高中文科数学基础总结

高中文科数学基础总结

新课标高中数学基础知识归纳北京新东方学校蒋叶光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑴单调性的定义：第一部分集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因．．．．．①f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)；变量的取值？还是曲线上的点？…；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等．．．．②f(x)在区间M上是减函数x,xM,当xx时有f(x)f(x)；

121212工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；（2）ABABAABB;注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况。4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

⑵单调性的判定

①定义法：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(xT)f(x)（其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期

①ysinx:T2；②ycosx:T2；③ytanx:T；④yAsin(x),yAcos(x):T(3)与周期有关的结论

第二部分函数与导数

1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式

ababab；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、22x22距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（a、sinx、cosx等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数：内函数ug(x)与外函数yf(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；．．．．⑵f(x)是奇函数f(－x)=－f(x)；f(x)是偶函数f(－x)=f(x)⑶奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性

2；⑤ytanx:T；

||||f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期为2a；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：yx（R)；⑵指数函数：yax(a0,a1)；⑶对数函数:ylogax(a0,a1)；⑷正弦函数:ysinx；

2⑸余弦函数：ycosx；（6）正切函数：ytanx；⑺一元二次函数：axbxc0；

⑻其它常用函数：

①正比例函数：ykx(k0)；②反比例函数：y9．二次函数：⑴解析式：

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ka(k0)；③函数yx(a0)；xx新课标高中数学基础知识归纳北京新东方学校蒋叶光jiangyeguang211@yahoo.com.cn①一般式：f(x)ax2bxc；②顶点式：f(x)a(xh)2k，(h,k)为顶点；③零点式：f(x)a(xx1)(xx2)。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

③f(a+x)=f(b－x)（x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=

ab对称；2特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称；12．函数零点的求法：

⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵图象法；⑶二分法.

b4acb2b二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是2a，4a2a2。(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)新课标高中数学基础知识归纳北京新东方学校蒋叶光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑵yAcos(x)对称轴：

xk；对称中心：(k2,0)(kZ)；

⑴三角形面积公式：SABC11ahabsinC；22sinx6．同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x1;tanx；

cosx7．三角函数的单调区间：

⑵内切圆半径r=2SABC；外接圆直径2R=

abcabc;sinAsinBsinC第四部分立体几何

1．三视图与直观图：

2．表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2rh；③体积：V=S底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=

ysinx的递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间是

223(kZ)；ycosx的递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间2k，2k22是2k，2k(kZ)，ytgx的递增区间是k递减区间是k，k(kZ)。

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sincoscossin;

1S底h：31（S+SS"S"）h；3⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=(rr")l;③体积：V=

2，k(kZ)，yctgx的22⑷球体：①表面积：S=4R；②体积：V=R。

433

)②cos()coscossinsin;③tan(9．二倍角公式：①sin22sincos；

tantan。

1tantan2tan。

1tan22222②cos2cossin2cos112sin；③tan23．位置关系的证明（主要方法）：⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:

(sincos)212sincos1sin2

10．正、余弦定理：⑴正弦定理：

cos|cosa,b|abc2R（2R是ABC外接圆直径）sinAsinBsinC

sin|cosAB,n||ABn||n|5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）点到平面的距离：①等体积法；②向量法：d6．结论：

⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。

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注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

。

abcabc③。sinAsinBsinCsinAsinBsinCb2c2a2⑵余弦定理：abc2bccosA等三个；cosA等三个。

2bc

222abc222，全面积为11。几个公式:新课标高中数学基础知识归纳北京新东方学校蒋叶光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2，体积V=a3。

3a①dR点在圆上；②dR点在圆内；③dR点在圆外。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）⑷正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：①dR相切；②dR相交；③dR相离。

6266①高：h对棱间距离：内切球半径：外接球半径：a；②a；③a；④a。

32124⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且Rr）①dRr相离；②dRr外切；③RrdRr相交；

