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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-29 07:39:48 | 移动端:高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类

1.根据解析式研究函数性质例1(湖南文)已知函数

πππf(x)12sin2x2sinxcosx.

888求:(I)函数

f(x)的最小正周期;(II)函数f(x)的单调增区间.

【相关高考2】(湖南理)已知函数

1πf(x)cos2x,g(x)1sin2x.

122(I)设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴,求g(x0)的值.(II)求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间.

πy2cos(x)(xR,>0,≤0≤)的图象与y轴相交于点(0,3),且该函数的最小正周

2y2.根据函数性质确定函数解析式例2(江西)如图,函数期为.

(1)求和的值;

3π(2)已知点A,点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0,0,

22πx0,π时,求x0的值.

2【相关高考1】(辽宁)已知函数

3POAxππx,(I)求函数f(x)f(x)sinxsinx2cos2,xR(其中0)

662的值域;(II)若函数3.三角函数求值例3(四川)已知cosα=

yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为

π,求函数yf(x)的单调增区间.21π13,cos(α-β)=,且0(II)若不等式

ππf(x)m2在x,上恒成立,求实数m的取值范围.

42

三角函数易错题解析

例题1已知角的终边上一点的坐标为(sin22),则角的最小值为()。,cos3352511A、B、C、D、

63362例题2A,B,C是ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根,则ABC是()

A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形

例题3已知方程x24ax3a10(a为大于1的常数)的两根为tan,tan,且、,,则tan222的值是_________________.例题4函数

f(x)asinxb的最大值为3,最小值为2,则a______,b_______。

sinxcosx的值域为______________。

1sinxcosx例题5函数f(x)=

2

例题6若2sinα

sin23sin,则sin2sin2的取值范围是

例题7已知

例题8求函数

例题9已知函数

,求ycos6sin的最小值及最大值。

f(x)sin2x22cos(x)3的值域

4f(x)sin(x)(0,0≤≤)是R上的偶函数,其图像关于点M(3,0)对称,且在区间[0,42]

上是单调函数,求和的值。

扩展阅读:高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类

1.根据解析式研究函数性质

例1(天津理)已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1,xR.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)在区间

π3π上的最小值和最大值.

8,4【相关高考1】(湖南文)已知函数f(x)12sinx2πππ2sinxcosx.888求:(I)函数f(x)的最小正周期;(II)函数f(x)的单调增区间.

【相关高考2】(湖南理)已知函数f(x)cosx21π,g(x)1sin2x.212(I)设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴,求g(x0)的值.(II)求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间.2.根据函数性质确定函数解析式

0≤≤例2(江西)如图,函数y2cos(x)(xR,>0,期为.

(1)求和的值;(2)已知点Aπ2)的图象与y轴相交于点(0,3),且该函数的最小正周

yπ,0,点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当2π时,求x0的值.,π23OAPxy032,x0【相关高考1】(辽宁)已知函数f(x)sinxππ2x,(I)求函数f(x)sinx2cos,xR(其中0)662π2,求函数yf(x)的单调增区间.

的值域;(II)(文)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为

(理)若对任意的aR,函数yf(x),x(a,aπ]的图象与直线y1有且仅有两个不同的交点,试确定的值(不必证明),并求函数yf(x),xR的单调增区间.【相关高考2】(全国Ⅱ)在△ABC中,已知内角A,边BC23.设内角Bx,周长为y.

(1)求函数yf(x)的解析式和定义域;(2)求函数yf(x)的最大值.3.三角函数求值例3(四川)已知cosα=

17,cos(α-β)=

1314,且0【相关高考2】(重庆理)设f(x)=6cos求tan

2x3sin2x(1)求f(x)的最大值及最小正周期;(2)若锐角满足f()323,

45的值.

4.三角形中的函数求值

例4(全国Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2bsinA.

(Ⅰ)求B的大小;(文)(Ⅱ)若a33,c5,求b.(理)(Ⅱ)求cosAsinC的取值范围.【相关高考1】(天津文)在△ABC中,已知AC2,BC3,cosA45.

