高中数学_三角函数练习题汇总

高中数学_三角函数练习题汇总

三角函数练习

1.如果4cos222.求函数y61,求角的集合（）

cosx1的定义域（）

3.记cos(80)k，那么tan100___4.若sin(5.求y)13，则cos(232)=（）

cosx2cosx1的值域（）

3)6.求函数ycos(2x的单调减区间（）

7.计算12sin215的结果等于8.将函数ysinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，

4再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是9.函数f(x)=3sin(x36),xR的最小正周期为6:8:1210.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC11.函数f(x)sin（12.函数ysin(2x6，则△ABC为

x）cosx最小值是

)图像的一条对称轴方程是12x13.在同一平面直角坐标系中，函数ysin的图象和直线y12的

交点个数是14.若角的终边经过点P(2，3)，则tan的值为．15.若sin23,tan0，则cos.16.代数式sin25ocos65ocos25osin115o．17.fxsinx3的最小正周期为

3，其中

0，则

=．

用心爱心专心

18.在ABC中，若

19.求证：

cos1sin3c=2bsinC,则B为_________.

1sincos

20.求下列函数的定义域（1）f(x)log

（2）f(x)lg(sin

（3）f(x)21.值

22.已知tan（1）

（2）sin

（3）4sin2

13sincos5cos2sinx(12cosx)

xcosx)

2cosx1tanx

已知tan(5)2,,求

cos(a)2sin(3a)3cos(a)sin(a)的

3，求下列各式的值

2sin3cos4sin9cos

cos

23.已知函数f(x)π2sin2x4πsinx2．

45（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角在第一象限且cos

用心爱心专心

，求f()．

24.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a5

25.在△ABC中，cosA51355,a8248.

（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若Sn=185，求n的值。

，cosB．

53（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）设c6，求△ABC的面积．

26.已知函数f(x)2sin(x)sin（2x）.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间

27.已知函数f(x)sinx3sinxcosx2cosx,xR①求函数f(x)的最小正周期和单调增区间

②函数f(x)的图像可以由函数ysin2x的图像经过怎样的变化的到

22123,上的最大值和最小值.

28.已知函数f(x)sin(x),其中若cos3cossin23sin0,求0，||2

的值；

3

用心爱心专心

（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，

4使得函数f(x)的图像向左平移m个单位所对应的函数是偶函数。29.知cosC18在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c．已

（1）求sinC的值；

(Ⅱ)当a=4,2sinA=sinC时,求b及c的长．

用心爱心专心

扩展阅读：高中数学三角函数总结及习题

三角函数知识点总结及习题

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ

②终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ

③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ

④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ

⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

2.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=3．弧长公式：l||r.扇形面积公式：s扇形1lr12||r224．三角函数在各象限的符号：（一全正，二正弦，三正切，四余弦）

yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

5.三角函数的定义域：

三角函数定义域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk12,kZ

6、同角三角函数的基本关系式：

sincostantancot1

sin2cos21

7、诱导公式：

cos2cos2sin22cos2112sin2

asinbcosa2b2sin()其中tanba

8.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：ysinxycosxytanxyAsinx（A、＞0）定义域R值域[1,1][1,1]R1x|xR且xk,kZ2RRA,A2周期性2奇偶性对称轴方程对称中心奇函数2奇函数无当0,非奇非偶当0,奇函数偶函数xk2xk（kZ）kx2（kZ）（k,0）kZ（kZ）1（k,02）kZ（k,0）kZ(xkkZ,0)上为增函数；上为减函数上为增函数；-3-

单调性上为上增函数；为增函数；上为减函数上为减函数上为减函数注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；

ycosx与ycosx的单调性

也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.②ysinx与的ycosx周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T▲y2.

Oxytan

x的周期为2（T2T2，如图，翻折无效）.

