高中数学必修4-基本初等函数小结

高中数学必修4-基本初等函数小结

《第一章基本初等函数》小结

一．教学目标1．知识目标

（1）任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式；

（2）三角函数的图像和性质；（3）已知三角函数值求角．２．能力目标

（１）理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；

（２）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；并能应用它们进行简单的求值、化简、证明；

（３）会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、余切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数

ysin(x)的简,,A的物理意义；（4）会用已知三角函数值求角，并会用arcsina\\、arccosa\\、arctana\\表示。3．情感目标

（1）渗透“变换”、“化归”思想；（2）培养逻辑推理能力；

（３）引导学生体会数形结合思想，学会用数形结合来思考和解决数学问题；（４）培养学生探求意识．二．教学重点

任意角三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数ysin(x)的图象和正弦函数图象的关系．

三．教学难点

弧度制和周期函数的概念，正弦型函数ysin(x)的图象变换，综合应用公式进行求值\\、化简、证明等。

四．教学方法引导启发式

应用“整体化”教学思想，引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的逐步认识，强化知识点的理解掌握，进而达到应用的目的。

五．教学准备

图表一：知识网络结构图

任意角的概念任意角的三角函数三角函数的图象和性质角度制与弧度制扇形的弧长与面积任意角的三角函数符号同角三角函数的关系式诱导公式三角函数的求值、化简、证明

图表二：三角函数定义、同角三角函数基本关系式、三角函数值的正负

1．sin2．sin2xr应用举例任意角yrcos2tansinyx

cos1tancos

3．++--+--+

------++--sincostan图表三：诱导公式函数角sincoscoscostantantantan2ksinsinsin(2k1)cos2cossincot图表四：三角函数的图像和性质函数图像正弦函数余弦函数正切函数定义域值域R[-1,1]最大值为1，最小值为-1最小正周期2奇函数2R{x|x2k,kZ}[-1,1]最大值为1，最小值为-1最小正周期2偶函数2R无最值最小正周期奇函数2周期性奇偶性单调性在[2k,2k]在[(2k1),2k]上是增函数；在[2k,(2k1)]上是减函数（kZ）在(k,2k)上是增函数；在[上是增函数；22k,322k]上是减函数（kZ）

六．教学过程：教学环节复习引入教学内容师生互动设计意图知识网络结构图复习深入复习具体内容一1．任意角的概念；2．角度制与弧度制；3．扇形的面积；1．教师提出问题：大家回忆本使学生对本章知章学习内容，仔细考虑、归纳总识结构有一个宏结出这一章观掌握。的知识网络结构图。2．教师引导提示，由学生回答。2．教师给出图表一。让学生根据教师教师提出问题，组织学生思考并回答;1．角的概念推广后，拔角的范围从0到360推广到一个什么样的范围？都包括什么样的角？00的问题通过思考回忆各知识点。使学生根据教师的问题进一步体会理解知识点的由来，以便灵活记忆。培养学生的识图能力，进一步强化由图像直观分析总结函数性质的能力。2．第一、二、三、四象限角及终边落在轴、轴的角的集合各是什么？3．弧度制的定义是什么？角度制与弧度制如何转换？弧度制下的公式是什么？1．教师提问：任意角的三角函数的定义是什么？学生回答；2．教师引导学生由上述定义回答同角三角函数关系式、三角函数的正负、诱导公式；二．1．任意角的三角函数的定义；3．给出图表二。2．同角三角函数的基本关系式；4．进一步拓展只是给出：3．各三角函数值在四个象限的正1tan2sce222负；1cotcsc4．诱导公式；tancot1三．三角函数的图像和性质sincsc1cossec11．教师板演并要求学生利用“五点法”话出政弦函数的简图；要求学生根据图像分析回答该函数的值域、最值、区的最值时x的集合；2．给出图表四。3．让学生自己观察分析余弦函数、正切函数的性质。归纳总结1．把握由“整体”到“局部”再到“整体”知识的综合应用的复习思路；2．化归思想的应用。教师总结：1．在掌握知识的同时，还应注意到该章知识的复习思路。即由“整体”到“局部”再到“整体”。2．这一张还突出应用了化归思想，这是一种重要的数学思想。主要表现在：（1）把未知化归为已知；（2）把特殊划归为一般；（3）等价化归等培养学生把握整章知识的能力，同时注意渗透数学思想和方法。让学生感受本章知识的应用应用举例题例题组一：1.若角的终边落在直线y3x上，求sin和cos的值。1．已知tan3，求下列各式的值：4sin2cos（1）5cos3sin（2）(sin2cos)3．计算：cos256cos253tan(254)2学生板演，教师对学生在解题思路和规范方面进行指导4．证明：1tan1cot22AA(1tanA1cotA)2题组二：1.已知函数y3sin(2x3)试确定该函数的值域、单调增区间、最大值及取得最大值时x的集合。2．观察正弦函数的图像，写出使2sinx10的x的集合。3．求适合13tanx0(xR)的集合。4．思考题：利用图像变换讨论由ysinx得图像怎样得到y3sin(2x（写出你能想到的方法）4)的图像针对思考题要求学生从相位、周期、振幅入手考虑它们的图像关系。1.使学生进一步巩固和应用所学知识.2.培养学生的探究意识，布置作业P