④dRr内切；⑤0dRr内含。8、直线与圆相交所得弦长|AB|2r2d2第五部分直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：yyk(xx)；⑵斜截式：ykxb；⑶截距式：⑷两点式：

xy1；ab第六部分圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)；

⑵双曲线：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)；⑶抛物线：|MF|=d2．结论

⑴焦半径：①椭圆：PF；（左“+”右“-”）；1aex0,PF2aex0（e为离心率）

②抛物线：PFx0yy1xx1；⑸一般式：AxByC0，（A，B不全为0）。y2y1x2x12．求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3．两条直线的位置关系：

直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注

l1:yk1xb1l2:yk2xb2k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率

p2已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。4．几个公式

⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（

x1x2x3y1y2y3）；,33⑵弦长公式：AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2]

注：⑴抛物线：AB＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：2b；②抛物线：2p。

a2⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：dAx0By0C；

A2B2⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21（m,n同时大于0时表示椭圆，

mn0时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时F1PF2最大；

C1C2AB22⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d5．圆的方程：

；

⑷双曲线中的结论：

2222①双曲线xy1（a>0,b>0）的渐近线：xy0；

a2b2a2b222byx②共渐进线yx的双曲线标准方程为；2(为参数，≠0）2aab⑴标准方程：①(xa)(yb)r；②xyr。⑵一般方程：xyDxEyF0（DE4F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；

6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

2222222222③双曲线为等轴双曲线e2渐近线为yx渐近线互相垂直；

⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

3．直线与圆锥曲线问题解法：⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

第4页共6页新课标高中数学基础知识归纳北京新东方学校蒋叶光jiangyeguang211@yahoo.com.cn注意以下问题：2．等差、等比数列性质①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？等差数列等比数列②直线斜率不存在时考虑了吗？

通项公式ana1(n1)dana1qn1

③判别式验证了吗？⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题

1.q1时，Snna1;步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得kAByy21；③解决问题。x1x2前n项和Snn(a1an)n(n1)nna1d2.q1时，Sa1(1q)

n221qa1anq1q4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a∥b(b≠0)a=b（R)x1y2－x2y1=0；②a⊥b(a、b≠0)ab=0x1x2+y1y2=0⑵ab=|a||b|cos=x2+y1y2；注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；①ab的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

③kS,S2kSk,S3kS2k,成AP③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP

④ak,akm,ak2m,成AP,d"md④ak,akm,ak2m,成GP,q"qm3．数列通项的求法：

S1(n=1)⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（an1ancn型）；⑶公式法：an=Sn－Sn-1(n≥2)⑷累乘法（

ab⑶cos=；

|a||b|⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线OPxOAyOB且xy1；

（理科）P，A，B，C四点共面OPxOAyOBzOC,且xyz1。

an1；⑸构造法（an1kanb型）；cn型）

an11；⑻（理科）数学归纳法。4）

anan1⑺间接法（例如：an1an4anan1

第八部分数列

1．定义：

⑴等差数列｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

4．前n项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。

5．等差数列前n项和最值的求法：

an0an0；⑵⑴利用二次函数的图象与性质。或an10an10anknbsnAn2Bn；

⑵等比数列｛an}

第九部分不等式

an12q(q0)anan-1an1(n2,nN)anaba2b21．均值不等式：ab22ab2a2b2注意：①一正二定三相等；②变形，ab(。)222．绝对值不等式：||a||b|||ab||a||b|

第5页共6页新课标高中数学基础知识归纳北京新东方学校蒋叶光jiangyeguang211@yahoo.com.cn3．不等式的性质：

⑴abba；⑵ab,bcac；⑶abacbc；ab,cd

acbd；⑷ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0,cd0acbd;⑸ab0anbn0(nN);⑹ab0nanb(nN)

第十一部分概率

1．事件的关系：⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作AB；⑵事件A与事件B相等：若AB,BA，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或AB）；⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB）；⑸事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件（AB），则事件A与互斥；6对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件。2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数；

基本事件的总数构成事件A的区域长度（面积或体积等）；

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）⑶几何概型：P(A)----“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；

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扩展阅读：高中数学基础知识完全总结(文科类)

高中数学（文科）基础知识整合

第一部分集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的．．．．．取值？还是曲线上的点？；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，．．．．将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2；（2）ABABAABB;注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况；（3）CI(AB)(CIA)(CIB);CI(AB)(CIA)(CIB)。

