高中数学易错知识点汇总

高中数学易错知识点汇总

高中数学易错知识点汇总

为了帮助同学们复习，减少不必要的丢分，苏州中学网特意总结了这一高中数学易错知识点。总结了高中数学常见的错误，供同学们参考。

1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A时，易忽略A是空集Φ的情况。2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。

3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称,优先考虑定义域对称。

4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。

5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。

6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。

7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。

8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。

10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示,而应用逗号连接多个区间。

11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。12．已知Sn求an时,易忽略n＝1的情况。

13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时,易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。

14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。

15．用到角公式时，易将直线L1、L2的斜率ｋ1、ｋ2的顺序弄颠倒；使用到角公式或者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是两直线垂直。

16．在做应用题时,运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值

范围；在填写填空题中的应用题的答案时,不要忘了单位。应用题往往对答案的数值有特殊要求，如许多时候答案必须是正整数。

17．在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明,进行总结”。18．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明，如使用函数y=x+1的单调性求某一区间的最值时，应先

x证明函数y=x+1的单调性。

x19．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示。

20．两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即A＞B＞0，0

线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大，正确的判定方法是：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

31．函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：（1）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y＝2x+4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2（x＋2）+4－3。即y=2x+5。

（2）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”；如直线2x－y+4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x＋2)-(y＋3)+4=0。即y=2x+5。

（3）点的平移公式：点P(x,y)按向量=(h，k)平移到点P’(x’，y’)，则x’＝x+h，

y’＝y+k。

32．椭圆、双曲线A、B、ｃ之间的关系易记混。对于椭圆应是A2－B2＝ｃ2

，对于双曲线应是A2＋B2＝ｃ2。

33．“属于关系”与“包含关系”的符号易用混，元素与集合的关系用a∈A，集合与集合的关系用AB。

34．“点A在直线A上”与“直线A在平面α上”的符号易用混，如：A∈A，Aα.

35．椭圆和双曲线的焦点在ｘ轴上与焦点在ｙ轴上的焦半径公式易记混；椭圆和双曲线的焦半径公式易记混。它们都可以用其第二定义推导，建议不要死记硬背，用的时候再根据定义推导。

36．两个向量平行与与两条直线平行易混,两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合,两条直线平行不包含两条直线重合。

37．各种角的范围：

两条异面直线所成的角0°

两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°

扩展阅读：高中数学知识点汇总(易错、易混、易忘)

★育英辅导班内部资料★

高中数学易错易混易忘题分类汇编

“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设

Ax|x28x150，Bx|ax10，若ABB，求实数a组成的集

合的子集有多少个？

【易错点分析】此题由条件

ABB易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易

忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得A3,5，由ABB知BA故（Ⅰ）当B时，即方程ax10无

11或。35解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B时，即方程ax10的解为3或5，代入得a综上满足条件的a组成的集合为0,11,，故其子集共有238个。35Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡ将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．

（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：

Ax,y|x2y24，

2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范围。将集合所表达

的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练1】已知集合

Ax|x24x0、Bx|x22a1xa210，若BA，

1或a1。

则实数a的取值范围是。答案：a【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2、已知

x22y21,求x2y2的取值范围4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、

y满足

x22y21这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。4-1-

★育英辅导班内部资料★

解析：由于

x22y2y221得(x+2)=1-442

2

≤1，∴-3≤x≤-1从而x+y=-3x-16x-12=

222

+

283因此当x=-1时x+y有最小值1,当x=-

82822

时，x+y有最大值33。故x+y的取值范围是[1,

22

283]

【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件x22y21对4x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，2转化为三角最值求解。y2。此外本题还可通过三角换元【练2】（05（）

x2y221b0上变化，则x22y的最大值为高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线

4bb2b2b240b440b24（D）2b（A）4（B）4（C）42bb42bb2答案：A

【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。

例3、

a2x11fx是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数fxx12【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用

fxfx0（或f00）求得a=1.

2x11yxxfxx，设yfx,则21y1y由于y1故2，

211y1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1fxx2121（2）由a1即

1y1yxlog2，而

【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。（2）应用

f1(b)af(a)b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和

函数值要互换。

【练3】（201*全国理）函数A、C、

fxx11x1的反函数是（）

yx22x2x1B、yx22x2x1yx22xx1D、yx22xx1

-2-

★育英辅导班内部资料★

答案：B

【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、已知函数称，则A、gfx12x1，函数ygx的图像与yfx1的图象关于直线yx对

1xygx的解析式为（）

x32x2x1x3B、gxC、gxD、gxx1x2x2x【易错点分析】解答本题时易由

ygx与yf1x1互为反函数，而认为yf1x1的

=

=反函数是

yfx1fx则

ygxfx112x11x132x而错选A。x解析：由

1x12x12x1x11得fx从而yfx1再求1x2x211x2x。正确答案：B1xyf1x1的反函数得gx【知识点分类点拔】函数

yf1x1与函数yfx1并不互为反函数，他只是表示f1xyfx1则f1yx1，

中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设

1y互换即得yfx1的反函数为yfx1，故yfxxf1y1再将x、1的

反函数不是

yf1x1，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。

-1-1

【练4】（201*高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f(x)，则函数y=f(1-x)的图象是（）

答案：B

【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例5、判断函数

f(x)lg1x2x22的奇偶性。

-3-

★育英辅导班内部资料★

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：

f(x)lg1x2x22fx从

而得出函数

fx为非奇非偶函数的错误结论。

21x0解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为1,00,1定义域关于原点对称，

x22在定义域下

fxlg1x2x易证

fxfx即函数为奇函数。

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数

fx具有奇偶性，则fxfx或fxfx是对定义域内x的恒等式。常

常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断下列函数的奇偶性：

①

fx4x2x24②fxx11sinxcosx1x③fx1sinxcosx1x

答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。

例6、函数

fxlog22x22x11111证明fx是奇函数且在x或x的反函数为fx，

22其定义域上是增函数。

【思维分析】可求只需研究原函数

f1x的表达式，再证明。若注意到f1x与fx具有相同的单调性和奇偶性，

fx的单调性和奇偶性即可。

2x12x1解析：

fxlog2log22x12x1log22x12x1fx，故fx为奇函数从而f1x为

奇函数。又令t2x1211t1在,和,上均为增函数且ylog2为增函数，

2x12x122故

11fx在,和,上分别为增函数。故f1x分别在0,和,0上分别为

22增函数。

【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即

f1(b)af(a)b。

-4-

★育英辅导班内部资料★

【练6】（1）（99全国高考题）已知

exexf(x)2，则如下结论正确的是（）

A、C、

fx是奇函数且为增函数B、fx是奇函数且为减函数fx是偶函数且为增函数D、fx是偶函数且为减函数

1则使fx1成立的x的f1x是函数fx1axaxa1的反函数，

答案：A

（2）（201*天津卷）设

2a21a21a21,)B、(,)C、(,a)D、(a,)取值范围为（）A、(2a2a2a2a11a1答案：A（时，fx单调增函数，所以fx1ffxf1xf11.）

2a【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例7、试判断函数

fxaxba0,b0的单调性并给出证明。x【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义

x1D,x2Dfx1fx2fx1fx2中的x1,x2的任意性。以及函数的单调区间必是

函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于

fxfx即函数fx为奇函数，因此只需判断函数fx在0,上的单调性x1x20，

即可。设

fx1fx2x1x2ax1x2bx1x2由于

x1x20故当

bbx1,x2,,时，此时函数在fxfxfx012aa上增函数，同理可证

函数

bbfx在0,a上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在a,0为减函数，在

bbb,,,为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在fxaaabb0,a和a,0上分别为减函数.【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。