扩展阅读：高中数学必修1知识点总结：第二章_基本初等函数

高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

一、指数函数

1、根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；n当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号②式子na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

n③根式的性质：(2、分数指数幂的概念

a)a；当n为奇数时，aa；当n为偶数时，nnnna(a0)．a|a|a(a0)n①正数的正分数指数幂的意义是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

mn②正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没有意义．

aa指数函数及其性质

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

3、指数函数

函数名称定义函数指数函数yax(a0且a1)叫做指数函数0a1yaxa1y图象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定义域值域xROx(0,)图象过定点(0,1)，即当x过定点奇偶性单调性0时，y1．在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x0)函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．（重点记）高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

4、分数指数幂的运算性质：（初中学过）

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

二、对数函数

5、对数的定义①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xloga6、几个重要的对数恒等式：（特殊）

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

对数函数及其性质

（5）对数函数

函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数0a11xa1y图象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

7、常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log108、对数的运算性质如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③数乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥换底公式：logaN(b0,且b1)blogba9、反函数的概念

设函数

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个

(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数

值，通过式子xyf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

10、反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

11、反函数的性质①原函数

②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数12、幂函数的定义一般地，函数13、幂函数的图象

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

14、幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果y轴对称)；

0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，

y轴．

在第一象限内，图象无限接近x轴与

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpqpq（其中p,q互质，p和qZp），若

p为奇

数q为奇数时，则函数．

yx是奇函数，若

p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶

qp⑤图象特征：幂函数方，当yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上

1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

〖补充知识〗二次函数

15、二次函数解析式的三种形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

16、求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

17、二次函数图象的性质

f(x)更方便．

①二次函数

b4acb2b)．f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,顶点坐标是(,2a2a4a2bbb]上递减，,)上递增，②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,在[当x2a2a2a4acb2时，fmin(x)4a．

；当a04acb2bbb]上递增，在[,)上递减，当x时，抛物线开口向下，函数在(,时，fmax(x)2a2a2a4a③二次函数

f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点．高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

表1定义域值域指数函数yaxa0,a1xR对数数函数ylogaxa0,a1x0,yRy0,图象过定点(0,1)减函数增函数x(,0)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,)过定点(1,0)减函数增函数x(,0)时，y(1,)性质x(0,1)时，y(0,)x(1,)时，y(,0)x(0,1)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)x(0,)时，y(0,1)ab表2ababab幂函数yx(R)pq00111p为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数

偶函数

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