高中数学易错点与应试技巧总结：函数1
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函数
一．映射f:AB的概念。在理解映射概念时要注意：
㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）设f:MN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合
（答：A）；
（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________
（答：（2，－1））；
（3）若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个
（答：81,64,81）；
（4）设集合M{1,0,1},N{1,2,3,4,5}，映射f:MN满足条件“对任意的
xM，xf(x)是奇数”，这样的映射f有____个
（答：12）；
2（5）设f:xx是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则AB一定是_____
（答：或{1}）.
二．函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图
像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：
（1）已知函数f(x)，xF，那么集合{(x,y)|yf(x),xF}{(x,y)|x1}中所含元素的个数有个
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（答：0或1）；
（2）若函数y12x22x4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝（答：2）
三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和
对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为yx，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个
（答：9）
四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中x0,a0且a1，三角形中0A,最大角x4xlgx3223，最小角3等。如
（1）函数y的定义域是____
(答：(0,2)(2,3)(3,4))；
（2）若函数ykx7kx4kx32的定义域为R，则k_______
3)；4(答：0,（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是__________
(答：[a,a])；
（4）设函数f(x)lg(ax2x1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围
（答：①a1；②0a1）
2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。
3．复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由
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不等式ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。如
1（1）若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log22x)的定义域为__________
（答：x|22x4）；
（2）若函数f(x1)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的定义域为________
（答：[1,5]）．
五．求函数值域（最值）的方法：
1．配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数yx2x5,x[1,2]的值域
（答：[4,8]）；
（2）当x(0,2]时，函数f(x)ax值范围是___
（答：a（3）已知f(x)3值域为______
（答：[2,5]）
2．换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）y2sinx3cosx1的值域为_____
（答：[4,（2）y2x1x1的值域为_____
178]）；
2224(a1)x3在x2时取得最大值，则a的取
122）；
xb(2x4)的图象过点（2,1），则F(x)[f1(x)]f21(x)的
（答：(3,)）
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（3）ysinxcosxsinxcosx的值域为____
（答：[1,（4）yx49x2122]）；
的值域为____
（答：[1,324]）；
3．函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数y2sin11sin，y3xx13，y2sin11cos的值域
132,]（答：(,]、（0,1）、(2）；
4．单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如
求yx1x(1x9)，ysinx291sinx2，y2x5log3809x1的值域112,9]、[2,10]）；
（答：(0,)、[5．数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如
（1）已知点P(x,y)在圆xy1上，求
22yx2及y2x的取值范围
3333（答：[,]、[5,5]）；
（2）求函数y(x2)2(x8)的值域
2（答：[10,)）；
（3）求函数y域
（答：[43,)、(26,26)）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。
6．判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不
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x6x132x4x5及y2x6x132x4x5的值高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家
等式：①y求ybkx32x22型，可直接用不等式性质，如的值域
（答：(0,]）
23②ybxxmxnx1x22型，先化简，再用均值不等式，如的值域
（答：(,]）；
2x2x3（1）求y1（2）求函数y的值域
1（答：[0,]）
2xmxnxmxn22③y型，通常用判别式法；如
已知函数ylog3mx8xnx122的定义域为R，值域为[0，2]，求常数m,n的值
（答：mn5）
④yxmxnmxn2型，可用判别式法或均值不等式法，如
求yxx1x12的值域
（答：(,3][1,)）
7．不等式法利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如
设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则
(a1a2)b1b22的取值范围是__.
（答：(,0][4,)）。
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8．导数法一般适用于高次多项式函数，如
求函数f(x)2x4x40x，x[3,3]的最小值。
（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示
对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
2(x1).(x1)（1）设函数f(x)，则使得f(x)1的自变量x的取值范围是__
4x1.(x1)32（答：(,2][0,10]）；
(x0)1 (x0)1 （2）已知f(x)，则不等式x(x2)f(x2)5的解集_____
32（答：(,]）
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扩展阅读：高中数学易错点与应试技巧总结：函数3
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函数
十二．函数的对称性。
1．满足条件fxafbx的函数的图象关于直线x已知二次函数f(x)ax等根，则f(x)＝_____
(答：12xx)
22ab2对称。如
bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有
2．点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为
yfx；
3．点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为
yfx；
4．点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为
yfx；
5．点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)
)关于直线yx的对称点为(y,x)；0；点(x,y曲线f(x,y)0关于直线yx的对
称曲线的方程为f(y,x)0。如
己知函数f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的图像是C1,它关于直线yx对称图
像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________
（答：yx22x1）
6．曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数yxx与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______
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（答：x7x6）
7．形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd(由分
cxdc2母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(d,a)。如
ccc已知函数图象C与C:y(xa1)axa1关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______
（答：2）
8．|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如
（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；
（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称
（答：y轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如
（1）已知函数f(x)心对称图形；
（2）设曲线C的方程是yxx,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程
（答：y(xt)(xt)s）；②证明曲线C与C1关于点A十三．函数的周期性
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32x1aax(aR)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,1)成中
3ts对称。22,高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家
1．类比“三角函数图像”得：
①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；
②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；
③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数
yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；
如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
2．由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；
1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；
③若f(xa)(a0)恒成立，则T2a.
如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____
(答：0.5)
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为________
_(答：f(sin)f(cos))
（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函数，求f(201*)的值
(答：993)
（4）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又
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f222，则f201*=222(答：十四．指数式、对数式：
amn)
nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，
abnaNlogaNb(a0,a1,N0)logambn，alogaNN，
logablogcblogca，
nmlogab。如
（1）log225log34log59的值为________
(答：8)
（2）()21log28的值为________
(答：
164)
十五．指数、对数值的大小比较：
（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题——认真读题，确切理解题意，
明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模——通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模——求解所得的数学问题；④回归——将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立yaxbx型。
十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件
（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：
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①正比例函数型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；
xf(x)f(y)②幂函数型：f(x)x--------------f(xy)f(x)f(y)，f()y2；
③指数函数型：f(x)a------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)xf(x)f(y)；
④对数函数型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；
yx⑤三角函数型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)。
如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
f(T2)____
（答：0）
2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数f(x)(xN)表示x除以3的余数，则对任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)
（答：A）；
（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果
f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)
（答：1）；
（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，证明：直线x1是函数
f(x)图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且当x2时，f(x)单调递增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值的符号是____
（答：负数）
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3．利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如
（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：偶函数）；
（3）已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________
（答：(x2,1)(0,1)(2,3)）；
（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1时，
y1f(x)0，又f()1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)f(5x)2.
2（答：0,14,5）
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