-5-

★育英辅导班内部资料★

（2）单调性的定义等价于如下形式：fx在a,b上是增函数fx1fx20，fx在x1x2a,b上是减函数点112fx1fx20，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两x1x22x,fx,x,fx连线的斜率都大于（小于）零。fxaxba0,b0是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不x（3）能说bbbb,0上为减函数,在叙在0,fx在,aa,上为增函数，aafxax1xa0（1）用单调性的定义判断函数fx在ax述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，【练7】（1）（潍坊市统考题）

（2）设fx在0x1的最小值为ga，求yga的解析式。0,上的单调性。

1112a1答案：（1）函数在,为增函数在0,为减函数。（2）ygaaaaa0a1（2）（201*天津）设a0且

exafxxae为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在

0,上的单调性并给出证明。答案：（1）a1（2）函数在0,上为增函数（证明略）

【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。

例8、（201*全国高考卷）已知函数【易错点分析】

fxax33x2x1上是减函数，求a的取值范围。

fx0xa,b是fx在a,b内单调递减的充分不必要条件，在解题过程

fxx3在R上递减，但fx3x20。

fx3a2x6x1（1）当fx0时，fx是减函数，则

解得

中易误作是充要条件，如解析：求函数的导数

a0故fx3a2x6x10xR03a3。（2）当

a3时，

18（3）当a3时，fx3x33x2x13x易知此时函数也在R上是减函数。

39-6-

★育英辅导班内部资料★

在R上存在一个区间在其上有的取值范围是

fx0，所以当a3时，函数fx不是减函数，综上，所求

a

,3。

其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f(x)0fx可导，

【知识归类点拔】若函数

与

f(x)为增函数的关系:f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)x3在

(,)上单调递增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系:若将f(x)0的根作为分界点，因为规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f(x)0。∴当f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f(x)0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，

一定可以推出

f(x)0，但反之不一定，因为f(x)0，即为f(x)0或f(x)0。当函数在f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f(x)0是f(x)为增函数的

某个区间内恒有

必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对a维的严密性。

【练8】（1）（201*新课程）函数A、b3和a3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条

件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思

yx2bxcx0,是是单调函数的充要条件是（）

0B、b0C、b0D、b0

答案：A

（2）是否存在这样的K值，使函数上递增？答案：k在

fxk2x4231xkx22x在1,2上递减，在2,321。（提示据题意结合函数的连续性知f20，但f20是函数在1,2上递减，2）2,上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由f20求出K值后要检验。

【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+

1a)+(b+

2

1b)的最小值。

2

-7-

★育英辅导班内部资料★

错解:(a+值是8

【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

二次等号成立的条件ab=解析：原式=a+b+

2222

1a)+(b+

2

1b)=a+b+

222

11+22ab+4≥2ab+

2ab+4≥4

ab11+4=8∴(a+

aab)+(b+

2

1b)的最小

2

12,第

1ab，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

2222

1111112++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+[(+)-]+4

ababa2b2a2b21ab11111=(1-2ab)(1+22)+4由ab≤()=得：1-2ab≥1-=,且22≥16，1+22≥17

2422ababab12511125∴原式≥17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。

222ab22

22

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三

相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为:（1）ysabv2a0vc（2）使全程运输成本最小，当vb≤c时，行驶速度v=

ab；

当

ab＞c时，行驶速度v=c。

【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例10、是否存在实数a使函数明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函数

fxlogaax2x在

2,4上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说

fx是由xax2x和ylogax复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方

fxlogaax2法（1）当a>1时，若使

x在

2,4上是增函数，则xax2x在2,4上是增函

212ax数且大于零。故有2a解得a>1。（2）当a★育英辅导班内部资料★

142函数，则xaxx在2,4上是减函数且大于零。2a不等式组无解。综上

416a40所述存在实数a>1使得函数

fxlogaax2x在

2,4上是增函数

【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a间。答案：当00，且a1试求函数yloga43xx2的的单调区

333a1，函数在1,上单调递减在,4上单调递增当a1函数在1,上单调

222递增在

3

,4上单调递减。2

1fxlogax3axa0,a1在区间(,0)内单调递增，则a的

21399取值范围是（）A、[,1)B、[,1)C、(,)D、(1,)

4444（2）（201*高考天津）若函数答案：B.（记g2则g"x3xa当a1时，要使得fx是增函数，则需有g"x0xx3ax，

231恒成立，所以a3.矛盾.排除C、D当0a1时，要使fx是函数，则需有g"x0恒

4231成立，所以a3.排除A）

422【易错点11】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．

12求sinycosx的最大值31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinxsiny将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换

3元的思想令tsinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成

例11、已知sinxsiny错解，

解析：由已知条件有siny2sinx13，而

11sinx且sinysinx1,1（结合sinx1,1）得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33-9-

★育英辅导班内部资料★

2222tsinxt1则原式=t2tt1根据二次函数配方得：当t3333sinx24时，原式取得最大值

93。

即

【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinxcosx－2a的最大值和最小值。

2答案：f(x)的最小值为－2a－2

212(0a)1222a－，最大值为21222a22a(a)22（2）不等式x>ax＋答案：a3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。21,b36（提示令换元xt原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2,b8）

【易错点12】已知Sn求an时,易忽略n＝１的情况．例12、（201*高考北京卷）数列

（1）求a2,a3,a4的值及数列an前n项和sn且a11,an13sn。

1an的通项公式。

【易错点分析】此题在应用sn与an的关系时误认为an的情况的验证。易得出数列

snsn1对于任意n值都成立，忽略了对n=1

an为等比数列的错误结论。

解析：易求得

111416a2,a3,a4。由a11,an1sn得ansn1n2故

33392741111an1ansnsn1ann2得an1ann2又a11，a2故该数列从第

333331n1二项开始为等比数列故an14n2。

n233-10-

★育英辅导班内部资料★

【知识点归类点拔】对于数列an与sn之间有如下关系：ans1n1利用两者之间的关系snsn1n2可以已知sn求an。但注意只有在当a1适合an的形式。

【练12】（201*全国理）已知数列则数列

snsn1n2时两者才可以合并否则要写分段函数

an满足a11,ana12a23a3n1an1n2an的通项为。

1n1答案：（将条件右端视为数列nan的前n-1项和利用公式法解答即可）ann!

n22【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）例13、等差数列

an的首项a10，前n项和sn，当lm时，smsl。问n为何值时sn最大?

