高一数学初等函数知识点与题型总结

高一数学初等函数知识点与题型总结

基本初等函数

一、知识导学

1.二次函数的概念、图像和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式二次函数的顶点式二次函数的坐标式

f(x)ax2bxcf(x)a(xm)2n(a0)和f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

(a0)

（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.

①

f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时图像与x轴有两个交点.

M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|x1-x2|=

.|a|②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数

①amyax(a0,a1)和对数函数ylogax(a0,a1)的概念和性质.

（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：

anamn；②(am)namn；③(ab)nanbn（这时m,n是有理数）

MlogaMlogaNNlogcb1MlogaM；logab

nlogcaloga对数的概念及其运算性质、换底公式.

loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logan（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.

①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0错解：∵18

5,∴log185b

log1845log185log189ba∴log3645log1836log184log189log184a5,∴log185b

log1845log185log189∴log3645log1836log184log189bb错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：∵18

bababa

182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0（a0）的两个根都大于1的充要条件.

2错解：由于方程f(x)axbxc0（a0）对应的二次函数为

f(x)ax2bxc的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.

f(1)0f(1)0故需满足b，所以充要条件是b

112a2a错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有

交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.

f(1)0b正解：充要条件是12a2b4ac0y36x126x5的单调区间.

x2xx错解：令6t，则y361265＝t12t5

[例3]求函数

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数∴函数

y36x126x5的单调递减区间是(,6]，单调递增区间为[6,)

x错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令6∴函数

t，则t6x为增函数，y36x126x5＝t212t5＝(t6)241

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

y36x126x5的单调递减区间是(,1]，单调递增区间为[1,)

[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是错解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知，ylogau应为增函数，∴a＞1

错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.

yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，

由复合函数关系知，ylogau应为增函数，∴a＞1

又由于x在[0，1]上时yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，u2ax取最小值是

正解：∵

umin2a＞0即可，∴a＜2，综上可知所求的取值范围是1＜a＜2[例5]已知函数f(x)loga(3ax).

（1）当x[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.

（2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为

存在，请说明理由.分析：函数

1，如果存在，试求出a的值；如果不

f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一

0,a1

般先假设存在后再证明.

解：（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a显然，函数g(x)=3ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a＞0得到a＜(2)假设存在这样的实数a，由题设知∴a＝

32∴a的取值范围是（0，1）∪（1，

32）

f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1

32此时

f(x)loga(33x)当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.2，

12x4xa[例6]已知函数f(x)=lg,其中a为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的取值范围.

a2a1xx3111xx解：124a>0,且a－a+1=(a－)+>0,∴1+2+4a>0,a>(11),当x∈(－∞,1]时,y=x与y=x都

24424x2xa2a1333是减函数，∴y=(11)在(－∞,1]上是增函数，(11)max=－,∴a>－,故a的取值范围是(－,+∞).

4444x2x422

2

xx[例7]若(a1)解：∵幂函数

13(32a)1313，试求a的取值范围.

yx有两个单调区间，

∴根据a1和32a的正、负情况，有以下关系a10a1032a0.①32a0.②a132aa132a解三个不等式组：①得

a10.③32a023，

23＜a＜

32，②无解，③a＜－1，∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（

32）

[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=

a1(x－

xa21)

(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

2

(3)对于f(x),当x∈(－1,1)时,有f(1－m)+f(1－m)<0,求m的集合M.

分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=logax(t∈R)，则xat,f(t)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).22a1a1aa(axax)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,20,a1a1u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.

(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m21).又x(1,1)(2)f(x)211m11m2111m2.1mm21四、典型习题导练1.函数

f(x)axb的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0

x的值为（）

yC.1或4C.2

2

2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则A.13、方程loga(x1)xA.04、函数f(x)与g(x)=(

2B.4B.1

x

D.4或8D.3

(）

2(0A.

0,nB.,0C.

0,2

D.

2,0

5、图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图像，已知n可取±2，±

1四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()211111111A.－2，－，，2B．2，，－，－2C.－，－2,2，D.2，，－2,－

2222226.求函数y=log2

2(x－5x+6)的定义域、值域、单调区间.7.若x满足2(log21x)14log4x30,求f(x)=logxx222log22最大值和最小值.

8.已知定义在R上的函数f(x)2xa2x,a为常数（1）如果f(x)＝f(x)，求a的值；

（2）当

f(x)满足（1）时，用单调性定义讨论f(x)的单调性.

