201*届高中文科数学知识点总结

201*届高中文科数学知识点总结

高中数学必修1知识点

集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

集合与元素间的关系：对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.已知集合空真子集.

函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．若

A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2个非

f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等

对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知式ag(x)b解出．

（6）映射的概念

①设

A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它

）叫做集合

A到B的映射，记作f:AB．

对应，那么这样的对应（包括集合

A，B以及A到B的对应法则f②给定一个集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的

象，元素a叫做元素b的原象．

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若

yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]为

减；若

yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减．

（2）打“√”函数

f(x)xa(a0)的图象与性质xyf(x)分别在

分别在[

1(,a]、[a,)上为增函数，

oxa,0)、(0,a]上为减函数．

②若函数

f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

（4）对数的运算性质如果a①加法：loga0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③数乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥换底公式：logaN(b0,且b1)blogba

（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

2

f(x)更方便．

2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：

AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为d

2、点M(x0,y0)与圆(xa)（1）(x0（3）(x02C1C2AB22

(yb)2r2的关系的判断方法：

a)2(y0b)2>r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上a)2(y0b)2

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A

与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事

件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

1806、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，

11Slrr2．

225sin14、函数

cos，cossin．6sincos，cossin．2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

ysinx0,0的性质：

2①振幅：；②周期：

；③频率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

第二章平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）1、2，使a1e12e2．

x1x2y1y2ab设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则cos22abx12y12x2y2

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2⑵cos2．

2sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升幂公式1cos2cos222cos211cos22，sin降幂公式cos222

4

,1cos2sin2．

⑶tan2

27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

2tan1tan2．

yAsin(x)B形式。

sincos22sin，其中tan求sin50o．(13tan10o)；

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有(R为C的外接圆的半径)

abc2RsinsinsinC3、原命题：“若p，则q”逆命题：“若q，则p”

否命题：“若p，则q”逆否命题：“若q，则p”5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

3．几个重要的结论：

(1)(1i)22i；⑷1ii;1ii;

1i1i(2)i性质：T=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;(3)z1zz1z1。z5．共轭的性质：⑴(z1z2)z1z2；⑵z1z2z1z2；⑶(z1z)1；⑷zz。z2z2z1|z1|；⑷|z2|z2|6．模的性质：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|；⑶||zn||z|n；

扩展阅读：201*届高中文科数学知识点总结

集合与简易逻辑

知识回顾：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

3①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论.00二次函数0yax2bxc（a0）的图象有两相异实根一元二次方程有两相等实根无实根x1,x2(x1x2)bx1x22a第1页共22页ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx22.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数

（二）函数的性质⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1y|2x22x1|→|y|关于x轴对称.

熟悉分式图象：

2x17例：y定义域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数图象▲y2x3yax(a0且a1)的图象和性质

a>14.5401;x数列

定义递推公式通项公式中项等差数列an1andanan1d；anamnmd等比数列an1q(q0)ananan1q；anamqnmana1qn1（a1,q0）Gankank(ankank0)ana1(n1)dAankank2

前n项和重要性质nna(q1)Sn(a1an)12Sna11qnaaq1n(q2)n(n1)1q1qSnna1d2**amanapaq(m,n,p,qN,amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)

mnpq)（n,kN*,nk0）（n,kN*,nk0）看

数列是不是等差数列有以下三种方法：①anan1d(n2,d为常数)②2anan1an1(n2)

③anknb(n,k为常数).

看数列是不是等比数列有以下四种方法：①anan1q(n2,q为常数,且0)

2an1an1(n2，anan1an10)②an①

anPan1r（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②选代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d使得sm取最大值.(2)当a10时，满足am0的项数m使得sm取最小值。在解含绝

am10对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

c2.裂项相消法:适用于其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部

anan1分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于anbn其中{an}是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论4）123n5）

22221n(n1)(2n1)61111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn2三角函数

1.三角函数的定义域：三角函数f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanx定义域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2cos22、同角三角函数的基本关系式：sintansinco2s1

3、诱导公式：

把k“奇变偶不变，符号看象限”的三角函数化为的三角函数，概括为：2三角函数的公式：（一）基本关系

sin(x)sinxsin2(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtsin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt

cos()coscossinsinsin22sincos

22sco2ssin2co2s112sincos()coscossinsinco22sin()sincoscossintansin()sincoscossinsin22tan1tan2

1cos2第6页共22页tan()tantan1coscos

1tantan22tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin62,sin75cos154tan()sin15cos75624,,.