第二部分函数与导数

1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：

①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式

abab2ab222；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；

⑧利用函数有界性（ax、sinx、cosx等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数：内函数ug(x)与外函数yf(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数yf(u)的定义域是内函数ug(x)的值域。4．分段函数：

值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；．．．．⑵f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)1；

⑶f(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1；

f(x)⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：f(x)在区间M上是增（减）函数x1,x2M,当x1x2时f(x1)f(x2)0(0)(x1x2)[f(x1)f(x2)]0(0)f(x1)f(x2)x1x20(0)；

⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2（2））；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(xT)f(x)（其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期

①ysinx:T2；②ycosx:T2；③ytanx:T；

2||④yAsin(x),yAcos(x):T；⑤ytanx:T||；

⑶函数周期的判定：①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论）⑷与周期有关的结论：

①f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期为2a；②yf(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称f(x)周期2ab；③yf(x)的图象关于直线xa,xb轴对称f(x)周期为2ab；

④yf(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线xb轴对称f(x)周期4ab；8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：yx（R)；⑵指数函数：ya(a0,a1)；⑶对数函数:ylogaxx(a0,a1)；⑷正弦函数:ysinx；

2⑸余弦函数：ycosx；（6）正切函数：ytanx；⑺一元二次函数：axbxc0；⑻其它常用函数：①正比例函数：ykx(k0)；②反比例函数：y特别的y1xkx(k0)；

，函数yxax(a0)；

9．二次函数：

⑴解析式：①一般式：f(x)axbxc；

②顶点式：f(x)a(xh)2k，(h,k)为顶点；③零点式：f(x)a(xx1)(xx2)。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。10．函数图象

⑴图象作法：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：

①

平移变换：yf(x)yf(xa)，(a0)左“+”右“-”；

yf(x)yf(x)k,(k0)上“+”下“-”；

②

伸缩变换：

1yf(x)yf(x)，（0)纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

倍；

yf(x)yAf(x)，（A0)横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；③

0,0)y0对称变换：yf(x)(yf(x)；yf(x)yf(x)；

0yxyf(x)xyf(x)；yf(x)yf1(x)；

④翻转变换：

yf(x)yf(|x|)右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；yf(x)y|f(x)|上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数yf(x)与yg(x)图象的对称性，即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在yg(x)的图象上，反之亦然；

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x,y)=0;

③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

y=f(x)图像关于直线x=④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）ab2对称；

y=f(x)图像关于直线x=a对称；特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=

ab2对称；

12．函数零点的求法：⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵图象法；⑶二分法.13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)x；

x0⑵常见函数的导数公式:①C"0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(log⑧(lnx)"1xax)"1xlna；

。

uuvuvv2⑶导数的四则运算法则：(uv)uv;(uv)uvuv;()v;

(4)导数的应用：

①利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：f(x)0f(x)是增函数；f(x)0f(x)为减函数；f(x)0f(x)为常数；

③利用导数求极值：求导数f(x)；求方程f(x)0的根；列表得极值。④利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，11802弧度，1弧度(12Rl。

180)5718

"⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：S12R2．三角函数定义：角中边上任意一点P为(x,y)，设|OP|r则：

sinyr,cosxr,tanyx

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；5．⑴yAsin(x)对称轴：xk2；对称中心：(k2,0)(kZ)；

⑵yAcos(x)对称轴：x6．同角三角函数的基本关系：sin2kk2；对称中心：(sinxcosx,0)(kZ)；

xcosx1;tanx；

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sincoscossin;

②cos()coscossinsin;

tantan1tantan③tan()。

8．二倍角公式：

①sin22sincos；

②cos2cos2sin22cos2112sin2；③tan22tan21tan1cos21cos21*降幂公式:sin2;cos2;sincossin2.

