高中数学三角函数知识点与题型总结

高中数学三角函数知识点与题型总结

5三角函数中的实际应用例5如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏

A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时

西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

【相关高考】如图，测量河对岸的塔高

AB时，可以选与塔底

B在同一水平面内的两个侧点

C与

D

．现测得

BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高

AB．

f(x)4cosxsin(x1.已知函数6)1.

（Ⅰ）求

f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求

f(x)6,在区间4上的最大值和最小值。

cosA2cosC2ca3.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cosBb，sinC（Ⅰ）求sinA的值；

cosB14,b2（Ⅱ）若

，求ABC的面积S。

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

(Ⅰ)求B；

（Ⅱ）若

A750,b2,求a，c.

f(x)2sin(17．已知函数

3x6)，xR．

f(5（1）求4)的值；

北120A2B2105BA11乙

甲

（2）设

,0,2f(3，

2)106f(32)13，5，求cos()的值．

f(x)sin(x8．已知函数（Ⅰ）求

73)cos(x)44，xR．

f(x)的最小正周期和最小值；

cos()（Ⅱ）已知

44cos()025，5，2．求证：[f()]20．

f(x)4cosxsin(x1.【解析】：（Ⅰ）因为

6)14cosx(31sinxcosx)122

3sin2x2cosx13sin2xcos2x（Ⅱ）因为

22sin(2x6)所以

f(x)的最小正周期为6x4,所以62x62.32x于是，当

62,即x6时，

f(x)取得最大值2；当

2x3.

6,即x时,f(x)66取得最小值1．

cosA2cosC2cacosA2cosC2sinCsinAABCcosBb及正弦定理可得，cosBsinB解：（Ⅰ）在中，由，

即sin则sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosBAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB

sin(AB)2sin(CB)cosA2coCscosB，而

ABC，则

sinC2sAin，即

sinC2sinA。另解1：在

ABC中，由

c2ab可得，bcosA2bcosC2ccosBacosB

由余弦定理可得

b2c2a2a2b2c2a2c2b2a2c2b22caa2c，整理可得

c2a，由正弦定理可得

sinCc2sinAa

。另解2：利用教材习题结论解题，在

ABC中有结论

abcosCccosB,bccosAacosC,cacosBbcosAbcoAsb2Cc由

cosA2cosC2cacosBb可得

obcosAaBcosBa2ccosBB2bcosC，则c2a，即csinCc12cosB,b22222224ca2accosB4aaa4a,c2asinAa4由正弦定理可得。（Ⅱ）由及可得

1115acsinB121cos2B24则a1，c2，S2

S，即

154。

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC0A75,b2,求a，c.

(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若

2asinCbsinB.

【解析】(I)由正弦定理得a2c22acb2…由余弦定理得b2a2c22accosB.故

cosB22，因此B45

（II）

sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin45264故

sinA26sinCsin60ab13cb26sinB2sinBsin45.……………………………

7．已知函数

1f(x)2sin(x)36，xR．

f(（1）求

5,0,f(3)10f(32)6)2，4的值；（2）设213，5，求cos()的值．

73)cos(x)44，xR．

f(x)sin(x8．已知函数

44cos()02f(x)[f()]20．552（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，．求证：

77332sin(x)f(x)sinxcoscosxsincosxcossinxsin4，∴f(x)的最44442sinx2cosx（Ⅰ）解析：

cos()2，最小值f(x)min2．Ⅱ）证明：由已知得

02coscos02．2，∴cos0，则式相加得，∵

[f()]224sin2204∴．

小正周期T

coscossinsin44coscossinsin5，5，两

扩展阅读：高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类

1．根据解析式研究函数性质

例1（天津理）已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间

π3π上的最小值和最大值．

8，4【相关高考1】（湖南文）已知函数f(x)12sinx2πππ2sinxcosx．888求：（I）函数f(x)的最小正周期；（II）函数f(x)的单调增区间．

【相关高考2】（湖南理）已知函数f(x)cosx21π，g(x)1sin2x．212（I）设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．（II）求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间．2．根据函数性质确定函数解析式

