第十九章《四边形》小结与复习

第十九章《四边形》小结与复习

第十九章《四边形》小结与复习201*.5

一、四边形知识结构图平行四边形四边形正方形矩形菱形等腰梯形梯形直角梯形性质：判定方法：1）两组对边分别平行。

2）两组对边分别相等。3）一组对边平行且相等。4）两条对角线互相平分。5）两组对角分别相等。1）有三个角是直角的四边形。2）是平行四边形，并且有一个角是直角。3）是平行四边形，并且两条对角线相等。

1）对边平行且相等。2）对角相等。3）两条对角线互相平分。4）中心对称。1）对边平行且相等。2）四个角都是直角。3）两条对角线互相平分且相等。4）轴对称和中心对称。1）对边平行，四条边都相等。2）对角相等。3）两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。4）轴对称和中心对称。1）对边平行，四条边都相等。2）四个角都是直角。3）两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。4）轴对称和中心对称。

1）两底并行，两腰相等。2）同一底上的两个角相等。3）两条对角线相等。4）轴对称。

1）四条边都相等的四边形。

2）是平行四边形，并且有一组邻边相等。3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。

1）是矩形，并且有一组邻边相等。2）是菱形，并且有一个角是直角。3）是平行四边形，并且有一组邻边相等和有一个角是直角。

1）是梯形，并且同一底上的两个角相等。2）是梯形，并且两条对角线相等。二、典型例题讲解

例１已知:如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF

ＡAE于F，若AE＝BC，求证:CE＝FE.

分析：从求证入手，要证CE＝FE，由已知AE＝BC可知，只要证AF＝BE即可，而AF、BE分别在△AFD、△EBA中，即要证明△AFD≌△EBA.

Ｂ

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝AE，B＝900，AD∥BC。∴

DAE＝AEB。

又∵DFAE于F，∴AFD＝900＝B。

∴△AFD≌△EBA.∴AF＝BE,∵AE=BC∴AE-AF=BC-BE即CE＝FE

例２已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证：AF＝1/2FC。证明1:过点D作DG∥AC交BF于点G。∴∠GDE＝∠FAE。∵E是AD的中点。∴DE＝AE。又∵∠GED＝∠FEA。∴△DEG≌△AEF∴DG＝AF。∵DG∥AC，BD＝DC。∴BG＝GF。∴DG是△BCF的中线。∴DG＝1/2FC。∴AF＝1/2FC。

证明2：过点D作DH∥BF交AC于点H。∵AD是△ABC的中线。∴D是BC的中点。∴CH＝HF＝1/2CF。∵E是AD的中点，EF∥DH。∴AF＝FH。∴AF＝1/2FC。

EGHＤ

ＦＥＣ

AFBDC

A三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。DE∥BC，DE＝1/2BC

BADFC

DEC

梯形中位线定理梯形的中位线定理平行于两底，并且

E等于两底和的一半。EF∥AD∥BC，

EF＝1/2(AD+BC)

．

B三、课堂练习：

一、判断题：1两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.2两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形.3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.4）两条对角线相等的菱形是正方形.

5）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形.

6）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形.

二、填空题：

已知平行四边形ABCD中，∠(1)A∶∠B＝1∶2，则∠C＝°，∠D＝°。(2)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是。

(3)梯形的高为6,面积为42,则梯形的中位线的长是。(4)梯形的上底长为6cm,中位线长为8cm,则下底长为。

三、选择题：

(1)菱形ABCD的周长为20cm，∠ABC＝120°,

则对角线BD等于（）

（A）4cm（B）6cm（C）5cm（D）10cm

(2)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

(A)等腰三角形(B)矩形(C)平行四边形(D)等腰梯形

(3)矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

（A）对角线相等（B）对角线互相平分

（C）对角线平分一组对角（D）对角线互相垂直

四、小结：

1)要求掌握各种特殊四边形的概念、性质和判定定理，知道这些图形之间的联系与区别，并

能运用有关知识进行证明和计算。

2）做题时，常常需要添加辅助线，灵活地添加辅助线可以把问题简化，应注意在这方面进行

积累。

3）随着知识的丰富，解决问题的方法增多了，当遇到一个问题有多种解法时，要注意选取简

单的解法。

A、三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一

B、三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一.C、三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一.归纳小结：

