大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.

2.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

x3.若

F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。4.

设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.

6.已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx.xdx7.

nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).

12x2arcsinx1－11x2dx8.2.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.设函数yy(x)由方程

exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).

)

1x7求dx.7x(1x)10.

xxe，　　x01设f(x)　求f(x)dx．322xx，0x111.

1012.设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足

四、解答题（本大题10分）

14.已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：设

0f(x)dx）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1cosx2　()c6e35..6.2x.7.2.8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77

11.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd　

4

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22，g(x)在x0处连续。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxx

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399，

四、解答题（本大题10分）

14.解：由已知且，

将此方程关于x求导得y2yy

02特征方程：rr20

y2ydxyx

解出特征根：r11,r22.

其通解为

yC1exC2e2x

代入初始条件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：

1yxxe0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为：

1则平面图形面积

A(eyey)dy01e12

（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qqVV1V2(5e212e3)

116.证明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

f(x)dxqf(x)dx00证毕。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0证：构造辅助函数：。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由题设，有

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，

有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

扩展阅读：大一上学期高数期末考试题

高数期末考试

一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1.

.212.

limnn(cosncos22ncos2nn).

122xarcsinx1dx3.－11x22.

二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.

设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

5.

设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.

6.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

f(x)是连续函数，且f(x)x217.

设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

8.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).

求x710.

1x(1x7)dx.

)11.12.

xxe，　　x0设f(x)　求22xx，0x113f(x)dx．

xA10设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)，A为常数.求

13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.

四、解答题（本大题10分）

(x0)，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成

面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线

ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数

qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

10f(x)dxqf(x)dx0.

17.设函数

f(x)在0,上连续，且

0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提

xF(x)示：设

0f(x)dx）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

e35.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导

xy)e(1y61cosx2　()cx.6.2.7.2.8.

.

coxys(xy)(y)xcos(xy)

x0,y0，y(0)1

767xdxdu10.解：ux　　y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du

17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|7

2xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx10

03)01(x1)dx

xxxee302cosd　(令x1sin)2

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

4x1xtu2e130f(u)duxg(x)

g(x)0f(xt)dtx(x0)

xf(x)x02f(u)du(x0)

x

g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2

A2xf(x)x02f(u)duA

limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。

dy13.解：dx

2x2ylnx2

lnxdxC)2yexdx(exdx

13xlnx19C,19xCx1

xlnx19x3，

四、解答题（本大题10分）

y(1)0y14.解：由已知且

y2ydxy0x，

23,将此方程关于x求导得y2yy

2特征方程：rr20

解出特征根：r11,r22.

2x其通解为

yC1exC2e

C213

代入初始条件y(0)y(0)1，得

3故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

y2exC1e2x13

1x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1ylnx0(xx0)

，从而切线方程为：

12e1y1ex

A则平面图形面积

(e0yey)dy

V113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则

e2

曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1V2(ee0y)dy2

VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qq(5e12e3)2

116.证明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)

(1q)f(x)dxqf(x)dx0q

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

0f(x)dxqf(x)dx0证毕。

x17.

F(x)证：构造辅助函数：

0f(t)dt,0x。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0由题设，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，

有

F(x)sin0xdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

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