0≤≤例2（江西）如图，函数y2cos(x)(xR，>0，期为．

（1）求和的值；（2）已知点Aπ2)的图象与y轴相交于点(0，3)，且该函数的最小正周

yπ，0，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当2π时，求x0的值．，π23OAPxy032，x0【相关高考1】（辽宁）已知函数f(x)sinxππ2x，（I）求函数f(x)sinx2cos，xR（其中0）662π2，求函数yf(x)的单调增区间．

的值域；（II）（文）若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为

（理）若对任意的aR，函数yf(x)，x(a，aπ]的图象与直线y1有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数yf(x)，xR的单调增区间．【相关高考2】（全国Ⅱ）在△ABC中，已知内角A，边BC23．设内角Bx，周长为y．

（1）求函数yf(x)的解析式和定义域；（2）求函数yf(x)的最大值．3．三角函数求值例3（四川）已知cosα=

17,cos(α-β)＝

1314，且0【相关高考2】(重庆理)设f(x)=6cos求tan

2x3sin2x（1）求f(x)的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足f()323，

45的值.

4．三角形中的函数求值

例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若a33，c5，求b．（理）（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．【相关高考1】（天津文）在△ABC中，已知AC2，BC3，cosA45．

（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin2B的值．614，tanB【相关高考2】（福建）在△ABC中，tanA35．（Ⅰ）求角C的大小；文（Ⅱ）若AB边的长为17，求BC边的长．理（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．5．三角与平面向量

△ABC36例5（湖北理）已知的面积为，且满足0≤ABAC≤，设AB和AC的夹角为．（I）求的取值范围；

（II）求函数f()2sin2π43cos2的最大值与最小值．

【相关高考1】（陕西）设函数fxab，

其中向量a(m,cos2x),b(1sin2x,1),xR，且函数y=f(x)的图象经过点,2，

4（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

（文）(1)若ABAC0，求c的值；（理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若c5，求sin∠A的值．

6三角函数中的实际应用

例6（山东理）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于

甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得

BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．

北120B2A2B1

7．三角函数与不等式

105A1乙

甲例7（湖北文）已知函数f(x)2sin2πx4ππ3cos2x，x，．（I）求f(x)的最大值和最小值；

42（II）若不等式f(x)m2在x8．三角函数与极值

例8（安徽文）设函数fxcos2ππ上恒成立，求实数m的取值范围．

4，2x4tsinx2cosx24tt3t4,xR

32其中t≤1，将fx的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

三角函数易错题解析

例题1已知角的终边上一点的坐标为（sinA、

23,cos236

），则角的最小值为（）。

56B、

23C、

53D、

11例题2A，B，C是ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x25x10的两个实数根，则ABC是（）

A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形

例题3已知方程x4ax3a10（a为大于1的常数）的两根为tan，tan，

2且、2,的值是_________________.，则tan22例题4函数f(x)asinxb的最大值为3，最小值为2，则a______，b_______。

例题5函数f(x)=

2

sinxcosx1sinxcosx2的值域为______________。

22例题6若2sinαsin3sin,则sinsin的取值范围是

例题7已知，求ycos6sin的最小值及最大值。例题8求函数f(x)2tanx1tanx2的最小正周期。

例题9求函数f(x)sin2x22cos(4x)3的值域

34例题10已知函数f(x)sin(x)(0,0≤≤)是R上的偶函数，其图像关于点M(上是单调函数，求和的值。

,0)对称，且在区间[0，

2]

201*三角函数集及三角形高考题

b5,B41.（201*年北京高考9）在ABC中，若

,sinA13，则a.

2A,B,Ca,b,cABCacosAbsinBsinAcosAcosB2.（201*年浙江高考5）.在中，角所对的边分.若，则11(A)-2(B)2(C)-1(D)1

3.（201*年全国卷1高考7）设函数重合，则的最小值等于

f(x)cosx(0)，将yf(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像

1（A）3（B）3（C）6（D）9

5.（201*年江西高考14）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若则y=_______.

p4,y是角终边上一点，且

sin255，

f(x)sin(2x)，其中为实数，若

6．（201*年安徽高考9）已知函数

则

f(x)f(6)对xR恒成立，且

f(2)f()，

f(x)的单调递增区间是

k,k36（A）(kZ)k,k2（B）(kZ)(kZ)

2k,kk,k(kZ)263（C）（D）2227．（201*四川高考8）在△ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，则A的取值范围是

(0,（A）

6]

（B）6[,)(0,（C）

3]

（D）3[,)

f(x)4cosxsin(x1.（201*年北京高考17）已知函数

6)1.