(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin2B的值.614,tanB【相关高考2】(福建)在△ABC中,tanA35.(Ⅰ)求角C的大小;文(Ⅱ)若AB边的长为17,求BC边的长.理(Ⅱ)若△ABC最大边的边长为17,求最小边的边长.5.三角与平面向量

△ABC36例5(湖北理)已知的面积为,且满足0≤ABAC≤,设AB和AC的夹角为.(I)求的取值范围;

(II)求函数f()2sin2π43cos2的最大值与最小值.

【相关高考1】(陕西)设函数fxab,

其中向量a(m,cos2x),b(1sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点,2,

4(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

(文)(1)若ABAC0,求c的值;(理)若∠A为钝角,求c的取值范围;(2)若c5,求sin∠A的值.

6三角函数中的实际应用

例6(山东理)如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于

甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?

【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D.现测得

BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.

北120B2A2B1

7.三角函数与不等式

105A1乙

甲例7(湖北文)已知函数f(x)2sin2πx4ππ3cos2x,x,.(I)求f(x)的最大值和最小值;

42(II)若不等式f(x)m2在x8.三角函数与极值

例8(安徽文)设函数fxcos2ππ上恒成立,求实数m的取值范围.

4,2x4tsinx2cosx24tt3t4,xR

32其中t≤1,将fx的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

三角函数易错题解析

例题1已知角的终边上一点的坐标为(sinA、

23,cos236

),则角的最小值为()。

56B、

23C、

53D、

11例题2A,B,C是ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x25x10的两个实数根,则ABC是()

A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形

例题3已知方程x4ax3a10(a为大于1的常数)的两根为tan,tan,

2且、2,的值是_________________.,则tan22例题4函数f(x)asinxb的最大值为3,最小值为2,则a______,b_______。

例题5函数f(x)=

2

sinxcosx1sinxcosx2的值域为______________。

22例题6若2sinαsin3sin,则sinsin的取值范围是

例题7已知,求ycos6sin的最小值及最大值。例题8求函数f(x)2tanx1tanx2的最小正周期。

例题9求函数f(x)sin2x22cos(4x)3的值域

34例题10已知函数f(x)sin(x)(0,0≤≤)是R上的偶函数,其图像关于点M(上是单调函数,求和的值。

,0)对称,且在区间[0,

2]

201*三角函数集及三角形高考题

b5,B41.(201*年北京高考9)在ABC中,若

,sinA13,则a.

2A,B,Ca,b,cABCacosAbsinBsinAcosAcosB2.(201*年浙江高考5).在中,角所对的边分.若,则11(A)-2(B)2(C)-1(D)1

3.(201*年全国卷1高考7)设函数重合,则的最小值等于

f(x)cosx(0),将yf(x)的图像向右平移3个单位长度后,所得的图像与原图像

1(A)3(B)3(C)6(D)9

5.(201*年江西高考14)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若则y=_______.

p4,y是角终边上一点,且

sin255,

f(x)sin(2x),其中为实数,若

6.(201*年安徽高考9)已知函数

f(x)f(6)对xR恒成立,且

f(2)f(),

f(x)的单调递增区间是

k,k36(A)(kZ)k,k2(B)(kZ)(kZ)

2k,kk,k(kZ)263(C)(D)2227.(201*四川高考8)在△ABC中,sinAsinBsinCsinBsinC,则A的取值范围是

(0,(A)

6]

(B)6[,)(0,(C)

3]

(D)3[,)

f(x)4cosxsin(x1.(201*年北京高考17)已知函数

6)1.

6,4f(x)f(x)上的最大值和最小值。(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在区间cosA2cosC3.(201*年山东高考17)在ABC中,内角

A,B,C的对边分别为

a,b,c,已知

cosB2cab,

sinC(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)若

cosB14,b2,求ABC的面积S。

5.(201*年全国卷高考18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

A75,b2,求a,c(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若.

0A,B,Ca,b,c6.(201*年湖南高考17)在ABC中,角所对的边分别为且满足csinAacosC.(I)求角C的大小;(II)求

3sinAcos(B4的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.