222。

9．正、余弦定理⑴正弦定理

asinAbsinBcsinC2R（2R是ABC外接圆直径）

注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

③

asinAbsinB2csinC2abcsinAsinBsinC。

bca2bc222⑵余弦定理：abc2bccosA等三个；注：cosA10。几个公式:

⑴三角形面积公式：SABC2SABCabc2等三个。

12ah12absinCp(pa)(pb)(pc),(p12(abc))；

⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

asinAbsinBcsinC;

11．已知a,b,A时三角形解的个数的判定：

CbhA

a其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a⑶台体：①表面积：S=S侧+S

上底

S

下底

；②侧面积：S侧=(rr")l；③体积：V=

433R。

13（S+SS"S"）h；

⑷球体：①表面积：S=4R2；②体积：V=

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；6．结论：

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：coscos1cos2;

⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为，则S侧cos=S底；⑷长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,则：cos2+cos2+cos2=1；

222

sin+sin+sin=2。

222

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,则有cos+cos+cos=2；

sin2+sin2+sin2=1。

⑸正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：①

高：h63a；②对棱间距离：

2264a；③相邻两面所成角余弦值：

13；

④内切球半径：

612a；外接球半径：a；

第五部分直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：yyk(xx)；⑵斜截式：ykxb；⑶截距式：

xayb1；⑷两点式：

yy1y2y1xx1x2x1；

⑸一般式：AxByC0，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（B,A)，法向量（A,B)2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3．两条直线的位置关系：

直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注l1:yk1xb1l2:yk2xb2k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率l1:A1xB1yC10A1B2A2B1,且A1A2B1B20不可写成

4．几个公式l2:A2xB2yC2B1C2B2C⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（x1x2x3,y1y2y3）；

33⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：dAx0By0CA2；

B2⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d5．圆的方程：

C1C2AB22；

⑴标准方程：①(xa)2(yb)2r2；②x2y2r2。⑵一般方程：x2y2DxEyF0（D2E24F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①dR点在圆上；②dR点在圆内；③dR点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①dR相切；②dR相交；③dR相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且Rr）①dRr相离；②dRr外切；③RrdRr相交；④dRr内切；⑤0dRr内含。8．与圆有关的结论：

⑴过圆x+y=r上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r；

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。

2222

第六部分圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)；⑵双曲线：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)；⑶抛物线：略

2．结论

⑴焦半径：①椭圆：PF1aex0,PF2aex0（e为离心率）；（左“+”右“-”）；

②抛物线：PFx0p2

22(1k)[(x1x2)4x1x2]

⑵弦长公式：AB1k2x2x111k2y2y1(11k22)[(y1y2)4y1y2]；

注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆：|AB|2ae(x1x2)；②抛物线：AB＝x1+x2+p=

（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：2b；②抛物线：2p。

a22psin2；

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

mx2ny21（m,n同时大于0时表示椭圆，mn0时表示双曲线）；

⑷椭圆中的结论：

①内接矩形最大面积：2ab；

②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则

1|OP|21|OQ|21a21b2；

③椭圆焦点三角形：．SPF心，PM交F1F2于点N，则

1F2btan22，（F1PF2）；．点M是PF1F2内

|PM||MN|ac；

④当点P与椭圆短轴顶点重合时F1PF2最大；⑸双曲线中的结论：

①双曲线

xa22yb221（a>0,b>0）的渐近线：

xa2222yb220；

②共渐进线ybax的双曲线标准方程为

xa22yb(为参数，≠0）；

③双曲线焦点三角形：．SPFF12b2tan2，（F1PF2）；

．P是双曲线

xa22－

yb22=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2

的内切圆的圆心横坐标为a,(a)；④双曲线为等轴双曲线e（6）抛物线中的结论：

8

2渐近线为yx渐近线互相垂直；①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：

2．x1x2=p；y1y2=－p2；

4．

1|AF|1|BF|2p；

．以AB为直径的圆与准线相切；

．以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；．SAOB2

p22sin。

②抛物线y=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：

．x1x24P2,y1y24P2；．lAB恒过定点(2p,0)；

．A,B中点轨迹方程：y2p(x2p)；．OMAB，则M轨迹方程为：

(xp)y2

22p；．(SAOB)min4p。

22③抛物线y=2px(p>0)，对称轴上一定点A(a,0)，则：

．当0ap时，顶点到点A距离最小，最小值为a；．当ap时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2app2。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：

①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得k4．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

