四边形的小结与复习

四边形的小结与复习

四边形的小结与复习

复习提纲：（通过问题和动手帮助你复习）

（一）动手制作任意三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的纸片，分

别绕着一边的中点、底边的中点、斜边的中点、斜边的中点旋转180度，让学生观察原来的三角形与旋转后的三角形分别组成什么图形？（二）多边形的内角和与外角和1.n边形的内角和等于2.任意多边形的外角和等于3．从一个顶点出发的对角线的条数，这些对角线把n边形分成个三角形。4．n边形的对角线一共条。

(三)几种特殊四边形：（检验对知识的记忆能力和掌握能力）名称定义性质判定（边，角，对角线，对称性）面积平行四边形矩形菱形正方形梯形检测练习1．菱形相邻两边中点连线的长分别为7cm和4cm，则菱形的面积为________．

2．平行四边形有一个角的平分线和一边相交，且把这边分成3cm和5cm两部分，则这平行四边形周长为________．（两种情况）

3．矩形一条长边的中点与另一条长边的两端的连线互相垂直，且周长是36cm，则它的长和宽分别是______和_______，对角线的长是_______．4．正方形的对角线为4cm，它的面积为。

5．菱形的对角线长为6和8，则其周长为，面积为。

6．一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，等腰三角形有二边长为5.6cm和13.2cm，则这个正方形面积为（）．

A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．64cm2

7．直角梯形中，斜腰与底的夹角为60°，若这腰与上底的长都是8cm，则这梯形的周长是（）．

A．24+43B．26+43C．28+43D．32+438、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

(A)等边三角形。(B)平行四边形(C)矩形。(D)等腰梯形。9、下列条件中，能判定四边形为正方形的是（）

(A)对角线相等的平行四边形；(B)对角线相等且互相垂直的四边形；(C)对角线相等且互相垂直的平行四边形；(D)对角线互相平分且互相垂直的四边形；10、用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）

Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个

11．园艺师欲用40cm长的一段绳子，围出一块平行四边形的苗圃，使长边与短边之比为3：2，求长边的长度。

12.小乐和妈妈在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但妈妈拿起来看时，感觉纱巾好像不是正方形，商店老板看她犹豫不定的样子，马上过来拉起一组对角，让妈妈看这一组对角是否对齐，妈妈还有些疑惑，老板又拉起一组对角，让她检验。你认为老板的方法可信吗？你能帮小乐的妈妈检验出纱巾是否为正方形吗？

13．如图，已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD的面积S．14．已知：如图，E、F为ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种证法）．

15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE⊥BO于E，且DE：EB=3：1，OF⊥AB于F，OF=3.6cm，求矩形对角线长．

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

17.已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O，CP∥DB,DP∥AC,CP与DP相交于P点，求证：四边形CODP是菱形

AODPBC

图一图二如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？

扩展阅读：四边形小结复习

[科目]数学[年级]初二[章节]

[关键词]四边形/小结/复习[标题]四边形小结与复习[内容]

教学目标

1．利用基本图形结构使本章内容系统化．

2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．3．总结常用添加辅助线的方法．

4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．教学重点和难点

重点是四边形与特殊四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．难点是提高数学思维能力．教学过程设计

一、按“特殊一般特殊”的认识规律，理解本章基本图形的形成、变化和发展过程

1．本章知识结构图，如图4-107

（1）图4-107（a）中主要要求四边形的内角和及外角和；（2）图4-107（b）中要求n边形内角和及外角和；

（3）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；（4）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；（5）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；

说明：陈老师数学工作室

陈老师，毕业于华中师范大学，获得应用数学和物理双学位。从事数学教学工作10年时间，带过5届初三毕业班，在全国专业数学刊物上发表过40余篇数学论文，武汉市青山区优秀青年教师。现在深圳专注于针对中学数学个性化教学的研究与推广。旨在为更多的学生提供具有专业性、针对性的数学辅导。帮助提高学生学习数学的兴趣，从而提高学习成绩，破解数学学习瓶颈。本资料以及博客所发的资料都是陈老师在日常教学中自己编写的资料，主要是针对学生补习提高使用，同时可供学生在家自学。

开设课程：初一补差班（60分以下）初一提高班（60～80分）初一培优班（80分以上）

初二补差班（60分以下）初二提高班（60～80分）初二培优班（80分以上）初三补差班（60分以下）初三提高班（60～80分）初三培优班（80分以上）小学六年级升学冲刺班小学奥数