1.相似三角形面积之比等于相似比的平方；2.等底或同底的两个三角形面积之比等于高之比；3.等高或同高的两个三角形面积之比等于底之比.同步练习1.线段AB的重心是（）

A.线段的中点B.线段的垂直平分线C.A点D.B点

知识点：线段的重心知识点的描述：线段的重心是线段的中点．答：A1.用手指顶住一块均匀的木条使之水平，手指应放在（）

A.木条的中点B.木条的垂直平分线C.木条的一端D.木条上的任意点解：线段的重心是线段的中点,因此应该顶住木条的中点才能使之水平答：A2.一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分，这条直线一定经过（）A.对角线ACB.对角线BDC.一个顶点D.对角线的交点

知识点：平行四边形的重心知识点的描述：平行四边形的重心是它的两条对轴线的交点．解：对角线的交点是平行四边形的对称中心，所以过对角线的交点的任何直线都把平行四边形分成面积相等的两部分答：D

2.如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，若AD=6，AB=5，OE=2，则四边形ABEF的周长是（）

A、16B、14C、15D、无法确定解：证明△AOF≌△COE∴AF=CE,OF=OE=2,∴四边形ABEF的周长是

AB+BE+EF+AF=5+AD+4=6+5+4=15答：C3.三角形的重心是（）

A.三条中线的交点，B.三条中垂线的交点C.三条角平分线的交点D.三条高线的交点

知识点：三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心．3.O为三角形的重心，则下列等式一定成立的是（）

A.AO=BO=COB.GO=NO=MOC.AO=OMD.BO=2ON

证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，GK．

1BC．21又∵K，H分别是OB，OC边的中点，∴KH//BC．

2∵G，N分别是AB，AC的中点，∴GN//∴GN//KH∴四边形KHNG是平行四边形，∴GO=OH，NO=KO．而BK=KO，CH=HO，∴BO=2ON，CO=2OG．答案：D

注：若取AO的中点R，同理，可证AO=2OM．故AO=2OM．如图，已知三角形ABC中，BD,CE分别是边AC，AB上的中线，BD,CE交于点O。求证：（1）OB=2OD

（2）OC=2OEo（3）连接AO，并延长BC交于点F，求证BF=CF。

扩展阅读：《四边形小结与复习》(1)说课稿

《四边形小结与复习》(1)说课稿

郧县城关一中熊勇

各位老师：

我说课的内容是第十九章《四边形》小结与复习的第1课时，我设计的说课分以下五个环节：

一、教材分析

四边形这一章重点是探索特殊平行四边形及等腰梯形的有关性质和判定方法，并利用它们对相关内容进行推理证明，从中发展学生的逻辑思维能力。因此，在小结与复习时，要凸现图形之间的相互变化过程，提升学生对图形变换思想方法的理解，为学好今后几何知识打实的基础。

二、学情分析

经过本章新课的学习，我们班大多数学生已经掌握了特殊平行四边形和梯形的基础知识，已具备对简单图形的识别判断和说理论证。但还有近一半学生对稍复杂图形的分析、转换能力还较薄弱，对猜想等求异思维比较欠缺，班级学生之间存在着较大的个体差异。

因此，通过本节课的复习，力争达到以下教学目标：

1、让学生进一步明确平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形相互间的关系。2、合理地运用图形的特征与性质，总结、归纳常见结论及解题规律。

根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定本节课的教学重、难点为：

3、教学重点：加深学生对图形变换的理解，恰当运用特殊四边形的主要特征，探究论证图形的有关结论。

4、教学难点：几何图形辅助线的添加方法，常见几何模型的归类与总结。

三、教学方法

依据生本理念，结合复习课的特点，改变满堂灌的做法，借助幻灯片展示问题、习题，采用“问题引领学生尝试练习教师点拨学生合作归纳”的课堂模式，给学生足够的思维时间和空间，培养学生自主学习能力。

四、教学过程：(分七个环节复习巩固4类知识模型)（一）布置前置性作业：小结四边形知识结构1、按照《导学练案》P91要求：（1）画出本章知识结构图。

（2）填表完成特殊平行四边形的定义、性质、判定方法。2、上课时，学生相互检查完成情况，教师强调：

（1）特殊平行四边形的性质、判定方法应该按边、角、对角线三个方面进行归类总结；（2）不要漏掉“两组对角相等的四边形是平行四边形”、“菱形对角线平分每组对角”这些不太常见的结论。