三角函数图像

1||2f数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T，频率，相位x;初

T2||相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用

ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

正弦定理和余弦定理

正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝

abc

，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2R2R2R

ac

余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC＝

2bc2ac2ab111

三角形面积的计算：SABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB

222规律：

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsinA＞sinB.途径：

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

三角函数复习题（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

π4

1．已知x∈(－2，0)，cosx＝5，则tan2x等于（）

7

A.24

724

B.－24C.7

24

D.－7

ππ

2．3cos12－sin12的值是（）

A.0B.－2C.2D.2

5310

3．已知α，β均为锐角，且sinα＝5，cosβ＝10，则α＋β的值为（）

π3π

A.4或43A.4

3ππB.4C.4

π

D.2kπ＋4(k∈Z)

1

D.4

4．sin15°cos30°sin75°的值等于（）

31

B.8C.8

π

5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin12)等于（）

A.12

B.－1C.－3

22

D.3

26．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)的值为（A.12

B.3

2C.1

D.0

7．已知sinα＋cosα＝1

3，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为（A.8，1799B.－8179，9

C.－8179，－9

D.－8，±17

99

8．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是（A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定cos（ππ

9．化简4＋α）－sin（4＋α）

的结果为（cos（π（π

4－α）＋sin4－α）A.tanαB.－tanαC.cotαD.－cotα

10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为（A.－1

2

B.1

2C.－1

D.1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）sin70＋cos15011．sin80

cos70－sin150sin80的值等于_____________.

12．若1－tanA1＋tanA

＝4＋5，则cot(π

4＋A)＝_____________.

13．已知tanx＝4x＜2π)，则cos(2x－ππππ

3(π＜3)cos(3－x)－sin(2x－3)sin(3－x)＝_____.14．sin(ππ)－cos(ππ

4－3x)cos(3－3x6＋3x)sin(4＋3x)＝_____________.

15．已知tan(α＋β)＝2π1ππ

5，tan(β－4)＝4，则sin(α＋4)sin(4－α)的值为____________.16．已知5cos(α－β)＋7cosβα－βα

22＝0，则tan2tan2＝_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

））

））

-6-

）π12ππ

17．（本小题满分12分）已知cos(α－6)＝13，6＜α＜2，求cosα.

18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π

2)，求sinα、tanα.

19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanACtanAC

2＋tan2＋32tan2的值.

-7-

1217233

20．（本小题满分15分）已知cosα＝－13，cos(α＋β)＝26，且α∈(π，2π)，α＋β∈(2π，2π)，求β.

三角函数复习题（二）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）

A.y＝sin2x

x

B.y＝cos2

C.y＝sin2x＋cos2x

1－tan2xD.y＝

1＋tan2x

2．设函数y＝cos(sinx)，则（）

A.它的定义域是［－1，1］B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函数

3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象π

向左平移4个单位.则所得图象表示的函数的解析式为（）A.y＝2sin2x

B.y＝－2sin2x

xπ

D.y＝2cos(2＋4)

π

C.y＝2cos(2x＋4)

π

4．函数y＝2sin(3x－4)图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）

πA.3

2π

B.3C.π

4π

D.3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，则α角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3π6．函数y＝|cotx|sinx（0＜x≤2且x≠π）的图象是（）

7．设y＝

cos2x

，则下列结论中正确的是（）

1＋sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值

C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值π

8．函数y＝sin（4－2x)的单调增区间是（）

3πππ5π

A.［kπ－8，kπ＋8］(k∈Z)B.［kπ＋8，kπ＋8］(k∈Z)π3π3π7π

C.［kπ－8，kπ＋8］(k∈Z)D.［kπ＋8，kπ＋8］(k∈Z)1

9．已知0≤x≤π，且－2＜a＜0，那么函数f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是（）

A.2a＋1

B.2a－1C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0，4］上是增函数的θ的一个值为（）5π

A.3

4π2πB.3C.3

π

D.3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．函数y＝

cosx

的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

12．函数y＝的定义域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.

14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.π

16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋3)(x∈R)有下列命题：

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；π

②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－6)；π

③y＝f(x)的图象关于点（－6，0)对称；π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－6对称.