)f(x)2sin(7.(201*年广东高考16)已知函数

13x6,xR.

)f((1)求

54)106,0,f(3)f(32)2,213,5,求cos()的值.的值;(2)设

f(x)sin(x74)cos(x45,34)8.(201*年广东高考18)已知函数(Ⅰ)求

f(x),xR.

45,

0cos()cos()2.求证:[f()]20.

2的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知

9.(201*年江苏高考17)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为

a,b,c,b3csin(A(1)若

6)2cosA,求A的值;(2)若

cosA13,求sinC的值.

b10.(201*高考)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=求B。

2a。(I)求a;(II)若c2=b2+3a2,

11.(201*年湖北高考17)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知(I)求ABC的周长;(II)求

a1,b2,cosC14

cos(AC)的值。

cos2C12.(201*年浙江高考18)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知(I)求sinC的值;(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.201*三角函数集及三角形高考题答案

14

1.(201*年北京高考9)在ABC中,若

b5,B4,sinA13,则a.

a52【答案】

a【解析】:由正弦定理得sinA3bsinB又

b5,B4,sinA115sin4,a523

23所以32.(201*年浙江高考5).在ABC中,角

A,B,C所对的边分

a,b,c.若acosAbsinB,则sinAcosAcosB

11(A)-2(B)2(C)-1(D)1【答案】D【解析】∵acosAbsinB,∴sinAcosAsin∴sinAcosAcos22B,

Bsin2BcosB1.

3.(201*年全国卷1高考7)设函数重合,则的最小值等于

f(x)cosx(0),将yf(x)的图像向右平移3个单位长度后,所得的图像与原图像

1(A)3(B)3(C)6(D)9

【解析】由题意将

yf(x)的图像向右平移3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了3是此函数周期的整数倍,得

2k3(kZ)6,解得6k,又0,令k1,得min.

4.(201*全国卷),设函数

(A)y=在单调递增,其图像关于直线对称(B)y=在单调递增,其图像关于直线对称

ππππ(C)y=f(x)在(0,2)单调递减,其图像关于直线x=4对称(D)y=f(x)在(0,2)单调递减,其图像关于直线x=2对称

解析:解法一:f(x)=

ππ2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x)在(0,2)单调递减,其图像关于直线x=2对称。故选D。

255,

5.(201*年江西高考14)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若则y=_______.

p4,y是角终边上一点,且

sin答案:8.解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限角。

sin对边y2255斜边=16yy8

f(x)f(6.(201*年湖南高考9)【解析】若

6)对xR恒成立,则

f(6)sin(3)1,所以3k2,kZ,

k6,kZ.由

f(2)f()sin()sin(2)sin,(kZ),可知,即

,所以

0(2k1)6,kZ,代入

f(x)sin(2x)f(x)sin(2x,得

6,由

)2k22x62k32,

k得

6xk23,故选C.

bca2227.(201*四川高考8)解析:由sinAsinBsinCsinBsinC得abcbc,即cosA12,∵0A,故

0A2222222bc12,

3,选C.

∴f(x)4cosxsin(x1.【解析】:(Ⅰ)因为

6)14cosx(32sinx12cosx)1[高考资源网KS5U.COM]

3sin2x2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x6所以f(x)的最小正周期为2x)(Ⅱ)因为

6x4,所以62x623.于是,当

62,即x6时,f(x)取得最大值2;当

2x66,即x6时,f(x)取得最小值1.

f(x)Asin(2.(201*年浙江高考18)已知函数

3x),xR,A0,

02.yf(x)的部分图像,如图所示,

P、Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).

(Ⅰ)求

f(x)的最小正周期及的值;(Ⅱ)若点R的坐标为(1,0),

PRQ23,求A的值.

