""xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)＞０1122当＞０；当＜０；当
因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象
/f1．如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）
（A）（B）（C）（D）2．函数
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)
A、0B、1C、2D、3
第44页共61页
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.
22xa,x23a解：（1）f(x)x4ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：
x（-∞，a）a
（a，3a）3a+
0极大
（3a，+∞）-
f(x)f(x)
-0极小
∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，
22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，
∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，
|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5
22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
－由f（
21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2
第45页共61页f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
题型六：利用导数研究方程的根
131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t)；
(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)
11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+∞)+1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.
第46页共61页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设
（1）求实数a的取值范围；（2）设
x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.
2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，
2x1,,故3x3.从而0
3f(x)(x2)(xa)22．已知a为实数，函数
（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x1、x2(1,0)，不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解：
333xaf"(x)3x22ax22，2
函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f"(x)0有实数解
4a243
39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范围是22，
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2
f"(1)0，
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为
f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值为
f(x)在[1，0]上的最大值
M对任意x1,x2(1,0)，恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4
第48页共61页由题设可得正六棱锥底面边长为：
32(x1)282xx2，（单位：m）
6故底面正六边形的面积为：
333((82xx2)22282xx)=24，（单位：m）
帐篷的体积为：
V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（单位：m）
V"（x）求导得
3(123x2)2。
（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V"为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V"为减函数。
∴当x2时，V（x）最大。
3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y（升）关于行驶速度x（千米/
y小时）的函数解析式可以表示为：
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，
13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。
100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第49页共61页
令h"(x)0,得x80.
当x(0,80)时，h"(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h"(x)0,h(x)是增函数。
当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
题型九：导数与向量的结合
3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy，
（1）求函数关系式Sf(t)；
，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）
3113,),b(,).ab1，ab02222
又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。
（2）
f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，
0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由
22f(t)03tk0k3t由。
因为在t∈1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22围是k3。
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