4.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2yAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函数22偶函数[2k1,2k]奇函数k,k22当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2(A),12(A)[2k,；22k]上为增函数；[上为增函数[2k,2k1]上为减函数（kZ）上为增函数（kZ）232k]22k,上为增函数；2k上为减函数（kZ）2(A),32k2(A)上为减函数（kZ）注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.

▲②ysinx与ycosx的周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T2y.

Oxxytan的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2④ysin(x)的对称轴方程是xk2（kZ），对称中心（k,0）；ycos(x)的对称轴方程是xk（kZ），对称中心（k1,0）；ytan(x)的对称中心

2第7页共22页（

k,0）.ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x22⑤当tantan1,ktan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,

2⑦函数ytanx在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，

ytanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：

f(x)f(x)）

1奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函数，ytan(x)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

▲⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；ycosx是周期函数（如图）；ycosx为周期函数（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|图象1ycos2x的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|图象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a三角函数图象的作法：

1）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2）、利用图象变换作三角函数图象．

平面向量

向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）x1x2

yy21第8页共22页(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质abba向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的减法三角形法则ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB(a)()a1.a是一个向量,满数乘向量足:|a||||a|2.>0时,a与a同向;1图x1x2x,12中点公式OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2正、余弦定理

正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：AAAcAcbbFOEacDBCFbEDBaCrFCINrCrBaEIaaaB图2图3图4

图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

An▲BBCA▲n1CDEn2

不等式知识要点

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.

第10页共22页2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdab（异向不等式相除）cd(10)ab,ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么abab.（当仅当a=b时取等号）

2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号）3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn122(a1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则2a2（a1b1a2b2a3b3anbn)ana1a2a3当且仅当时取等号b1b2b3bn2a32an)(b122b22b32bn)不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

不等式的解法

第11页共22页直线和圆的方程

一、直线方程.

1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是

0180(0).

注：①当90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.3.两条直线平行：

l1∥l2k1k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个—前提‖都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1∥l212.两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要条件）

.点到直线的距离：

点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为d，则有

dAx0By0CAB22.

注：

1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|x2y22.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan3.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k当x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率王新敞

两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C2AB22.

第12页共22页7.关于点对称和关于某直线对称：

关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.二、圆的方程.

如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.3.圆的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r2222D2E24F.

2当D2E24F0时，方程表示一个点DE,.22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

xarcos注：①圆的参数方程：（为参数）.

ybrsin③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2②M在圆C上③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r25.直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直线l：AxByC0(A2B20)；圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

22xyD1xE1yF10相减为公切线方程.附：若两圆相切，则22xyD2xE2yF20AaBbCAB22.

②dr时，l与C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：设

C2:x2y2D2xE2yF20第13页共22页有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.③dr时，l与C相离.

(xa)2(yb)2r2由代数特征判断：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，

AxBxC0其判别式为，则：

0l与C相切；0l与C相交；0l与C相离.

一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

圆锥曲线方程

一、椭圆方程.

1.椭圆方程的第一定义：

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,PF1PF22aF1F2以F1,F2为端点的线段

①椭圆的标准方程：

i.ii.

中心在原点，焦点在x轴上：x2a2y2b2221(ab0).x2b2ii.中心在原点，焦点在y轴上：ya221(ab0).

y2b21的参数方程为

②一般方程：AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程：

x2a2xacos（一象限应是属于0）.2ybsin①顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③

焦点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F1F22c,cabca2.⑥离心率：e(0e1).yca22a2.⑤准线：x或

c⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d二、双曲线方程.

1.双曲线的第一定义：

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa

PF1PF22aF1F2以F1,F2的一个端点的一条射线①双曲线标准方程：

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

第14页共22页Ax2Cy21(AC0).

①i.焦点在x轴上：

xya2顶点：(a,0),(a,0)焦点：(c,0),(c,0)准线方程x渐近线方程：0或

cabx2a2y2b20

2a2c②轴x,y为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率e.④准线距

ca2b2c（两准线的距离）；通径.⑤参数关系c2a2b2,e.⑥焦点半径公式：对于双曲

aa线方程

x2a2y2b21（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.⑸共渐近线的双曲线系方程：

x2a2y2b2(0)的渐近线方程为

22x2a2y2b20如果双曲线的

▲yxxy渐近线为0时，它的双曲线方程可设为22(0).

ababy4311例如：若双曲线一条渐近线为yx且过p(3,)，求双曲线的方程？2221F2xx21x2y22解：令双曲线的方程为：y(0)，代入(3,)得1.8242F153⑹直线与双曲线的位置关系：

3区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号.三、抛物线方程.