ABy1y2x1x2；③解决问题。

第七部分平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：

①a∥b(b≠0)a=b（R)x1y2－x2y1=0；②a⊥b(a、b≠0)ab=0x1x2+y1y2=0.⑵ab=|a||b|cos=x2+y1y2；

注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；

②ab的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

⑶cos=

ab|a||b|；

⑷三点共线的充要条件P，A，B三点共线OPxOAyOB(且xy1)；第八部分数列1．定义：

⑴等差数列｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

⑵等比数列｛an}nan1anq(q0)an2an-1an1(n2,nN)

ancq(c,q均为不为0的常数）Snkkq(q0,q1,k0)；

n2．等差、等比数列性质

等差数列等比数列

n1通项公式ana1(n1)dana1q

1.q1时，Snna1;前n项和Snn(a1an)2na1n(n1)2d2.q1时，Sna1anq1qa1(1q)1qn

性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

③

Sk,S2kSk,S3kS2k,成AP③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP

m④ak,akm,ak2m,成AP,d"md④ak,akm,ak2m,成GP,q"q

等差数列特有性质：①项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；S偶S奇nd；

S奇S偶S奇S偶anan1；

②项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)a中；S奇-S偶a中；

nn-1；

③若anm,amn,(mn)，则amn0；若Snm,Smn,则Smn(mn)；

若SnSm,(mn)，则Smn0。3．数列通项的求法：

S1(n=1)a=an1ancn；⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：累加法（nSn－Sn-1(n≥2)⑷叠乘法（

an1ancn型）；⑸构造法（an1kanb型）；（6）迭代法；

⑺间接法（例如：an1an4anan1⑻作商法（a1a2ancn型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。注：当遇到an1an1d或4．前n项和的求法：

an1an11an1an14）；

q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。5．等差数列前n项和最值的求法：⑴an0a0或na0a0n1n1；⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分不等式1．均值不等式：abab2ab222

ab22注意：①一正二定三相等；②变形，ab()ab222。

2．绝对值不等式：||a||b|||ab||a||b|3．不等式的性质：

⑴abba；⑵ab,bcac；

⑶abacbc；ab,cdacbd；

⑷ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0,cd0acbd；

nn⑸ab0ab0(nN)；（6）ab0nanb(nN)。

4．不等式等证明（主要）方法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。第十部分复数1．概念：

2

⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz≥0；⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z⑶z1÷z2=

(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbdbcad22i(z2≠0);22cdcd3．几个重要的结论：

(1)z1z22z1z222(z1z2);(2)zzz222z2；⑶(1i)22i；⑷1ii;1ii;

1i1i第十一部分概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作AB；⑵事件A与事件B相等：若AB,BA，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或AB）；⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB）；⑸事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件（AB），则事件A与互斥；6对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件。2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数；

⑶几何概型：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果构成的积等）等）区域长度（面积或体积；

第十二部分统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：①每个个体被抽到的概率为

nN；

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l；④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数2．总体特征数的估计：⑴样本平均数x⑵样本方差S2nN

1n1n(x1x2xn)221nnxi；

2i1[(x1x)(x2x)(xnx)]1ni(xni1x)2；

2⑶样本标准差S1n[(x1x)(x2x)(xnx)]222=

12

1ni(xni1x)；n(x3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：ri1nix)(yiy)n

i(xi1ix)2(yi1y)2注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r2．基本算法语句：

⑴输入语句：INPUT“提示内容”；变量；输出语句：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句：变量=表达式

⑵条件语句：①②

IF条件THENIF条件THEN语句体语句体1ENDIFELSE语句体2ENDIF

⑶循环语句：①当型：②直到型:WHILE条件DO循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；⑵秦九韶算法------求多项式的值；⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1．四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；3．逻辑连接词：

⑴且(and)：命题形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命题形式pq；真真真真假⑶非（not）：命题形式p.真假假真假假真假真真假假假假真4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；

全称命题p：xM,p(x)；全称命题p的否定p：xM,p(x)。⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；

特称命题p：xM,p(x)；特称命题p的否定p：xM,p(x)；

第十五部分推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二．证明⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

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