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

3π

19．(本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（4，π

0)对称，且在区间［0，2］上是单调函数，求φ和ω的值.

正弦定理和余弦定理练习

1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A．52106C.

3

B．102D．56

解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：acsinA＝sinC，

即

103＝c2.∴c＝1063.22

答案C

2．在△ABC中，若sinAcosBa＝b，则B的值为()．

A．30°B．45°C．60°D．90°解析由正弦定理知：

sinAsinA＝cosB

sinB，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案B

3．(201*郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－31212＝2，

∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案C

4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝1

3，则△ABC的面积为()．

A．33B．23C．43D.3解析∵cosC＝1

3，0＜C＜π，

∴sinC＝22

3，

∴S1

△ABC＝2

absinC

＝123223223＝43.答案C

5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，a2＋b2－c2∴cosC＝32ab＝－2，

故C＝150°为三角形的最大内角．答案150°

考向一利用正弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.

[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．ab32解由正弦定理得＝，＝，

sinAsinBsinAsin45°∴sinA＝

3.2

∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，6＋2bsinCc＝＝；

sinB2

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，6－2bsinCc＝＝.

sinB2

(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

π【训练1】(201*北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.

4解析因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且

sinA

＝2，sin2A＋cos2A＝1，cosA

25

联立解得sinA＝，

5ab

再由正弦定理得＝，

sinAsinB代入数据解得a＝210.答案

25

2105

考向二利用余弦定理解三角形

cosBb

【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.cosC2a＋c(1)求角B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．[审题视点]由

cosBb

＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．cosC2a＋c

a2＋c2－b2

解(1)由余弦定理知：cosB＝，

2aca2＋b2－c2

cosC＝.

2ab

cosBb

将上式代入＝－得：

cosC2a＋ca2＋c2－b22abb222＝－，2aca＋b－c2a＋c整理得：a2＋c2－b2＝－ac.a2＋c2－b2－ac1∴cosB＝＝＝－.2ac2ac22

∵B为三角形的内角，∴B＝π.

3(2)将b＝13，a＋c＝4，

2

B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，

3得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，1

1－，∴ac＝3.∴13＝16－2ac2133∴S△ABC＝acsinB＝.

24

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．

(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

A

【训练2】(201*桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋

2cosA＝0.(1)求角A的值；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．A

解(1)由2cos2＋cosA＝0，

2得1＋cosA＋cosA＝0，1

即cosA＝－，

22π

∵0＜A＜π，∴A＝.

3(2)由余弦定理得，

2π

a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝，

3则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，1

故S△ABC＝bcsinA＝3.

2

考向三利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．[审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，

即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，π

即A＝B或A＋B＝.2

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的

三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC中，若A．直角三角形C．钝角三角形

abc＝＝；则△ABC是()．cosAcosBcosC

B．等边三角形D．等腰直角三角形

解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)．∴

sinAsinBsinC

＝＝.cosAcosBcosC

即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案B

三角函数单元复习题（一）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．2－312．4＋513．－3

2－6514．415．【解析】∵tan(α＋πβ－π34)＝tan［(α＋β)－(4)］＝22

∴原式＝sin(α＋π＋π

4)cos(α4)

sin(α＋πα＋π4)cos(4)

tan(α＋π

4)＝

sin2(α＋ππ＝π＝66

493.4)＋cos2(α＋4)1＋tan2

(α＋4)16．【解析】由5cos(α－ββ

2)＋7cos2＝0得：

5cos（α－β＋αα－βα

22）＋7cos（2－2）＝0展开得：12cosα－ββ＋2sinα－ββ

2cos22sin2＝0，

两边同除以cosα－ββα－βα

2cos2得tan2tan2＝－6.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知cos(α－π12π＜π

6)＝13，6＜α2，求cosα.

【解】由于0＜α－πππ12

6＜3，cos(α－6)＝13所以sin(α－π

6)＝

1－cos2(α－π＝5

6)13

所以cosα＝cos［(α－ππ

123－56)＋6］＝2618．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π

2)，

求sinα、tanα.

