高一数学函数知识总结及例题
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.
二、复合函数定义域问题:(一)例题剖析:
(1)、已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域
思路:设函数f(x)的定义域为D,即xD,所以f的作用范围为D,又f对g(x)作用,作用范围不变,所以g(x)D,解得xE,E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为(0,1),则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析:函数f(u)的定义域为(0,1)即u(0,1),所以f的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以0lnx1解得x(1,e),故函数f(lnx)的定义域为(1,e)
1,则函数ff(x)的定义域为______________。x11解析:先求f的作用范围,由f(x),知x1
x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1,又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1,即ff(x)中x应满足x1
f(x)1x1即1,解得x1且x2
1x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2(2)、已知fg(x)的定义域,求f(x)的定义域
思路:设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)E,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以xE,E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1,2,则函数f(x)的定义域为_________。解析:f(32x)的定义域为1,2,即x1,2,由此得32x1,5所以f的作用范围为1,5,又f对x作用,作用范围不变,所以x1,5
即函数f(x)的定义域为1,5
x2例4.已知f(x4)lg2,则函数f(x)的定义域为______________。
x82x2x20解析:先求f的作用范围,由f(x4)lg2,知2x8x82解得x44,f的作用范围为(4,),又f对x作用,作用范围不变,所以
2x(4,),即f(x)的定义域为(4,)
(3)、已知fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域
思路:设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)E,f的作用范围为E,又f对h(x)作用,作用范围不变,所以h(x)E,解得xF,F为fh(x)的定义域。
例5.若函数f(2x)的定义域为1,1,则f(log2x)的定义域为____________。
解析:f(2)的定义域为1,1,即x1,1,由此得2,2
2xx11f的作用范围为,2
21又f对log2x作用,所以log2x,2,解得x2即f(log2x)的定义域为
2,4
2,4
评注:函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数.
证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b
因为ug(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),
u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)
因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)f(u2),即
f(g(x1))f(g(x2)),
故函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤:确定函数的定义域;
将复合函数分解成两个简单函数:yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性;
若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数yf(g(x))为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数yf(g(x))为减函数。
(4)例题演练
例1、求函数ylog1(x2x3)的单调区间,并用单调定义给予证明22解:定义域x2x30x3或x1
单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则
y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)
2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)
∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数2222112同理可证:y在(,1)上是增函数
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.
二、复合函数定义域问题:(一)例题剖析:
(1)、已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域
思路:设函数f(x)的定义域为D,即xD,所以f的作用范围为D,又f对g(x)作用,作用范围不变,所以g(x)D,解得xE,E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为(0,1),则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析:函数f(u)的定义域为(0,1)即u(0,1),所以f的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以0lnx1解得x(1,e),故函数f(lnx)的定义域为(1,e)例2.若函数f(x)1x1,则函数ff(x)的定义域为______________。
1x1解析:先求f的作用范围,由f(x),知x1
即f的作用范围为xR|x1,又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1,即ff(x)中x应满足x1即1,解得x1且x2
1x1x1f(x)1
故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2(2)、已知fg(x)的定义域,求f(x)的定义域
思路:设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)E,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以xE,E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1,2,则函数f(x)的定义域为_________。解析:f(32x)的定义域为1,2,即x1,2,由此得32x1,5所以f的作用范围为1,5,又f对x作用,作用范围不变,所以x1,5
即函数f(x)的定义域为1,5
2例4.已知f(x4)lg2x2x8,则函数f(x)的定义域为______________。
解析:先求f的作用范围,由f(x4)lg2x22x8,知
x22x80
解得x244,f的作用范围为(4,),又f对x作用,作用范围不变,所以x(4,),即f(x)的定义域为(4,)
(3)、已知fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域
思路:设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)E,f的作用范围为E,又f对h(x)作用,作用范围不变,所以h(x)E,解得xF,F为fh(x)的定义域。
例5.若函数f(2x)的定义域为1,1,则f(log2x)的定义域为____________。
1解析:f(2)的定义域为1,1,即x1,1,由此得2,2
2xxf的作用范围为
1,22又f对log2x作用,所以log2x,2,解得x2即f(log2x)的定义域为
12,4
2,4
评注:函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。
(二)同步练习:
21、已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x)的定义域。
答案:[1,1]
2、已知函数f(32x)的定义域为[3,3],求f(x)的定义域。
答案:[3,9]
3、已知函数yf(x2)的定义域为(1,0),求f(|2x1|)的定义域。
(12,0)(1,3)答案:
24、设fxlg2xx2,则ff的定义域为()
2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4
x22,2x20得,f(x)的定义域为x|2x2。故解:选C.由,解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定义域为4,11,4
2x5、已知函数f(x)的定义域为x([解析]由已知,有1ax3,13x,),求g(x)f(ax)f()(a0)的定义域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,
x(1)当a1时,定义域为{x|(2)当
32a32};a2a,即0a1时,有a2x32a};
12a2a,
定义域为{x|(3)当
32a32a,即a1时,有1x32a}.12aa2a2,
定义域为{x|2a故当a1时,定义域为{x|xx32a32};
当0a1时,定义域为{x|a}.