T2.(Ⅰ)解:由题意得,

236P(1,A)在因为

yAsin(3x)的图像上

sin(所以

3)1.又因为

02,所以

6(Ⅱ)解:设点Q的坐标为

2(

x0,A).,由题意可知32x02623,得x04,所以Q(4,A),连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=3,由余弦定理得

cosPRQRPRQPQ2RP.RP2A9A(9A)23.9A222212,解得A2=3。

又A>0,所以A=3。

cosA2cosC2cab,

3.(201*年山东高考17)在ABC中,内角

A,B,C的对边分别为

a,b,c,已知

cosBsinC(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)若

cosB14,b2,求ABC的面积S。cosA2cosC解:(Ⅰ)在ABC中,由

cosB2cab及正弦定理可得,

cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB,

即sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB则sinAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB

sinCsin(AB)2sin(CB),而ABC,则sinCcosA2coCscosB22sAin,即sinA2。另解1:在ABC中,由

c2ab2可得,bcosA2bcosC2ccosBacosB

2bca由余弦定理可得

2cabca222acba222acb2c222,整理可得c2a,由正弦定理可得

sinCsinAca2。

另解2:利用教材习题结论解题,在

ABC中有结论

cosA2cosCabccbosCccb2caoBsCcb,ccoAsacCoc由aBcosBb2caAb可得

oAssinCo即bccosAaBcosBa2ccosBB2bcosC,则c2a,

14由正弦定理可得sinA2。(Ⅱ)由c2a及

cosB,b2可得

4ca2accosB4aaa4a,222222则a1,c2,S

12acsinB12121cosB2154,即

S154。

4.(201*年安徽高考16)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=BC上的高.

3,b=2,12cos(BC)0,求边

解:∵A+B+C=180°,所以B+C=A,又

12cos(B)C0a,∴

12cos(180bsinB得

)A0,即12cosA0cosA,

12,

又0°2(sin45cos30cos45sin30)2(22322212)312.

5.(201*年全国卷高考18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

A75,b2,求a,c.

(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若

0【解析】(I)由正弦定理得ac222acb…由余弦定理得bac2accosB.故

2222cosB22,因此B45246

(II)

sinAsin(3045)226sin30cos45cos30sin45absinAsinB13cbsinCsinB2sin60sin456.……………………………

A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinAacosC.

6.(201*年安徽高考17)在ABC中,角

3sinAcos(B(I)求角C的大小;(II)求解

析:(I)

)4的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.

理得

由正弦定

sinCsinAsinAcosC.因为

0A,所以

sAin从而0.Cs又Cin所C以cos则.3CcosCB0,A.ta4(II)由(I)知4于是

n1,3sinAcos(B4)3sinAcos(A)3sinAcosA2sin(A34,6).,从而当A0A

6A6111262,即A3时,,

2sin(A)6取最大值2.

3sinAcos(B综上所述,

4的最大值为2,此时

13)A3,B5.12

f(x)2sin(7.(201*年广东高考16)已知函数

x6,xR.

)f((1)求

54)106,0,f(3)f(32)2,213,5,求cos()的值.的值;(2)设f(515)2sin()2sin434642(2)

f(316.解:(1)

110)2sin[(3)]2sin232613,

sin即

163,0,f(32)2sin[(32)]2sin()cos2,13,3625,即5,∵cos∴

1sin212131213354sin,

1cos245∴

cos()coscossinsin513451665

34)f(x)sin(x7)cos(x48.(201*年广东高考18)已知函数(Ⅰ)求

f(x),xR.

45,

0cos()的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知f(x)sinxcos74cosxsin74cosxcos345,

cos()342.求证:[f()]20.

2sinxsin(Ⅰ)解析:

2sinx42cosx2sin(x)4,∴f(x)的最

45,两

f(x)min2小正周期T2,最小值.Ⅱ)证明:由已知得

coscossinsin5,

coscossinsin式相加得∴

2coscos02202,∴cos0,则

2.

,∵

[f()]24sin4209.(201*年江苏高考17)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为

a,b,c,b3csin(A(1)若

6)2cosA,求A的值;(2)若

cosA13,求sinC的值.

sin(A解析:(1)

6)2cosA,sinA3cosA,A3

cosA(2)

13,b3c,abc2bccosA8c,a22c

222222c由正弦定理得:sinA

csinC,而

sinA1cosA2223,sinC13。(也可以先推出直角三角形)

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