【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知sn=

fnna1nn12dd2dna1n此函数是以22n为变量的二次函

数，因为a10，当lm时，smsl故d0即此二次函数开口向下，故由flfm得当

时

x当llm2fx取得最大值，但由于nN，故若lm为偶数，当nlm1时sn最大。2lm2时，sn最大。

m为奇数时，当n【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如snan2bn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由snsanb知数列中的点n,n是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如nn前n项和sncanc所对应的数列必为一等比数列的前n项和。【练13】（201*全国高考题）设结论错误的是（）A、dan是等差数列，sn是前n项和，且s5s6，s6s7s8，则下列

0B、a70C、s9s5D、s6和s7均为sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。

-11-

★育英辅导班内部资料★

例14、已知关于的方程x23xa0和x23xb0的四个根组成首项为

34的等差数列，求

ab的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设

34是方程x23xa0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程

2x23xa0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x3xb0的两根是等差数列的中间两

项，根据等差数列知识易知此等差数列为：

2735313579,b,,故a从而ab=。1616844,44【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq；对于等比数列an，若nmuv，则anamauav；若数列an是等比数列，Sn是其前nan是等差数列，Sn是其前n*项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列；若数列项的和，kN，那么Sk，S2k*Sk，S3kS2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。2【练14】（201*全国理天津理）已知方程x为

2xm0和x22xn0的四个根组成一个首项

34C、

14的等差数列，则

mn=（）A、1B、

12D、

38答案：C

【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况例15、数列{an}中，a1（I）求使anan11，a22，数列{anan1}是公比为q（q0）的等比数列。

（II）求数列{an}的前2n项的和S2n．an1an2an2an3成立的q的取值范围；

【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列{anan1}是公比为q（q0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数

列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：（I）∵数列{an由anan1an1}是公比为q的等比数列，∴an1an2anan1q，an2an3anan1q2，

an1an2an2an3得anan1anan1qanan1q21qq2，即

152．

，解得0qq2q10（q0）

-12-

★育英辅导班内部资料★

（II）由数列{anan1}是公比为q的等比数列，得

an1an2aqn2q，这表明数列{an}的

anan1an1，a22，∴当q1时，

所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1S2na1a2a3a4a2n1a2n

(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)a1(1qn)a2(1qn)3(1qn)，当q1时，1q1q1qS2na1a2a3a4a2n1a2n(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)(1111)(2222)3n．

【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中an2q是解题的关键，这种给出数列an的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练15】（201*高考全国卷一第一问）设等比数列围。答案：

an的公比为q，前n项和sn0（1）求q的取值范

1,00,

【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。

例16、．（201*北京理）已知数列（1）求数列

an是等差数列，且a12,a1a2a312

an的通项公式（2）令bnanxnxR求数列bn前项和的公式。

an的通项公式再由数列bn的通项公式分析可知数列bn是一

【思维分析】本题根据条件确定数列

个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn2n

2nxn令sn2x4x26x32nxn（Ⅰ）则

（注意错过一位再相减）得xsn2x24x32n1xn2nxn1（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）

-13-

★育英辅导班内部资料★

x1xn2n123nn1nx当1xsn2x2x2x2x2nx当x1sn1x1xx1时sn2462nnn1

综上可得：

n2x1xn1当x1snnx当x1时sn2462nnn11x1x【知识点归类点拔】一般情况下对于数列

cn有cnanbn其中数列an和bn分别为等差数列和等

比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练16】（201*全国卷一理）已知

求数列an的unanan1ban2b2abn1bnnN,a0,b0当ab时，前n项和sn

答案：a1时snn1an2n2an1a22a当a1时sn21ann32.

【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例17、求Sn1111．112123123n【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n项和公式得123nn(n1)2，∴

1111211，就分别得到,，，,2()，n取1，2，3，

112123123nn(n1)nn1∴Sn2(11)2(11)2(11)2(11)

22334nn12(112n)．n1n1【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1111，方法还是抓通项，即122224326n22n11111()，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，2n2nn(n2)2nn2-14-

★育英辅导班内部资料★

如：an1nn1，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。221421621(2n)21【练17】（201*济南统考）求和Sn2＋＋＋＋．

21421621(2n)21答案：Sn112n1111111111＝n．

2n12n12n1133557【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例18、（201*年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.3

(Ⅰ)若首项a1，公差d1，求满足S2(Sk)2的正整数k；

2k(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.

【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)

时极易根据条件“对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数

列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。

解：（I）当a1由S3,d1时Snna1n(n1)d3nn(n1)1n2n2222214131kk2(k2k)2，即k(k1)0又k0,所以k4.

422n2k2(Sk)2,得

（II）设数列{an}的公差为d，则在S(Sn)2中分别取k=1,2,得

S1(S1),2S4(S2)由（1）得若a1若a12a1a12,（1）即43212

d(2a1d)（2）4a122d0或d6,

,

a10或a11.当a10时,代入(2)得0,d0,则an0,Sn0,从而Sk(Sk)2成立

20,d6,则an6(n1),由S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得

数列不符合题意.当a11时,代入(2)得

若a146d(2d)2,解得d0或d2

1,d0,则an1,Snn,从而Sk2(Sk)2成立;

若a11,d2,则an2n1,Sn13(2n1)n2,从而S(Sn)2成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{an}:an=0，即0，0，0，；②{an}:an=1，即1，1，1，；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，，

-15-

★育英辅导班内部资料★

【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.”就等价于关于k的方

程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。

【练18】（1）（201*全国）已知数列

cn,其中cn2n3n,且数列cn1pcn为等比数列.求常数p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）

【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.例19、已知双曲线x2y24，直线ykx1，讨论直线与双曲线公共点的个数

【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。

ykx122222解析：联立方程组消去y得到1kx2kxk40（1）当1k0时，

22xy4即k1，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当

2231k0时即，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当k23443k0223231k0k时，方程组有两个交点此时且k1。（4）当233443k0223231k0kk时即或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。233443k0综上知当k1或k232323时直线与双曲线只有一个交点，当且k1。时k3332323或k时方程组无解此时直线与双曲线无交点。33直线与双曲线有两个交点，当k【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。

-16-

★育英辅导班内部资料★

x2y21，双曲线c2的左右焦点分别为c1的左右【练19】（1）（201*重庆卷）已知椭圆c1的方程为4顶点，而c2的左右顶点分别是c1的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线l:ykx2与椭圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点，且与c2的两个交点A和B满足lOAOB6，其中O为原

x2133113132点，求k的取值范围。答案：（1）y1（2）1,,,,1315322315（2）已知双曲线C：，过点P（1，1）作直线l,使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有

y21中整理有(4-k)x+2k(k-1)x-____条。答案：4条（可知k存在时，令l:y-1=k(x-1)代入x422

2l

(1-k)-4=0,∴当4-k=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有k

225

，有一个切点另：当k2

l

不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线）【易错点20】易遗忘关于sin和cos齐次式的处理方法。例20、已知tan2，求（1）

cossincossin2；（2）sin2sin.cos2cos2的值.

【思维分析】将式子转化为正切如利用1sincos2可将（2）式分子分母除去sin即可。

sincossincos1tan12322；

解：（1）sin1tan12cossin1cos1(2)

sin2sincos2cos2sinsincos2cos

sin2cos222sin2sin2222242cos2cos.sin2131cos2【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。(1sin2cos2sec2tan2tancot

这些统称为1的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用．【练20】．（201*年湖北卷理科）已知6sin2sincos2cos20,[,],求sin(2)的值.