基本初等函数综合训练B组

一、选择题

1．若函数

f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为()

A．214B．22C．4D．12

2．若函数yloga(xb)(a0,a1)的图象过两点(1,0)

和(0,1)，则()

A．a2,b2B．a2,b2

C．a2,b1D．a2,b23．已知f(x6)log2x，那么f(8)等于（）

A．43B．8C．18D．12

4．函数ylgx()

A．是偶函数，在区间(,0)上单调递增B．是偶函数，在区间(,0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0,)上单调递增D．是奇函数，在区间(0,)上单调递减

5．已知函数f(x)lg1x1x.若f(a)b.则f(a)（）A．bB．bC．11bD．b

6．函数f(x)logax1在(0,1)上递减，那么f(x)在(1,)上（）

A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值

二、填空题1．若

f(x)2x2xlga是奇函数，则实数a=_________。

2．函数

f(x)log1x22x5的值域是__________.

23．已知log147a,log145b,则用a,b表示log3528。4．设

A1,y,lgxy,B0,x,y,且AB，则x；y。5．计算：

322log325。

ex16．函数y的值域是__________.

xe1三、解答题

1．比较下列各组数值的大小：（1）1.7

2．解方程：（1）9

3．已知

4．已知函数

参考答案

一、选择题

x3.3和0.82.1；（2）3.30.7和3.40.8；（3）

3,log827,log9252231x27（2）6x4x9x

y4x32x3,当其值域为[1,7]时，求x的取值范围。

f(x)loga(aax)(a1)，求f(x)的定义域和值域；

1112321.Alogaa3loga(2a),loga(2a),a32a,a8a,a,a3842.Aloga(b1)0,且logab1,ab2

3.D令x4.B令令u68(x0),x82,f(8)f(x6)log2xlog2216f(x)lgx,f(x)lgxlgxf(x)，即为偶函数

x,x0时，u是x的减函数，即ylgx在区间(,0)上单调递减

1x1xlgf(x).则f(a)f(a)b.5.Bf(x)lg1x1x6．A令ux1，(0,1)是u的递减区间，即a1，(1,)是u的递增区间，即f(x)递增且无最大值。

二、填空题1．

1xxxxf(x)f(x)22lga22lga10x(lga1)(2（另法）：xR，由2.

2x)0,lga10,a110110f(x)f(x)得f(0)0，即lga10,a,2x22x5(x1)244,

而011,log1x22x5log1422222alog14283.log147log145log1435ab,log3528

ablog1435141log14log14(214)1log14271(1log147)2a

log1435log1435log1435log1435ab4.1,1∵0A,y又∵1B,y0,∴lg(xy)0,xy1

51,∴x1,而x1，∴x1,且y1

3215.

5322log32log32532log321515ex11y6.(1,1)y，ex0,1y1ex11y三、解答题1．解：（1）∵1.71.701,0.82.10.801，∴1.73.30.82.1

0.70.80.70.80.80.8（2）∵3.33.3,3.33.4，∴3.33.4（3）log827log23,log925log35,

3.333332log22log222log23,log332log333log35,223∴log925log827.

2x2xxxx2．解：（1）(3)63270,(33)(39)0,而330

3x90,3x32,

x22x4x22x2x（2）()()1,()()10

39332251()x0,则()x,332

xlog23512

3．解：由已知得14x32x37,

xxxx43237(21)(24)0,得x即

xxx43231(21)(22)0xx即021，或224∴x0，或1x2。

xx4．解：aa0,aa,x1，即定义域为(,1)；

ax0,0aaxa,loga(aax)1，即值域为(,1)。

扩展阅读：高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，

N叫做真数．

②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．

N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中

0,N0，那么

MlogaNloga(MN)

M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)

④

alogaNN

nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)

logba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a1yx10a1yx1ylogaxylogax图象O(1,0)O(1,0)xx定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念

设函数果对于

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如

y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子

x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯

上改写成

yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

一、选择题：1．

log89的值是log23A．

（）

23B．1C．

32D．2

2．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于

A.

（）C.0

D.

32B.

54123．已知lg2=a，lg3=b，则

lg12等于lg15（）

A．

2ab

1abB．

a2b

1abC．

2ab

1abD．

a2b

1ab4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为

yA．1

B．4

（）C．1或4C．(C．ln5

D．4或-1（）

5.函数y=log1(2x1)的定义域为

2A．(

1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e

1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）

y6.已知f(ex)=x，则f(5)等于

A．e5

7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是

yyyABCD

8．设集合A{x|x10},B{x|log2x0|},则AB等于

A．{x|x1}C．{x|x1}

B．{x|x0}D．{x|x1或x1}

2OxOxOxOx（）

9．函数ylnx1,x(1,)的反函数为（）x1ex1,x(0,)B．yxe1ex1,x(,0)D．yxe1ex1,x(0,)A．yxe1ex1,x(,0)C．yxe1二、填空题：

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