3.设p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOOx焦点F(p,0)2F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2第15页共22页准线范围对称轴顶点离心率焦点xp2xp2yp2yp2x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0x轴y轴（0，0）e1PFpx12PFpx12PFpy12PFpy122②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的参数方程为（或）（t为参数）.2y2pty2pt22四、圆锥曲线的统一定义..

：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（00)2abxacosybsin(参数为离心角）─axa，─byb原点O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bF1(c,0),F2(─c,0)22xasecybtan(参数为离心角）|x|a，yR原点O（0，0）(a,0),(─a,0)x轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.F1(c,0),F2(─c,0)22x2pt2y2pt(t为参数)x0(0,0)x轴pF(,0)2e=12c（c=ab）2c（c=ab）ec(0e1)aec(e1)a第16页共22页准线a2x=ca2x=cy=±xp2渐近线焦半径通径bxaraex2b2aa2cr(exa)2b2aa2crx2pPp2焦参数立体几何

平面.

1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2.两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）

3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）一、空间直线.

1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.

⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所．．引的垂线段和斜线段）

⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若ab，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围0,180）

121（直线与直线所成角0,90）

2（斜线与平面成角0,90）方向相同方向不相同（直线与平面所成角0,90）

（向量与向量所成角[0,180])

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

第17页共22页二、直线与平面平行、直线与平面垂直.

1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

[注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a∥.（）（平面外一条直线）②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（）（平面外一条直线）③若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（）（可能在此平面内）

⑤平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交）

⑥平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l与平面、所成角相等，则∥.（）（、可能相交）

3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）三、平面平行与平面垂直.

1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

P也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.BMA证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2，

O因为PM,OA,PM,OB则PMOA,PMOB.θ五、

空间几何体

.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方

第18页共22页体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

.直线与平面所成的角（立体几何中的计算可参考空间向量计算）

.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。.空间距离的求法

（）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

.直棱柱的侧面积和全面积

S直棱柱侧=c(c表示底面周长，表示侧棱长)棱锥的体积:V棱锥=

S棱柱全=S底+S侧

1Sh，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。3432.球的体积公式V=R3，表面积公式S4R；

概率知识要点

1.概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能

1性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那

n么事件A的概率P(A)m.n3.①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如：从1～52张扑克牌中任．．．．．．．．．．．．．．．

取一张抽到—红桃‖与抽到—黑桃‖互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到—红色牌‖与抽到黑色牌—互为对立事件，因为

互斥其中一个必发生.

对立注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B).由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：—抽到老K‖；B：—抽到红牌‖则A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有

第19页共22页可能不是独立事件，但P(A)41,P(B)261,P(A)P(B)1.又事件AB表示—既抽到老

521352226K对抽到红牌‖即—抽到红桃老K或方块老K‖有P(AB)21，因此有P(A)P(B)P(AB).

5226推广：若事件A1,A2,,An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

注意：i.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立.ii.必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii.独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

回归分析和独立性检验

第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有关系H1：吸烟与患肺癌有关系

n(adbc)2第二步：选择检验的指标K（它越小，原假设“H0：吸

(ab)(cd)(ac)(bd)烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”

2成立的可能性越大.

nxiyinxyi1bn回归直线方程的求法：xi2n(x)2i1aybx导数

1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处

有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlim记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0处的导数，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注x是增量，我们也称为—改变量‖，因为x可正，可负，但不为零.

2.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为

yy0f"(x)(xx0).

3.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

第20页共22页(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)2vv"注：u,v必须是可导函数.

4.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

5.函数单调性：

函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

零点定理

零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点（a＜＜b）使f()0.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.6.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不

①

可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

②

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

第21页共22页8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：

I.C"0（C为常数）(sinx)cosx

"(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx

II.(lnx)"11(logax)"logaexx(ex)"ex(ax)"axlna

复数

1.复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,

1i1ii,i1i1i第22页共22页

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