23tan31tan22）

1tan2答案：653（原式可化为6tan2tan20，sin231326【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。

-17-

★育英辅导班内部资料★

例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为410米)

8【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。

解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列an，则数列an是以a1=0.0510米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.05102=5.6310,而地球和月球间的距离为410

-3501038

★育英辅导班内部资料★

解析：A、由三角函数易知此时角的正切线的数量比角的正切线的数量要小即tan理可知sintanB、同

sinC、知满足条件的角的正切线的数量比角。正确。D、同理可知应为sin的正切线的数量要大即

tantansin。

【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知等。【练22】（201*全国高考）已知sinA、若B、若答案：D

【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将和求错。

0,,sintan，sincos12sin，那么下列命题正确的是（）

、都是第二象限角，则tan、都是第四象限角，则tan、都是第一象限角，则cos、都是第三象限角，则coscosB、若cosD、若tantan

例23．要得到函数

1ysin2x的图象，只需将函数ysinx的图象（）

23个单位。31B、先将每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向左平移个单位。

43C、先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位。

61D、先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位。

4611【易错点分析】ysinx变换成ysin2x是把每个x值缩小到原来的

42A、先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移大到原来的倍，这样就误选A或C，再把

倍，有的同学误认为是扩

ysin2x平移到ysin2x有的同学平移方向错了，

3有的同学平移的单位误认为是

3。

-19-

★育英辅导班内部资料★

解析：由

ysin1x变形为ysin2x常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将23倍得到函数

ysin再将函数

11x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

42y2sin2x的图象，

y2sin2x的图象纵坐标不变，横坐标向右平移

ysin6单位。即得函数

ysin2x。

3个单位，得到

或者先进行相位变换，即将

12x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移

32函数

12ysinx231sinx的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数

32ysin2x的图象。

3【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由ysinx得到yAsinwx的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由ysinx横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到yAsinx，再进行周期变换即由yAsinx纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍，得到yAsinwx，再进行相位变换即由yAsinwx横坐标向左（右）平移个单位，即得yAsinxAsinx，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由个单位，即得到函数yAsinx向左（右）平移原来的yAsinx的图象，再将其横坐标变为1倍即得不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹yAsinwx。的变量x来说的。【练23】（201*全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的A、横坐标缩短为原来的

12倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度。B、横坐标缩短为原来的

12倍

（纵坐标不变），再向左平移个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度。答案：C

【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。例24、已知0,，sincos7求tan的值。13-20-

★育英辅导班内部资料★

7，利用sincos12sincos可13解得sincos的值，再通过解方程组的方法即可解得sin、cos的值。但在解题过程中易忽视sincos0这个隐含条件来确定角范围，主观认为sincos的值可正可负从而造成增解。

71200，又由于0,，故有解析：据已知sincos（1）有2sincos1316917（2）sin0,cos0，从而sincos0即sincos12sincos1312512,cos联立（1）（2）可得sin，可得tan。13135【易错点分析】本题可依据条件sincos【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在0,区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若0,则必有sincos1,故必有,。221cos,0,，则cot5的值是。

【练24】（1994全国高考）已知sin答案：34【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。例25、若sin510，且、,sin510均为锐角，求的值。

【易错点分析】本题在解答过程中，若求的正弦，这时由于正弦函数在

0,区间内不单调故满

的余弦就不易

足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求出错，这是因为余弦函数在

0,内单调，满足条件的角唯一。

均为锐角知解析：由sin解析：由sin510且、,sin510510且、,sin510均为锐角知cos25310253105102,cos,则cos由5105105102、均为锐角即0,故

【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：2等。

★育英辅导班内部资料★

二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。【练25】（1）在三角形ABC中，已知sin答案：arccos35A,cosB，求三角形的内角C的大小。

51316（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A的范围）65（2）（201*天津理，17）已知cos（α＋

4答案：cos","p":{"h":18.141,"w":24.133,"x":205.016,"y":325.688,"z":2★育英辅导班内部资料★

【练26】（1）（201*年高考江苏卷18）已知函数f(x)sin(x)(0,0)上R上的偶函数，其图象关于点M(答案：3,0)对称，且在区间[0,]上是单调函数，求和ω的值.

242或2。32,（2）（201*全国卷一第17题第一问）设函数的

fxsin2x，

34

yfx图象的一条对称轴是直线x解的个数。

例27、在ABC中，B308，求答案：=【易错点27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形

,AB23,AC2。求ABC的面积

【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C，则相应的三角形内角A即可确定再利用s1bcsinA即可求得。但由于正弦函数在区间0,内不严格格单调所以满足条件的2ABAC232即sinCsinBsinCsin30角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。

得sinC解析：根据正弦定理知：

32，由于

ABsin30ACAB即满足条件的三角形有两个故C60或120.则A30或90故相应

的三角形面积为s11232sin303或23223.

22【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间

0,内不严格格单调，此时

三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在ABC中，已知a,b和A解的情况如下：

（1）当A为锐角

（2）若A为直角或钝角

-23-

★育英辅导班内部资料★

【练27】（201*全国）如果满足ABC范围是（）A、8答案：D

【易错点28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。例28、（1）（201*湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。解法一由sin所以sin60，AC2，BCk的三角表恰有一个那么k的取值

3B、0k12C、k12D、0k12或k83

A(sinBcosB)sinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.

AsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.

B0，从而cosAsinA.由A(0,),知A因为B(0,),所以sin3.从而BC.44由sinBcos2C0得sinBcos2(由此得cos3B)0.即sinBsin2B0.亦即sinB2sinBcosB0.4155,B,C.所以A,B,C.

423123123解法二：由sinBcos2C0得sinBcos2Csin(2C).由0B、c，所以

B2B33或2CB.由2C或B2C.即B2C2222sinA(sinBcosB)sinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.

所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.0，所以cosAsinA.由A(0,),知A1B2，得B因为sinB4.从而BC合要求.再由2C3,C5.所以A,41233，知B+2C=

245B,C.

312不

2、（北京市东城区201*年高三年级四月份综合练习）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosBb.（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若b13,ac4，求△ABC的面积.

cosC2acabc2R得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.将sinAsinBsinC【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。（Ⅰ）解法一：由正弦定理

上式代入已知

cosBbcosBsinB得.即cosC2accosC2sinAsinC2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0.2sinAcosBsin(BC)0.故A+B+C=，

-24-

★育英辅导班内部资料★

sin(BC)sinA.2sinAcosBsinA0.sinA0,cosB1.B为三角形的内

2角，B2.

3a2c2b2b2c2a2,cosC解法二：由余弦定理得cosB2ac2bc将上式代入

cosBba2c2b22abb得222.整理得a2c2b2ac.cosC2ac2acabc2ac2a2c2b2ac1cosB.B为三角形的内角，B.

32ac2ac22222（Ⅱ）将b13,ac4,B代入余弦定理bac2accosB得

3113b2(ac)22ac2accosB,13162ac(1).ac3.SABCacsinB3.

224【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路），三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。

【练28】（1）（201*年北京春季高考）在中，a，b，c分别是的对边长，已知A，B，CABCa，b，c成等比数列，且a，求A的大小及cacbc22bsinBc的值。

答案：A60，

bsinB3c2

（2）（201*天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2c2bca2和

c13。求∠A和tanB的值。b2答案：A60，tanB12【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。例29、解关于x的不等式

a(x1)＞1(a≠1).x2【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。

(a1)x(2a)＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

x2a2a2a2当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若

a1a1a1a2＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞).

a1a2a2当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)

a1a1解：原不等式可化为：

-25-

★育英辅导班内部资料★

a2a2)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，a1a1a2解集为；当a＜0时，解集为(，2).

a1综上所述：当a＞1时解集为(－∞，

【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.

(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.

(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.