6,4f(x)f(x)上的最大值和最小值。（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间cosA2cosC3.（201*年山东高考17）在ABC中，内角

A,B,C的对边分别为

a,b,c，已知

cosB2cab，

sinC（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若

cosB14,b2，求ABC的面积S。

5.（201*年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

A75,b2,求a，c(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若.

0A,B,Ca,b,c6.（201*年湖南高考17）在ABC中，角所对的边分别为且满足csinAacosC.（I）求角C的大小；（II）求

3sinAcos(B4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

)f(x)2sin(7．（201*年广东高考16）已知函数

13x6，xR．

)f(（1）求

54)106,0,f(3)f(32)2，213，5，求cos()的值．的值；（2）设

f(x)sin(x74)cos(x45，34)8．（201*年广东高考18）已知函数（Ⅰ）求

f(x)，xR．

45，

0cos()cos()2．求证：[f()]20．

2的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知

9.（201*年江苏高考17）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为

a,b,c,b3csin(A（1）若

6)2cosA,求A的值；（2）若

cosA13，求sinC的值.

b10.（201*高考）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=求B。

2a。（I）求a；（II）若c2=b2+3a2，

11.（201*年湖北高考17）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(I)求ABC的周长；(II)求

a1,b2,cosC14

cos(AC)的值。

cos2C12.（201*年浙江高考18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．201*三角函数集及三角形高考题答案

14

1.（201*年北京高考9）在ABC中，若

b5,B4,sinA13，则a.

a52【答案】

a【解析】：由正弦定理得sinA3bsinB又

b5,B4,sinA115sin4,a523

23所以32.（201*年浙江高考5）.在ABC中，角

A,B,C所对的边分

a,b,c.若acosAbsinB，则sinAcosAcosB

11(A)-2(B)2(C)-1(D)1【答案】D【解析】∵acosAbsinB，∴sinAcosAsin∴sinAcosAcos22B，

Bsin2BcosB1.

3.（201*年全国卷1高考7）设函数重合，则的最小值等于

f(x)cosx(0)，将yf(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像

1（A）3（B）3（C）6（D）9

【解析】由题意将

yf(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍,得

2k3(kZ)6,解得6k,又0,令k1,得min.

4.（201*全国卷），设函数

（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称

ππππ（C）y=f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线x=4对称（D）y=f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线x=2对称

解析：解法一：f(x)=

ππ2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线x=2对称。故选D。

255，

5.（201*年江西高考14）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若则y=_______.

p4,y是角终边上一点，且

sin答案：8.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角。

sin对边y2255斜边=16yy8

f(x)f(6．（201*年湖南高考9）【解析】若

6)对xR恒成立，则

f(6)sin(3)1，所以3k2,kZ，

k6,kZ.由

f(2)f()sin()sin(2)sin，（kZ），可知，即

，所以

0(2k1)6,kZ，代入

f(x)sin(2x)f(x)sin(2x，得

6，由

)2k22x62k32，

k得

6xk23，故选C.

bca2227．（201*四川高考8）解析：由sinAsinBsinCsinBsinC得abcbc，即cosA12，∵0A，故

0A2222222bc12，

3，选C．

∴f(x)4cosxsin(x1.【解析】：（Ⅰ）因为

6)14cosx(32sinx12cosx)1[高考资源网KS5U.COM]

3sin2x2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x6所以f(x)的最小正周期为2x)（Ⅱ）因为

6x4,所以62x623.于是，当

62,即x6时，f(x)取得最大值2；当

2x66,即x6时,f(x)取得最小值1．

f(x)Asin(2.（201*年浙江高考18）已知函数

3x)，xR，A0，

02.yf(x)的部分图像，如图所示，

P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A).

（Ⅰ）求

f(x)的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，

PRQ23，求A的值.