上课地址：深圳市福田区红岭中路园岭新村20栋2楼(红岭中学正对面）

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学习榜样：

外国语唐一×从初一上学期期中考试后，数学成绩由班级前十到期末年级前十实验中学宋浩×从初三跟陈老师学，成绩从40多分提高到中考成绩B+实验中学刘博×从初三跟陈老师学，中考成绩A

深圳中学卓×从六年级跟陈老师学，数学重点班前十深圳中学万×数学联赛全国一等奖

碧波中学杨丽×从六年级跟陈老师学，数学成绩一直班级前2名

红岭中学李佳×从初二跟陈老师学，成绩从30多分提高到月考68分红岭中学曹昊×从初三跟陈老师学，中考成绩A+红岭中学康×从初三跟陈老师学，中考成绩A

碧波中学魏依×从初一下学期跟陈老师学现在数学成绩班级前5名红岭中学余志×从初三跟陈老师学，从50多分提高到，中考成绩B+红岭中学李泰×从初三跟陈老师学，中考成绩A红岭中学秦孝×从初三跟陈老师学，中考成绩A

。。。。更多成功案例请点击%D1%A7%D4%B1%BC%F2%BD%E握中心对称及中心对称图形的概念、性质，会判断一个图形是否为中心对称图形，会画一个图形关于某点的对称图形．

2.常用的例习题所对应的基本图形的性质，有利于探求解题．如：（１）顺次连结四边形各边中点得到的图形，如图4-95．

（２）过平行四边形对角线交点的直线交对边或对边的延长线所得对应线段相等（图4-108）．

典型例题分析，总

结解题方法和数学思想方法

１．殊四边形的关系的进一步理解，渗透“集合”的思想．

例１．填出图4-109中各图形的名称，利用“集合”的思想分清各种四边形之间的关系，并做课本第190页

第2题，以巩固各种四边形的判定方法．

２．四边形性质及中位线知识的应用，总结证明两条线段相等和添加辅助线的方法及分析综合法的使用．

例２．如图4-110（a），在梯形ABCD中，AB∥DC,以AD和AC为边作ACED，DC的延长线交EB于

F．求证：EF=FB．分析：

（1）分解基本图形：“ABCD及对角线”，三个梯形．

（2）应用分析综合法探求解题思路，添加辅助线，将EF，FB置于“证明两线段相等”所

对应的基本图形中．

（3）总结目前证明两条线段相等的方法，添设相应辅助线．在上一章总结方法的基础

上，新添的常用方法有：

①特殊四边形的边、对角线的性质；②平行线间的距离相等；

③过三角形一边中点与第二边平行的直线必平分第三边；④过梯形一腰中点与底边平行的直线必平分另一腰．

说明：本题添加辅助线的方法为四大类.

(1)构造三角形中位线或梯形的中位线，如图4-110(b)～(e)；(2)构造全等三角形，如图4-110(f)～(h)；(3)构造等腰三角形，如图4-110(i)；

(4)构造以EB为对角线的平行四边形，如图4-110(j).3.总结梯形中常用辅助线，掌握化归思想.

梯形中添加辅助线常常可以将梯形化归为三角形、平行四边形、矩形、直角梯形等.同时，

还可集中梯形中分散的已知条件，如图4-111(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到还可集中梯形中分散的已知条件，如图4-１１１(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到了一个三角形中.另外注意以下两点：

(1)从图形变换及化归角度理解梯形中常用辅助线的作法及作用.①平移：图4-111(a)，(b)过上底一顶点作腰或一对角线的平行线；②旋转：图4-111(c)，(d)以一腰中点为旋转中心旋转△ADE和△EGC；③对称：图4-111(e)等腰梯形中作底边高.

(2)其他几种作法.

①图4-111(e)一般梯形中，过上底两端点作下底的垂线；②在图4-111(f)中，向上延长两腰构成三角形；③在图4-111(g)中，作梯形的中位线.

例3已知：如图4-112(a)，在梯形ABCD中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ㄥADC=60°，EF是中位线，交BD于M，交AC于N.

(1)求EF，MN的长及S梯形ABCD；

(2)观察MN与梯形上、下底的关系，并思考结论能否推广到一般梯形?分析?本题可选用图4-112(b)，(c)中辅助线的作法，解得EF=23，MN=2，S对一般梯形同样适用.