【练29】（201*年江西高考）已知函数

x2f(x)(a,b为常数）,且方程f(x)x120有两个

axb实根为x13,x24.

f(x)的解析式；（2）设k1,解关于x的不等式：f(x)(k1)xk2x

（1）求函数

答案：

x2f(x)(x2).①当1k2时,解集为(1,k)(2,);②当k2时,不等式为

2x解集为(1,2)(2,);③当k2时,解集为(1,2)(k,).(x2)2(x1)0【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位例30、已知函数

22fxlgm3m2x2m1x5（1）如果函数fx的定义域为

R求实数m的取值范围。（2）如果函数【易错点分析】此题学生易忽视对m2fx的值域为R求实数m的取值范围。

3m2是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面

对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值成立，令g验证当mm23m2x22m1x50恒

xm23m2x22m1x5，当m23m2=0时，即m1或2。经

1时适合，当m23m20时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需

m23m2099解之得m1或m综上所知m的取值范围为m1或m。440（2）如果函数数，令gfx的值域为R即对数的真数m23m2x22m1x5能取到任意的正

xm23m2x22m1x5当m23m2=0时，即m1或2。经验证

-26-

★育英辅导班内部资料★

当m2时适合，当m23m20时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需

m23m20992m2m解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。440【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。【练30】已知函数

fxa21x22a1x2的定义域和值域分别为

1或a3（2）3a1或a1

R试分别确定满足

条件的a的取值范围。答案：（1）a【易错点31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。

1125)(b+)≥.

ba411【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+和b+不能同时取得等号，本题可有如下证

ba例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+明方法。

证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab

11或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证.441111证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

2222≤

111122(t1)21(t2)21(t1t11)(t2t21)11a1b14(a)(b)2241111ababt1t2(t1)(t2)222225322511542222t2t2(t1t11)(t2t21)(t2)2t22544416216.11114222t2t2t2444422显然当且仅当t=0，即a=b=

1时，等号成立.21ab，∴ab≤

4证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2

1125a21b21254a2b233ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab1125(a)(b)ab41证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤.

4-27-

★育英辅导班内部资料★

252(1ab)1139(1ab)21251621ab1(1ab)14416ab44ab1125

即(a)(b)ab4证法五：(三角代换法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sinα，b=cosα，α∈(0，

222)

1111sin4cos42sin2cos2222(a)(b)(sin)(cos)22absincos4sin2242sin22162522(4sin)1622sin21,4sin2413.114sin22sin224(4sin22)2251125即得(a)(b).24ab44sin2

【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.

2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

【练31】（201*北京文）数列

x由下列条件确定：xn1a0,xn11ax,nNn2xn（1）证明：对于n2总有xna,（2）证明：对于n2，总有xnxn1.

【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。

例32、已知二次函数

1()(xf(x)满足f(1)0，且xfx2n21)对一切实数

x恒成立.(1)求

f(1)；(2)求f(x)的解析式；(3)求证：i112n(nN).f(k)n2【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。

-28-

★育英辅导班内部资料★

解：（1）由已知令

x1得：1f(1)12(11)1f(1)1.2（2）令

f(x)ax2bxc(a0)由f(1)0,f(1)1得：

111112abc02b,caf(x)axxaxf(x)(x1)即则22222abc1121axxa0对任意实数x恒成立就是对任意实数恒成立，即：22(12a)x2x2a0a0,12a011121112a,cf(x)xx则(2a)0144424222(4a1)0（3）由（2）知

f(x)1144(x1)2故24f(k)(k1)(k1)(k2)n111111111))4(4(k1k2n2f(k)2334n1i12n故原不等式成立．n2【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。【练32】（201*潍坊三月份统考）已知二次函数

f(x)ax2bxc(a,b,cR)，满足

(x1)2f(x),（1）求

4f(1)0；且对任意实数

x都有

f(x)x0；当x(0,2)时有

f(1)的值；（2）证明a0,c0;（3）当x[1,1]时，函数g(x)f(x)mx(mR)是

单调的，求证：m（1）

0或m1.

f(1)1.（2）运用重要不等式（3）略

【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。

-29-

★育英辅导班内部资料★

例33、记

fxax2bxc，若不等式fx0的解集为1,3，试解关于t的不等式

ft8f2t2。

【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程ax2bxc0的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在2,上是增函数。

解析：由题意知

fxaxx1x2ax1x3，且a0故二次函数在区间2,t8,2t22，故由二次函数的单调性知不等式ft8f2t2上是增函数。又因为8等价于8t2t2即t2t60故t3即不等式的解为：3t3。

【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。【练33】（1）（201*辽宁4月份统考题）解关于x的不等式log2(x1)答案：当1当alog4[a(x2)1](a1)

a2时，解集为{x|231xa或x2}当a2时，解集为{x|x且x2}

2a2时解集为{x|21x2或xa}。a（2）（201*全国卷Ⅱ）设函数答案：x取值范围是[fx2|x1||x1|,求使fx≥的22的x取值范围。

3,)4【易错点34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。

例34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与x2n成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，

c。（Ⅰ）求xn1与xn的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的

总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，nN，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。

【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。201*年高考主要涉及两种类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用性,我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，这是将来高考的方向，

【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax，被捕捞量为bx，死亡量为

*-30-

★育英辅导班内部资料★

cx2n因此xn1xnaxnbxncx2n即xn1xnab1cxnnN*。

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，nN，从而由上式得xn于零,nN故abcx1**abcxn恒等

0即x1ab因为x1>0，所以ab.猜测：当且仅当ab，且cx1ab时，每年年初鱼群的总量保持不变.c*（Ⅲ）若b的值使得xn>0，nN，由xn1别地，有0xn3bxn知0xn3b,nN*特

b的最

x13b.即0b3x1，而x1∈(0,2)，所以b(0,1]，由此猜测

*大允许值是1.下证当x1∈(0,2)，b=1时，都有xn∈(0,2),nN。①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0,2),则当n=k+1时，xk12xk2xk0.又因为

xk1xk2xkxk1112.所以xk1∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.由

①、②可知，对于任意的nN，都有xn∈(0,2).综上所述，为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0，

*nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。【练34】（201*年全国卷Ⅰ统一考试理科数学）（Ⅰ）设函数（Ⅱ）设正数

f(x)xlog2x(1x)log2(1x)(0x1)，求f(x)的最小值；

p1,p2,p3,,p2n满足p1p2p3p2n1，证明

p1log2p1p2log2p2p3log2p3p2nlog2p2nn

-31-

★育英辅导班内部资料★

答案：（Ⅰ）

1f1（Ⅱ）用数学归纳法证明。2f(x)x3(x1).设数列{an}满足a11,an1f(an)，x1（2）（201*高考辽宁）已知函数数列{bn}满足bn|an3|,Snb1b2bn(nN*).

23(31)n（Ⅰ）用数学归纳法证明bn；（Ⅱ）证明Sn.

n132【易错点35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。例35、下列命题：①(a)2(a)2|a|4

②(ab)c③(ac)b|a|b|④若a∥b,b∥c,则ab|=|a|

且c≠o，则ab⑦设e1,e2bc，

∥c⑤a∥b，则存在唯一实数λ，使ba⑥若ac是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使axe1ye2成立。⑧

若|a+b|=|a－b|则ab=0。⑨ab=0，则a=0或b=0真命题个数为（）A．1

B．2

C．3

D．3个以上

【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。

2解析：①正确。根据向量模的计算aaa判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义(ac)b表示和向量b共线的向量，同理(ab)c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(ab)c(ac)b不一定成立。③错误。应为

abab④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加

条件“非零向量a”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方

向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即

四边形为矩形。故ab=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。答案：B

【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａｂ＝ｂａ(交换律)②（λａ）ｂ＝λ（ａｂ）＝ａ（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)с＝ａс＋ｂс(分配律)说明：（1）一般地，(ａｂ)

-32-

★育英辅导班内部资料★

с≠ａ（ｂс）（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）

２２

（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａｂ＋ｂ

【练35】（1）（201*上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（）．．．

２２２

A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mbD.（ab）c=a（bc）（2）(201*江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（ab）c－（ca）b=0②|a|－|b|★育英辅导班内部资料★

（2）（201*全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（

）

（B）三条边的垂直平分线的交点（D）三条高的交点

（A）三个内角的角平分线的交点（C）三条中线的交点

（3）（201*全国卷Ⅰ）

ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，

OHm(OAOBOC)，则实数m=

答案：（1）B（2）D（3）m=1

【易错点37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。

例37、已知ABC中,a5,b8,c7,求BCCA

【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC和CA夹角为三角形ABC的内角C导致错误答案.解析:由条件a5,b8,c7根据余弦定理知三角形的内角C60，故两向量BC和CA夹角为

C60的补角即

BC,CA120,故据数量积的定义知BCCA58cos12020.