T2.（Ⅰ）解：由题意得，

236P(1,A)在因为

yAsin(3x)的图像上

sin(所以

3)1.又因为

02，所以

6（Ⅱ）解：设点Q的坐标为

2(

x0,A).，由题意可知32x02623，得x04，所以Q(4,A)，连接PQ,在△PRQ中，∠PRQ=3,由余弦定理得

cosPRQRPRQPQ2RP.RP2A9A(9A)23.9A222212，解得A2=3。

又A＞0，所以A=3。

cosA2cosC2cab，

3.（201*年山东高考17）在ABC中，内角

A,B,C的对边分别为

a,b,c，已知

cosBsinC（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若

cosB14,b2，求ABC的面积S。cosA2cosC解：（Ⅰ）在ABC中，由

cosB2cab及正弦定理可得，

cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB，

即sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB则sinAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB

sinCsin(AB)2sin(CB)，而ABC，则sinCcosA2coCscosB22sAin，即sinA2。另解1：在ABC中，由

c2ab2可得，bcosA2bcosC2ccosBacosB

2bca由余弦定理可得

2cabca222acba222acb2c222，整理可得c2a，由正弦定理可得

sinCsinAca2。

另解2：利用教材习题结论解题，在

ABC中有结论

cosA2cosCabccbosCccb2caoBsCcb,ccoAsacCoc由aBcosBb2caAb可得

oAssinCo即bccosAaBcosBa2ccosBB2bcosC，则c2a，

14由正弦定理可得sinA2。（Ⅱ）由c2a及

cosB,b2可得

4ca2accosB4aaa4a,222222则a1，c2，S

12acsinB12121cosB2154，即

S154。

4.（201*年安徽高考16）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=BC上的高.

3，b=2，12cos(BC)0，求边

解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又

12cos(B)C0a，∴

12cos(180bsinB得

)A0，即12cosA0cosA，

12，

又0°2(sin45cos30cos45sin30)2(22322212)312.

5.（201*年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

A75,b2,求a，c.

(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若

0【解析】(I)由正弦定理得ac222acb…由余弦定理得bac2accosB.故

2222cosB22，因此B45246

故

（II）

sinAsin(3045)226sin30cos45cos30sin45absinAsinB13cbsinCsinB2sin60sin456.……………………………

A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinAacosC.

6.（201*年安徽高考17）在ABC中，角

3sinAcos(B（I）求角C的大小；（II）求解

析：（I）

)4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

理得

由正弦定

sinCsinAsinAcosC.因为

0A,所以

sAin从而0.Cs又Cin所C以cos则.3CcosCB0,A.ta4（II）由（I）知4于是

n1,3sinAcos(B4)3sinAcos(A)3sinAcosA2sin(A34,6).,从而当A0A

6A6111262,即A3时,，

2sin(A)6取最大值2．

3sinAcos(B综上所述，

4的最大值为2，此时

13)A3,B5.12

f(x)2sin(7．（201*年广东高考16）已知函数

x6，xR．

)f(（1）求

54)106,0,f(3)f(32)2，213，5，求cos()的值．的值；（2）设f(515)2sin()2sin434642（2）

f(316．解：（1）

110)2sin[(3)]2sin232613，

sin即

163,0,f(32)2sin[(32)]2sin()cos2，13，3625，即5，∵cos∴

1sin212131213354sin，

1cos245∴

cos()coscossinsin513451665

34)f(x)sin(x7)cos(x48．（201*年广东高考18）已知函数（Ⅰ）求

f(x)，xR．

45，

0cos()的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知f(x)sinxcos74cosxsin74cosxcos345，

cos()342．求证：[f()]20．

2sinxsin（Ⅰ）解析：

2sinx42cosx2sin(x)4，∴f(x)的最

45，两

f(x)min2小正周期T2，最小值．Ⅱ）证明：由已知得

coscossinsin5，

coscossinsin式相加得∴

2coscos02202，∴cos0，则

2．

，∵

．

[f()]24sin4209.（201*年江苏高考17）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为

a,b,c,b3csin(A（1）若

6)2cosA,求A的值；（2）若

cosA13，求sinC的值.

sin(A解析：（1）

6)2cosA,sinA3cosA,A3

cosA（2）

13,b3c,abc2bccosA8c,a22c

222222c由正弦定理得：sinA

csinC，而

sinA1cosA2223,sinC13。（也可以先推出直角三角形）

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