[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数.
证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b
因为ug(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),
u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)
因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2)),
故函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤:确定函数的定义域;
将复合函数分解成两个简单函数:yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性;
若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数yf(g(x))为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数yf(g(x))为减函数。
(4)例题演练例1、求函数ylog212(x2x3)的单调区间,并用单调定义给予证明2解:定义域x2x30x3或x1
单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则
y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)
2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数22121
同理可证:y在(,1)上是增函数[例]2、讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.[解]由3x22x10得函数的定义域为
1{x|x1,或x}.
3则当a1时,若x1,∵u3x22x1为增函数,∴f(x)loga(3x22x1)为增函数.
若x13,∵u3x22x1为减函数.
∴f(x)loga(3x22x1)为减函数。
当0a1时,若x1,则f(x)loga(3x22x1)为减函数,若xf(x)loga(3x22x1)为增函数.
13,则
例3、.已知y=loga(2-a)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.解:∵a>0且a≠1
当a>1时,函数t=2-a>0是减函数
由y=loga(2-a)在[0,1]上x的减函数,知y=logat是增函数,∴a>1
由x[0,1]时,2-a2-a>0,得a<2,∴1<a<2
当0例4、已知函数f(x2)ax2(a3)xa2(a为负整数)的图象经过点
(m2,0),mR,设g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得
F(x)在区间(,f(2)]上是减函数,且在区间(f(2),0)上是减函数?并证明你的结论。
[解析]由已知f(m2)0,得am2(a3)ma20,其中mR,a0.∴0即3a22a90,解得
1273a1273.
∵a为负整数,∴a1.
∴f(x2)x4x3(x2)21,
2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x,
∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.
假设存在实数p(p0),使得F(x)满足条件,设x1x2,
22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3,当x1,x2(,3)时,F(x)为减函数,
220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0,∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①
当x1,x2(3,0)时,F(x)增函数,∴F(x1)F(x2)0.
220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②
,故存在p116.
(5)同步练习:
1.函数y=logA.(-∞,1)C.(-∞,
3212(x2-3x+2)的单调递减区间是()
B.(2,+∞)D.(
32),+∞)
解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)
在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=log12(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:B
2找出下列函数的单调区间.
(1)yax(2)y223x2(a1);.
x22x3答案:(1)在(,]上是增函数,在[,)上是减函数。
2233(2)单调增区间是[1,1],减区间是[1,3]。
3、讨论yloga(a1),(a0,且a0)的单调性。
答案:a1,时(0,)为增函数,1a0时,(,0)为增函数。4.求函数y=log13x(x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
解:由(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x∈(-∞,1)∪(4,+∞),{|=x2-5x+4}=R,所以函数的值域是R.因
++为函数y=log13(x2-5x+4)是由y=log13(x)与(x)=x2-5x+4复合而成,函
52数y=log13(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)=x2-5x+4在(-∞,
)上为减函数,在[
52,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log13(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=log13(x)为减函数、(x)=x2-5x+4也
为减函数的区间,即(-∞,1);y=log1(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y=log313(x)为减函数、(x)=x2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).
变式练习一、选择题
1.函数f(x)=log
A.(1,+∞)C.(-∞,2)
12(x-1)的定义域是()
B.(2,+∞)
2]D.(1,解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
x-1>0所以log(x-1)120解得1<x≤2.
答案:D2.函数y=log
12(x2-3x+2)的单调递减区间是()
B.(2,+∞)D.(
32A.(-∞,1)C.(-∞,
32),+∞)
解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=log12(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:B
3.若2lg(x-2y)=lgx+lgy,则
A.4
yx的值为()B.1或D.
1414
C.1或4
yx错解:由2lg(x-2y)=lgx+lgy,得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有
14=或
xy=1.
答案:选B
正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.答案:D
4.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log的取值范围为()
A.(0,C.(
12122a(x+1)满足f(x)>0,则a
)B.(0,1)D.(0,+∞)
,+∞)
解析:因为x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0<
2a<l,解得0<a<答案:A
12(根据本节思维过程中第四条提到的性质).