【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是0,180，两直线的夹角的范围是0,90，两向量的夹角的范围是0,180，

异面直线所成的角的范围是

0,90，直线和平面所成的角的范围是0,90二面角的取值范围是

0,180。

【练37】（201*上海春招）在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（）

BACABAC（1）ABACBC（2）ABBCCA0（3）若A0，则ΔABC

为等腰三角形（4）若ACAB0，则ΔABC为锐角三角形。

A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）答案：C

【易错点38】向量数积积性质的应用。

例38、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。

【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。

解析：由(a+3b)(7a5b)=07a+16ab15b=0①(a4b)(7a2b)=0

22

7a30ab+8b=0②两式相减：2ab=b代入①或②得：a=b设a、b的夹角为，则cos

22222

abb21=∴=60。|a||b|2|b|22【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数

-34-

★育英辅导班内部资料★

量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂａｂ＝０③ａａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝aaa2④ｃｏｓθ＝２abab⑤｜ａｂ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜5【练38】（1）（201*高考江西卷）已知向量a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c,则a与

2c的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C

（2）（201*浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则

(A)

a⊥e(B)a⊥(a－e)(C)e⊥(a－e)(D)(a＋e)⊥(a－e)答案：C

【易错点39】向量与三角函数求值、运算的交汇例39、a(1cos,sin),b(1cos,sin),c(1,0),(0,),(,2)，a与c,求sin的夹角为θ，b与c的夹角为θ，且12的值.321

2

【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示

两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。解析：

a(2cos,2sincos)2cos(cos,sin),b(2sin2,2sincos)22222222222sin2(sin2,cos2)(0,),(,2),(0,),(,),故有

222222cosac2cos,,|a|2cos|b|2sincos112222|a||c|2cos22sin2bc2sin,0,因

cos22222222|b||c|2sin212222,26，从而sin2sin1.62【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新

增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。【练39】（1）（201*高考江西）已知向量axxxx(2cos,tan()),b(2sin(),tan()),

2242424令

f(x)ab是否存在实数x[0,],使f(x)f"(x)0（其中f"(x)是f(x)的导函数）？

若存在,则求出x的值；若不存在,则证明之答案：存在实数x2使等式成立。

-35-

★育英辅导班内部资料★

（2）（201*山东卷）已知向量

和m(cos,sin)n2sin,cos,,2，且

824mn,求cos28的值.答案：。

55【易错点40】向量与解三角形的交汇。

→→→→→→→→

例40、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC=0。①求数量积，OAOB，OBOC，→→

OCOA；②求ΔABC的面积。

→→→

【思维分析】第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。

解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋

→→→→→→→→→→→2

→→→2→2→→→→→→→4→→24OAOB＋16OB=25OC∴OAOB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OBOC=－由3OA＋5OC=－

5

3→→→

4OB求得OAOC=－

5

1→→1→→443→→

②由OAOB=0,故s0AB=|OA||OB|=由OBOC=－得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－∴

22555

1→→3341→→3

由OCOA=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴s0AC=s0BC=|OB||OC|sin∠BOC=，

2105552

21326→→

|OC||OA|sin∠COA=即sABC=s0AB＋s0AC＋s0BC=＋＋=

521055

【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。【练40】（1）（201*全国卷Ⅲ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，

3。（1）求cotA+cotC的值；（2）设BABC，求ac的值。

247（3）ac3。答案：（1）73abaab3且cosB＝

4（2）已知向量

=（2，2），向量

与向量的夹角为

4，且

=－2，①求向量b；

②若

t(1,0)且bt,c(cosA,2cos2B、C依次成等差数列，试求|

b+

c|的取值范围.答案：①b(1,0)或b(0,1)②

C)，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、225|bc|.22【易错点41】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。

例41、已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量a=(sinx,2)，b

→→

1→→→→→→=(2sinx,)，c=(cos2x,1)，d=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(ab)＞f(cd)的

2

解集.

【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。

-36-

★育英辅导班内部资料★

(1－x)＋(1＋x)

2

=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x

1→→

≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵ab=（sinx，2）（2sinx,）

2

→→→→2

=2sinx＋1≥1，cd=（cos2x，1）(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(ab)＞→→22

f(cd)f(2sinx＋1)＞f(cos2x＋2)2sinx＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x

解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因为

33＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0

242433→→

≤x≤π∴＜x＜当m＜0时，同理可得0≤x＜或＜x≤π综上所述，不等式f(ab)

444433→→

＞f(cd)的解集是：当m＞0时，为{x|＜x＜；当m＞0时，为{x|0≤x＜或＜x

4444＋2cos2x＜02kπ＋＜π。

【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性

如何（不可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用知识解决综合问题的能力。

f(x)在定义域（－1，1）内可导,且f"(x)0，点A(1,f(a));B(f(－a),1)，对任意a∈(－1，1)恒有OAOB成立，试在,内求满足不等式f(sinxcosx)+f(cos2x)>0的x的取值

【练41】若范围.答案：x(32,4)(,)，(kZ)24【易错点42】向量与解析几何的交汇

例42、（03年新课程高考）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。

解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为yax和ya2ax.消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程

a(y)2y(ya)2ax.整理得x21.①因为a1a()2822220,所以得：（i）当a22时，方程

①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0a2时，方程①表示椭圆，焦点

2E(11a11a（iii）当a2时，方程①也表示椭圆，a2,)和F(a2,)为合乎题意的两个定点；

2222222焦点E(0,1111(aa2))和F(0,(aa2))为合乎题意的两个定点.

2222【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也

-37-

★育英辅导班内部资料★

要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。

【练42】（1）（201*全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与a上任意一点，且OM（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆(3,1)共线。

OAOB(,R)，证明22为定值。

答案：（1）e622（2）=13PM（2）（02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使MPMN，PN,NMNP成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（xo,yo），记为PM与PN的夹角，求tan；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心，

3为半径的右半圆②tan=|y0|

（3）（201*高考江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则

OAOB等于（）A.