（3）判断一个四边形是梯形时，不能只判断有一组对边平行即可。（4）不能将梯形性质定理错误说成“梯形的两底角相等”。

练习一:(幻灯片)1、在图中圆圈内填写出四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的适当位置。（问：左图的的两个小圆圈有公共部分而右图的的两个小圆圈没有？）

2、在知识结构图中每个箭头上填写出平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的判定方法（从边角关系、对角线两个不同方面去添加条件）。3、在下面6个条件中，选择其中两个,能判断四边形ABCD是平行四边形的有几种?

AB（1）AB=CD(2)BC=AD(3)AB∥CD

(4)BC∥AD(5)∠A=∠C(6)∠B=∠DDC4、矩形、菱形、正方形都具有的性质是，正方形具有而菱形不具有的性质是。

（二）思考：菱形、梯形面积各有哪些计算方法？

S菱形=S平行四边形=底×高，S菱形=两对角线乘积的一半。S梯形=1（上底+下底）×高,S梯形=中位线×高

2练习二:(幻灯片)

1、若正方形对角线长是3，面积是；

2、若菱形的对角线长是6和8，相对两边的距离是；3、梯形的高为6,面积为42,则梯形的中位线的长是。推广：1、对角线垂直的四边形的面积=两对角线乘积的一半

2、三角形的面积=中位线与对应高的乘积。

11注意：对面积不同计算公式的理解，弄清啥时候有，啥时候没有？

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（三）中点四边形（课本P117的活动3）

依次连接任意四边形各边中点所成的四边形通常叫“中点四边形”，HD问：中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？有怎样的关系？AG练习三E如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是四边的中点，则

CBF（１）四边形ＥＦＧＨ是；

（２）当四边形ＡＢＣＤ满足条件时，四边形ＥＦＧＨ是矩形；满足条件时，四边形ＥＦＧＨ是菱形；满足条件时，四边形ＥＦＧＨ是正方形。

规律：

中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系；

若原四边形的两条对角线没有特殊关系，则中点四边形是平行四边形；若原四边形的两条对角线相等，则中点四边形是菱形；若原四边形的两条对角线垂直，则中点四边形是矩形；若原四边形的两条对角线垂直且相等，则中点四边形是正方形。

（四）动点问题的有关计算：

1、求不变的值，通常选动点在特殊位置进行计算。2、求变化值中的最小值，常用轴对称思想确定最佳位置

练习四1、正方形ABCD边长为1，E是AD上任一点，练习四EF∥AC,EG∥BD,则EF+EG=

DEADEAGBAB(G)FCGBD(E、F）CFCAD

2、正方形ABCD的边长为2，点E在AB上,EFGH是正方形,求三角形AFC的面积FGBECD2F(E)ADA22GBCB(E、F、G）C（特殊位置1：E与A点重合时）（特殊位置2：E点与B点重合时）

(点E在AD中点处)(点E与D点重合)

3．菱形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝２，∠ＤＡＢ＝６０°，Ｅ是ＡＢ中点，Ｐ是ＡＣ上任一点，则ＰＥ＋ＰＢ的最小值是＿＿＿；

ＡＥ

ＤＰ

（五）鼓励学生小结

本节课，我有哪些收获？，印象最深的是什么？还有哪些困惑？

（六）布置作业

《导学练案》P92-93的10道选择题和填空题。

（七）板书设计四边形小结与复习（1）主要结论或规律一、四边形知识结构图二、菱形、梯形面积三、中点四边形四、动点问题

五．预期效果

本课是以“生本教育”为基本理念，采用我县正在大力推广的“三维互动，五步导学”教学法，通过师生多维互动，给学生充分探索的时间和空间，动脑思考，动手尝试，使学生进一步明确平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形相互间的关系，并合理地运用图形的特征与性质，总结、归纳常见结论及解题规律。教师要给予正确评价和鼓励，使不同程度的学生都能体验到数学学习的乐趣。

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典型例题学生练习

DEADEAGBFCGFCBD(E、F）CAB(G)E点在ADE点与D点重

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E点与D点重合

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