【解】∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0

即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0又α∈(0，π

2)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.故sinα＝1α＝π3

2，6，tanα＝3.

19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanACAC

2＋tan2＋3tan2tan2的值.

-16-

2πACπ

【解】因为A、B、C成等差数列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝3，2＋2＝3ACtan2＋tan2

AC

∴tan(2＋2)＝3，由两角和的正切公式，得AC＝3

1－tan2tan2ACACtan2＋tan2＝3－3tan2tan2ACAC

tan2＋tan2＋3tan2tan2＝3.

1217233

20．（本小题满分15分）已知cosα＝－13，cos(α＋β)＝26，且α∈(π，2π)，α＋β∈(2π，2π)，求β.【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.

33

【解】∵π＜α＜2π，2π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.

12172572

又∵cosα＝－13，cos(α＋β)＝26，∴sinα＝－13，sin(α＋β)＝－26172127252

故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝26（－13）＋（－26）（－13）＝－2.3而0＜β＜π，∴β＝4π.

23

【评注】本题中若求sinβ，则由sinβ＝2及0＜β＜π不能直接推出β＝4π，因此本类问题如何选择三角函数值得考虑.

三角函数单元复习题（二）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．C8．D9．C10．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1ππ

11．（－∞，3］∪［1，+∞)12．{x|－4＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜2＋2kπ(k∈Z)}5

13．x＝0或π，y＝014．4π15．{y｜－4≤y≤1＋2}16．②③

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

【解】由图可得：A＝3，T＝2｜MN｜＝π.

2π

从而ω＝T＝2，故y＝3sin(2x＋φ)π2π

将M（3，0）代入得sin(3＋φ)＝0

2π2π

取φ＝－3得y＝3sin(2x－3)

5π

【评注】本题若将N（6，0）代入y＝3sin(2x+φ)

5π5π5π2π

则可得：sin(3＋φ)＝0.若取φ＝－3，则y＝3sin(2x－3)＝－3sin(2x－3)，它与y＝3π

sin(2x－3)的图象关于x轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y＝3sin(2x＋φ)后，如何确2π

定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M在上升的曲线上，就相当于“五点法”作图中的第一个点，故3＋φ5π

＝0；而N点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图中的第三个点，故3＋φ＝π，由上可得φ的值2π均为－3.

18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

π

【解】y＝1＋sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋4)＋2.π

(1)要使y取得最大值，则sin(2x＋4)＝1.πππ

即：2x＋4＝2kπ＋2x＝kπ＋8(k∈Z)π

∴所求自变量的取值集合是{x｜x＝kπ＋8，k∈Z}.(2)变换的步骤是：

ππ

①把函数y＝sinx的图象向左平移4个单位，得到函数y＝sin(x+4)的图象；

1π

②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得函数y＝sin(2x＋4）的图象；π③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数y＝2sin(2x＋4)的图象；

π

④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到y＝2sin(2x＋4)+2的图象.【说明】以上变换步骤不唯一！

3π

19．(本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（4，π

0)对称，且在区间［0，2］上是单调函数，求φ和ω的值.【解】由f(x)是偶函数，得f(x)＝f(－x)即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)

∴－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立.π

且ω＞0，∴cosφ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝2

由f(x)的图象关于点M（3π

4，0）对称，得，取x＝0，得f(3π3π3π

4)＝－f(4)，∴f(4)＝0∴f(3π3ωππ3ωπ

4)＝sin(4＋2)＝cos4＝0，又ω＞0

∴3ωπ＝π2

42＋kπ，k＝0，1，2，，ω＝3(2k＋1)，k＝0，1，2，当k＝0时，ω＝22x＋ππ

3，f(x)＝sin(32)在区间［0，2］上是减函数；当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋ππ

2)在区间［0，2］上是减函数；当k≥2时，ω≥10f(x)＝sin(ωx＋ππ

3，2)在区间［0，2］上不是单调函数；所以，ω＝2

3或ω＝2.-19-

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