33B.－C.3D.－3答案：B44【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。

x2y21上动点P到定点Mm,0,其中0m2的距离PM例43、已知椭圆C：42件OAOBAB的最小值

为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条

（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。

【思维分析】此题解题关键是由条件OAOBAB再结合韦达定理解答。

知OAOB0从而将条件转化点的坐标运算

x2x2y221得y21故解析：设px,y，由424PM2xm2x2x2122121x2m2m2由于0m2且

44222x2故当02m2时，PM的最小值为2m21此时m1，当22m4时，

x2取得最小值为24mm221解得m1,3不合题意舍去。综上所知当m1是满足题意

此时M的坐标为（1，0）。

-38-

★育英辅导班内部资料★

（2）由题意知条件OAOBAB等价于OAOB0，当l的斜率不存在时，l与C的交点为

6l1,2，此时OAOB0，设的方程为ykx1，代入椭圆方程整理得

222212kx4kx2k40，由于点M在椭圆内部故0恒成立，由OAOB0知

4k2x1x2y1y20即1kx1x2k1x2k0，据韦达定理得x1x212k2222，

2k242222222x1x2代入上式得1k2k4k4kk12k0得k4不合212k题意。综上知这样的直线不存在。

【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点F2为圆心，过另一焦点F1的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,P2,1为此平面上一定点，且PF1PF21.（1）求椭圆的方程（2）若直线

ykx1k0与椭圆交于如图两点A、B，令

x2y21（2）0,8域答案：（1）42fkABF1F2k0。求函数fk的值

[易错点44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例44、函数

yxe1cosx的导数为。

[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即

yxyuux。

解析：

ye1cosxxe1cosxe1cosxxe1cosx1cosxe1cosx

xe1cosxsinx1xsinxe1cosx

【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。[练习44]（201*年江苏，21）已知a0，n为正整数。设yxan，证明

ynxan1；

（1）设

fnxxnxan，对任意na，证明fn1n1n1fnn

解析：证明：（1）xankCnak0nnkxk,

★育英辅导班内部资料★

ykCk1nknankxk1k1nCn1ak1nnkxk1nxan1

（2）对函数

fnxxnxan求导数：

n1fnnxn1nxa，

n1fnnnnn1na.当xa0时，fnx0

当na时，fnxxnxan是关于x的增函数因此，当nna时，

n1nn1annnan。

nnnn1fn1n1n1n1n1an1nnnan1nnnnan1fnn即对任意na，fn1n1n1fnn.

【易错点45】求曲线的切线方程。例45、（201*高考福建卷）已知函数f（－1））处的切线方程为6x，且在点M（－1，f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2）

y70.（Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；

【思维分析】利用导数的几何意义解答。解析：（Ⅰ）由

32，知d=2，所以f(x)xbxcx2,f(x)的图象经过P（0，2）

f(x)3x22bxc.由在M(1,f(1))处的切线方程是6xy70，知

6f(1)70,即f(1)1,f(1)6.32bc6,2bc3,32即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x3x3x2.1bc21.bc0,【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,求得切线方程为

f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，

如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平yy0f"(x0)(xx0)特别地，

行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.

x0。利用导数的几何意义作为解题工具，

-40-

★育英辅导班内部资料★

【练45】（1）（201*福建卷）已知函数

f(x)ax6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为2xbx+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：

f(x)2x62x3（2）（201*高考湖南卷）设t0，点P（t，0）是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的

abt3.故

一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：cat2，bt，ct3.

【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。

例46、(201*全国卷III)已知函数

4x27fx，x01，（Ⅰ）求fx的单调区间和值域；

2x（Ⅱ）设a221，函数gxx3ax2a，x01，，，，若对于任意x101，总存在x001使得gx0fx1成立，求a的取值范围。

，ygx在区间01上的

【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解

不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数值域是函数

fx的值域的子集，从而转化为求解函数ygx在区间01，上的值域。

4x216x7解析(Ⅰ)

f(x)2x22(2x1)(2x7)2x22，令

f(x)0解得x12或

x72,在

11x(0,)，f(x)0,所以f(x)为单调递减函数；在x(,1)，f(x)0,所以f(x)为单调

2271递增函数；又f(0),f(1)3,f()4，即f(x)的值域为[-4，-3]，所以f(x)的单调递

2211减区间为(0,)，f(x)的单调递增区间为(,1)，f(x)的值域为[-4，-3].(单调区间为闭区间也可以).

22（Ⅱ）∵g(x)3(x2a2),又a1，当x(0,1)时，g(x)3(1a2)0，

因此，当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时，有g(x)[g(1),g(0)].又g(1)12a3a任给x1[0,1]，有

2,g(0)2a，即当x[0,1]时，有g(x)[12a3a2,2a]，

f(x1)[4,3]，存在x0[0,1]使得g(x0)f(x1)，

-41-

★育英辅导班内部资料★

52a1,或a则12a3a43又a1，所以a的取值范围是1a。

332a3a22【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为201*年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知

yf(x)（1）分析yf(x)的定义域；（2）求导数

yf(x)（3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f(x)0，解

集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数

f(x)在

(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同

理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

32

【练46】（1）（201*高考北京卷）已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，

＋∞）（2）－7

（2）(201*全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小

正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960

【易错点47】二项式

abnn展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。

例47、x232x展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为。

【易错点分析】本题中若x与23x2的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。

解析：椐题意有：Cn2122Cn2162,即2nn12n162,n9

则Tr1C9rx9r9r2r29r2rrr231,r3由32C92x23xr-42-

★育英辅导班内部资料★

3T4123C9x672x

3【知识点归类点拨】二项式

abn与ban的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在

遇到类似问题时，要注意区分。

41【练47】（潍坊高三质量检测）x11x数项为。解析：据题意有

n展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常

14411Cn1Cn11，即

4114n411,n411,n15CnCnCnCnCnr1r6015r令6015r0,得：r4故展开式中常数项为：111C15xxrrTr1C15x415r144C151365

【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。

32例48、在x2x5的展开式中，x的系数为，二项式系数为。

5【易错点分析】在通项公式Tr1解析：令155rrC52rx155r中，C5r是二项式系数，C5r2r是项的系数。

225，得r2，则项x5的二项式系数为C510，项的系数为C52240。

【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。

11【练48】（201*高考山东卷）如果3x的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数332xx是（）（A）7（B）7（C）21（D）21答案：当xn1时(311312r)n2n128,n7即(3x23r57r313x2)7,根据二项式通项公式得

Tr1C(3x)r77r(1)(x)C3r77r(1)xr57r3,r6时对应

31x3,即

676T61C73(1)61112173.故

x3x3x3x3项系数为21.

【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。

-43-

★育英辅导班内部资料★

2例49、已知x2nN的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1

x求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。

【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。解析：由题意知，第五项系数为Cn4n24，第三项的系数为Cn2(2)2，则有

4Cn22Cn24210，1r1r1rrr1r1n8设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为C82,C82,C82，r1r1rrC82C82若第r+1项的系数绝对值最大，则，解得：5r6

r1r1rrC82C82系数最大值为

T717921x11由n8知第五项的二项式系数最大，此时T511201x6

【知识点归类点拨】在

abn的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大

Tr1Tr系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组来确定之。

TTr1r2【练49】（201*年上海）在二项式果用数值表示）

解析：展开式中第r+1项为C11x得rr11rx111的展开式中，系数最小的项的系数为。（结

15r，要使项的系数最小，则r为奇数，且使C11为最大，由此

r51462。5，所以项的系数为C11【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人两本，1人3本；（3）平均分成三组，每组2本；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。

【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。

解析：(1)分三步：先选一本有C6种选法，再从余下的5本中选两本，有C5种选法，最后余下的三本全选有C3种选法，有分步计数原理知，分配方式有：C6C5312123C360

（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有

1233C6C5C3A3360种。

-44-

★育英辅导班内部资料★

（3）先分三步：则应是C6222种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为A,B,C,D,E,FC4C2222中还有C4C2若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则C63（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A3种情况，而且这些情

222C6C4C2况仅是AB，CD，EF顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有15种3A3222C6C4C23在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式种。A33A3（5）

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。

【练50】（201*年全国9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（）A、210种B、420种C、630种D、840种

解析：首先选择3位教师的方案有：①一男两女；计C5C4其次派出

3

位教师的方案是

3A3121=40。30；②两男一女：计C52C4=6。故不同的选派方案共有

3121A3C5C4C52C463040420种。

【易错点51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。例51、四个男同学和三个女同学站成一排。

（1）三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？

（5）女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）

【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。

解析：（1）3个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有

3种排法；由于3个同学必须排在一起，A35种排法。由乘A5我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有法原理，有