梯形ABCD

=12，MN=

12(DC-AB).此结论

4.利用变换的思想解题，培养方程、分类讨论的思想，并会用类比联想变更命题.例4矩形一边长为8，另一边长6，将矩形折叠，使两相对顶点重合.求折痕长.分析：

(1)用轴对称的性质理解折叠问题的基本关系.认清对应元素的位置、数量关系，此题中折痕应为矩形ABCD的对角线AC的中垂线EF(如图4-113).

(2)利用方程的思想解决问题.设CE=x,可证折痕EF长等于2OE，先由AE=EC，及勾股定理求出CE=EF=2OE=2CE2254，则

OC2152

(3)学完相似形会有更简捷的计算方法.

例5已知：点M为正方形ABCD的边AB所在直线上任意一点(点B除外)，MNDM与ㄥABC的邻补角的平行线交于N.求证：DM=MN.分析：

(1)由于题目中没有明确给出点M的位置，需对M点在直线AB上的位置进行分类讨论.①点M在线段AB内，如图4-114(a)；

②点M在线段AB的延长线上，如图4-114(b)；③点M在线段BA的延长线上，如图4-114(c)；④点M与A点重合，如图4-114(d).

(2)证明时，结合旋转及对称变换的思想添加辅助线，构造DM，MN所在的两个全等三角形.如图4-114(a)中，将△MBN沿MD方向平移到M与D重合，再将平移后的三角形绕D点顺时针旋转90°，B点落在边DA上P点处，使DP=MB，因此，如下添加辅助线：

在AD上取一点P，使DP=BM，连接PM，证明△DPM△MBN.(3)类比联想，此题的结论对等边三角形是否成立?

M为等边三角形ABC的边BC所在直线上任意一点(C点除外)，作ㄥAMN=60°，射线MN与ㄥACB的邻补角的平分线交于N.求证：AM=MN.(如图4-115)

5.利用运动的思维方法将问题推广.

例6(1)已知：如图4-116(a)，从ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线l作垂线AA′，BB′，CC′DD′，垂足分别为A′，B′C′，D′，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.

(2)将直线l平移运动，会出现几种不同位置?猜想：AA′，BB′CC′，DD′的数量关系会怎样变化?并进行证明.

分析：

(1)分解基本图形为平行四边形和直角梯形.从结论考虑，从形式上联想到梯形中位线定理，连结AC，BD交于O，并作OO′l′与O′.

(2)总结证明线段和差、倍、分关系的常用方法.

(3)直线l向上平移运动，与ABCD的位置关系还会出现两种情况，如图4-116(b)，(c).

(4)对于推广后的两种情况，可通过添加辅助线化归为利用图4-116(a)中结果，也可类比原题(a)中的方法，再次证明：

图4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；图4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜.三、师生共同小结1.基本方法.

(1)利用基本图形结构使知识系统化；

(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；

(3)利用变换思想添加辅助线的方法；(4)探求解题思路时的分析、综合法.2.基本思想及观点：

(1)“特殊一般特殊”认识事物的方法；(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3)用类比、运动的思维方法推广命题.四、作业

从课本第190页复习题四中选取.补充题：

1.已知：如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD于G，过G作FGCB交AB于F.求证：AE=BF.

2.如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，ㄥAOD=60°.求证：△EFG是等边三角形.

3.已知：如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：MN=12(AB-CD).

4.已知：梯形ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥA，ㄥD的平分线都与BC相交，且两交点把BC三等分.若梯形周长为57cm.求梯形中位线长.(答：

332cm或

20910cm)

5.(1)如图4-120，P为正方形，ABCD内一点，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥAPB的度数；(答：135°)(2)已知：如图4-121正方形ABCD内点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为26.求此正方形的边长；(答：2)

(提示：(1)将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△CQB，将分散的三条线段PA，PB，PC集中到一起，连结PQ，在△PBQ和△PQC中计算角度.(2)如图4-121，用旋转的方法，把△ABE绕B点旋转60°，得到△FBG，可证△BEG为等边三角形.并将EA+EB+EC转化为FG+GE+EC，从而找到最小值为FC的长，利用列方程的方法求得边长为2.)

6.如图4-122，ABCD是矩

形纸片，E为AB上一点，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F.问AB，BC的长各是多少?(答：2430)

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