5.函数y=lg(
21-x-1)的图象关于()
1+x1-xA.y轴对称C.原点对称
21-x
B.x轴对称D.直线y=x对称
1+x1-x解析:y=lg(
-1)=lg,所以为奇函数.形如y=lg或y=lg1+x1-x的函数都为奇函数.答案:C二、填空题
已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是__________.解析:a>0且a≠1(x)=2-ax是减函数,要使y=loga(2-ax)是减函数,则a>1,又2-ax>0a<答案:a∈(1,2)
7.函数f(x)的图象与g(x)=(的单调递减区间为______.
解析:因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=log则f(2x-x2)=log132x(0<x<1)a<2,所以a∈(1,2).
13)的图象关于直线y=x对称,则f(2x-x2)
xx13(2x-x2),令(x)=2x-x2>0,解得0<x<2.
(x)=2x-x2在(0,1)上单调递增,则f[(x)]在(0,1)上单调递减;(x)=2x-x2在(1,2)上单调递减,则f[(x)]在[1,2)上单调递增.所以f(2x-x2)的单调递减区间为(0,1).答案:(0,1)
8.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数,且f(则不等式f(log4x)>0的解集是______.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-
1212)=0,
)=f(
12)=0.又f(x)在[0,+∞]
12上是增函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.所以f(log4x)>0log4x>
9或log4x<-
12.
12解得x>2或0<x<
.12答案:x>2或0<x<三、解答题9.求函数y=log13
(x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
解:由(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x∈(-∞,1)∪(4,+∞),{|=x2-5x+4}=R,所以函数的值域是R
++.因为函数y=log1(x2-5x+4)是由y=log313(x)与(x)=x2-5x+4复合而成,
52函数y=log13(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)=x2-5x+4在(-∞,
)上为减函数,在[
52,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log13(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=log13(x)为减函数、(x)=x2-5x+4也
为减函数的区间,即(-∞,1);y=log1(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y=log313(x)为减函数、(x)=x2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).10.设函数f(x)=
23x+5+lg3-2x3+2x,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f1(x),问函数y=f1(x)的图象与x轴有交点吗?
--若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.解:(1)由3x+5≠0且<
323-2x3+2x>0,解得x≠-
53且-
32<x<
32.取交集得-
32<x
.2(2)令(x)=
3-2x3+2x=-1+
3x+56,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;
3+2x随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgx在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y=lg(x)=
23x+53-2x3+2x是减函数,所以f
+lg3-2x3+2x是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f(x)的反函数f1(x)与工轴的交点为(x0,0).根据函数与反函数之间定义
-域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x0),将(0,x0)代入f(x),解得x0=
一.指数函数与对数函数
.同底的指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数;
(二)主要方法:
1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;
2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3.比较几个数的大小的常用方法有:①以0和1为桥梁;②利用函数的单调性;③作差.(三)例题分析:
2例1.(1)若aba1,则logbxyz(2)若23525.所以函数y=f1(x)的图象与x轴有交点,交点为(
-25,0)。
ba,logba,logab从小到大依次为;
z都是正数,,且x,则2x,y,3y,5z从小到大依次为;
xx(3)设x0,且ab1(a0,b0),则a与b的大小关系是()
(A)ba1(B)ab1(C)1ba(D)1ab
2解:(1)由aba1得
baa,故logbbxyz(2)令235t,则t1,xalgtlogba1logab.
lg2,ylgtlg3,zlgtlg5,
∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30,∴2x3y;
同理可得:2x5z0,∴2x5z,∴3y2x5z.(3)取x1,知选(B).例2.已知函数f(x)ax(a1),
x1求证:(1)函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)方程f(x)0没有负数根.
x2证明:(1)设1x1x2,则f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21
ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21),
∵1x1x2,∴x110,x210,x1x20,∴
3(x1x2)(x11)(x21)0;
∵1x1x2,且a1,∴ax1ax2,∴aax1x20,
∴f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)假设x0是方程f(x)0的负数根,且x01,则a即ax0x0x02x010,
2x0x013(x01)x013x011,①3x013,∴
3x0112,而由a1知ax0当1x00时,0x011,∴∴①式不成立;
当x01时,x010,∴
3x011,
0,∴
3x0111,而ax00,
∴①式不成立.
综上所述,方程f(x)0没有负数根.
例3.已知函数f(x)loga(ax1)(a0且a1).求证:(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
证明:(1)由a10得:a1,
∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧;
当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(,0),此时函数f(x)的图象在y轴的左侧.
∴函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点,且x1x2,则直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x2xx,y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11,
当a1时,由(1)知0x1x2,∴1a∴0aax1x2ax2,∴0a1ax11,
111,∴y1y20,又x1x20,∴k0;
x1当0a1时,由(1)知x1x20,∴a∴
ax1x2ax21,∴ax11ax210,
1,∴y1y20,又x1x20,∴k0.1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
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