35A3A5720种不同排法。

（2）先将男生排好，共有

43种排法；再在这4个男生的中间及两头的5个空中插入3个女生，有A5种A4方案。故符合条件的排法共有

43A4A51440种。

-45-

★育英辅导班内部资料★

（3）甲、乙2人先排好，共有A2种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有A5种排法，这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有A3种排法；这样，总共有种不同的排法。

（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有

42种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有A2种A42323423A4A2A3720排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有A5种排法；这样，总共有

422A4A2A5960种不同的排法。

4种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女A7（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有

4种不同的排法。A7【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：位置分析法②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊用加法原理（分类）元素分析法用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）捆绑法（相邻问题）位置入手。【练52】（201*年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（）A、234B、346C、350D、363

解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有

212A20A19A24346种。

rnrrTr1Cnab12种，再加上4种不能算相邻的，共有A19A2【易错点53】二项式展开式的通项公式为

kkPnkCnP1Pnk，事件A发生k次的概率：的

概率公式：

。二项分布列

kknkpkCnpq,k0,1,2,3,n且0p1,pq1，三者在形式上的相似，在应用容易混

淆而导致出错。

例53、（201*年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望。（2）求这名同学总得分不为负分（即0）的概率。

-46-

★育英辅导班内部资料★

【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量以及二项分布的条件的理解出错。

解析：（1）的可能取值为300，100，100，300。

P3000.230.008P10030.220.80.096P10030.20.80.3842

P3000.830.512所以的概率分布为

P3000.0081000.0961000.3843000.512根据的概率分布，可得的期望

E3000.0081000.0961000.3843000.512180

（2）这名同学总得分不为负分的概率为

P00.3840.5120.896。

【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率

Pkk0,1,2,就是独立重复实验n次其中发生k次的概率CnkPk1P际问题时一定看清是否满足二项分布。

nk。但在解决实

【练53】（201*年重庆理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为

34，遇到红灯（禁止通行）的概率为

14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表

示停车时已经通过的路口数，求：

（1）的概率分布列及期望E；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。解析：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4。用

Ak表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则

PAk13k1,2,3,4且A1,A2,A3,A4独立。故P0PA1

44313319P1PA1A2,P2PA1A2A3()2,

44164464-47-

wenku_48({"font":{"0d70b872f46527d3240ce0a10010030":"宋体","0d70b872f46527d3240ce0a100201*0":"TimesNewRoman","0d70b872f46527d3240ce0a10030030":"TimesNewRomanBold","0d70b872f46527d3240ce0a10040030":"宋体","0d70b872f46527d3240ce0a10050030":"Symbol","0d70b872f46527d3240ce0a10060030":"TimesNewRomanItalic","0d70b872f46527d3240ce0a10070030":"MTExtra"},"style":[{"t":"style","c":[0],"s":{"font-size":"21.06"}},{"t":"style","c":[0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,1],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[18,2],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10010030"}},{"t":"style","c":[5,9,16,23,24,25,27,30,37,42,43,48,52,54,62,64,65,69,70,76,3],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a100201*0"}},{"t":"style","c":[5,18,20,21,22,4],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[5],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[7,9,11,6],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[7],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10050030"}},{"t":"style","c":[7,13,14,15,17,19,29,31,32,35,36,40,41,45,46,47,49,51,57,58,61,66,67,71,72,73,75,77,79,80,81,8],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10050030"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[11,12,14,15,19,28,32,34,36,38,47,49,56,60,73,77,78,79,81,10],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[11,28,34,38,56,60,78,12],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10060030"}},{"t":"style","c":[13],"s":{"font-size":"23.742"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"font-size":"19.113"}},{"t":"style","c":[14,19,32,36,47,49,73,77,79,81,15],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-size":"10.502"}},{"t":"style","c":[17],"s":{"font-size":"31.248"}},{"t":"style","c":[18],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"font-size":"18.632"}},{"t":"style","c":[21,22,20],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10040030"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"letter-spacing":"0.089"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"letter-spacing":"0.09"}},{"t":"style","c":[24,23],"s":{"font-size":"17.733"}},{"t":"style","c":[24],"s":{"letter-spacing":"0.177"}},{"t":"style","c":[27,30,25],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[25,27,28,29,30,26],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"letter-spacing":"-0.09"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[30],"s":{"letter-spacing":"-0.054"}},{"t":"style","c":[31],"s":{"font-size":"23.249"}},{"t":"style","c":[32],"s":{"font-size":"18.769"}},{"t":"style","c":[34,37,63,33],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[35],"s":{"font-size":"27.771"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-size":"18.541"}},{"t":"style","c":[37],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[38,41,43,39],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[40],"s":{"font-size":"23.328"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[42],"s":{"font-size":"10.163"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[45,44],"s":{"font-size":"10.283"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"font-size":"10.283"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"13.444"}},{"t":"style","c":[47],"s":{"font-size":"10.846"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-size":"7.448"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"18.879"}},{"t":"style","c":[51,52,64,50],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[51],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[64,52],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[54,56,58,53],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"10.524"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[57],"s":{"font-size":"23.813"}},{"t":"style","c":[58],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[60,62,59]★育英辅导班内部资料★

【易错点55】对于数列的两个基本极限①limqnn0；②limSnna11q，两个极限成立的条件不同，

前者为

q1；而后者为0q1。

Snan中，a11，且n项和Sn，满足limn2例55、在等比数列

1,那么a1的取值范围是（）a1A、

1,B、1,C、1,2D、1,4

a1，求a1的范围时，容易忽视q0这个条1q【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式s件。

解析：设公比为q，由limSnn1a1知

1a11qaa211q122a1110a12q12又a11所以1a12。q12a11q0q0a110存在q1或q1n【知识点归类点拨】对于limq0q1，公比的绝对值小于1的无穷等比数列n不存在q1或q1前n项和在n无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。【练55】lim3n3n1a1nn1，求a的取值范围。3lim解析：

3n3n1a1nn1a1limlim0nnn33a1331na11,4a23【易错点56】立体图形的截面问题。

例56、（201*哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体

ABCD--A1B1C1D1，E、F分别是AA1、

，过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨CC1的中点，p是CC1上的动点（包括端点）迹是（）

-49-

★育英辅导班内部资料★

A、线段C1FB、线段CFC、线段CF和一点C1D、线段C1F和一点C。

【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。解析：如图当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面BB1CC1，则过DE的截面DEP与平面BB1CC1的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为DEFB1也为平行四边形，当点P在线段C1F上时如图分别延长DE、DP交A1C1于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平1D1、D截面DEP内也在平面

A1B1C1D1内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交A1B1、B1C1于点K、N

（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故选C

DAEA1D1C1B1BCPF

HA1AEDBD1KNCFPC1GB1【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。

【练56】（1）（201*高考全国卷二）正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形答案：D（2）在正三棱柱

ABC-A1B1C1中，P、Q、R分别是BC、CC1、A1C1的中点，作出过三点P、Q、R

截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。

【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数

-50-

友情提示：本文中关于《高中数学易错知识点汇总》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学易错知识点汇总：该篇文章建议您自主创作。

来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。

《高中数学易错知识点汇总》由互联网用户整理提供,转载分享请保留原作者信息,谢谢!
链接地址：http://www.bsmz.net/gongwen/689622.html

• 上一篇：党的十七届六中全会是在我国进入全面建设小康社会关键时期和深化改革开放
• 下一篇：高中数学易错知识点汇总