大一上学期高数期末考试题(见解)

大一上学期高数期末考试题(见解)

高数期末考试

一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1.

.212.

limnn(cosncos22ncos2nn).

122xarcsinx1dx3.－11x22.

二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.

设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

5.

设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.

6.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

f(x)是连续函数，且f(x)x217.

设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

8.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).

求1x710.

x(1x7)dx.)nu,dxxn1axax11nxdxdunnn1nxQ(x)xQ(x)nxnnduaxnnxnQ(x)du1dnuQ(u)au11.

xxe，　　x0设f(x)　求22xx，0x113f(x)dx．元，去，在有√的公式中，尤其是多项1式，要尽可能变形，换12.

0设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)xA，A为常数.求

13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.

四、解答题（本大题10分）

(x0)，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成

面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线

ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数

qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

10f(x)dxqf(x)dx0a0,1.f(x)在上连续且单调递减是关键，要想

到定积分的中值定理，f(x)dxf()(ab),这样就会把单调性联系起

b来。

17.设函数

f(x)在0,上连续，且

0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提

xF(x)示：设

0f(x)dx）

解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

e35.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导

61cosx2　()cx.6.2.7.2.8.

.

exy(1y)coxys(xy)(yxyxy)xcos(xy)

x0,y0，y(0)1767xdxdu10.解：ux　　y(x)eeycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|72xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx1003)01(x1)dxxxxee302cosd　(令x1sin)212.解：由f(0)0，知g(0)0。

4x1xtu2e130f(u)duxg(x)

g(x)0f(xt)dtx(x0)

xf(x)x02f(u)du(x0)

x

g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2

A2xf(x)x02f(u)duA

limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。dy13.解：dx

2x2ylnx2

lnxdxC)2yexdx(exdx

13xlnx1C,19xCx1

xlnx19x93，

四、解答题（本大题10分）

xy(1)0y

14.解：由已知且

y2ydxy0，

23,将此方程关于x求导得y2yy

2特征方程：rr20

解出特征根：r11,r22.

2x其通解为

yC1exC2e

C213

代入初始条件y(0)y(0)1，得

3故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

y2exC1e2x13

ylnx01x0(xx0)15.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1

，从而切线方程为：

12e1y1ex

A则平面图形面积

(e0yey)dy

V113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则

e2

曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1V2(ee)dy0y2

VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qq(5e12e3)2

116.证明：0f(x)dxqf(x)dx00f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)这个只是书写答案，q1f(x)dx0qqf(x)dx01qf(x)dx0qq[f(x)dxf(x)dx]q10(1q)f(x)dxqf(x)dx00不是思考答案，思考因该是反过来。

q(1q)f()q(1q)f()12

f()f(),12又1q2与已知条件单调性相符1。(1q)f(x)dxqf(x)dx0q

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

0f(x)dxqf(x)dx0证毕。

17.

xF(x)证：构造辅助函数：

0f(t)dt,0x。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由题设，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，

有

F(x)sin0xdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

扩展阅读：大一上学期高数期末考试题

高数期末考试

一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1.

.212.

limnn(cosncos22ncos2nn).

122xarcsinx1dx3.－11x22.

二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.

设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

5.

设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.

6.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

f(x)是连续函数，且f(x)x217.

设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

8.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).

求x710.

1x(1x7)dx.

)11.12.

xxe，　　x0设f(x)　求22xx，0x113f(x)dx．

xA10设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)，A为常数.求

13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.

四、解答题（本大题10分）

(x0)，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成

面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线

ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数

qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

10f(x)dxqf(x)dx0.

17.设函数

f(x)在0,上连续，且

0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提

xF(x)示：设

0f(x)dx）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

e35.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导

xy)e(1y61cosx2　()cx.6.2.7.2.8.

.

coxys(xy)(y)xcos(xy)

x0,y0，y(0)1

767xdxdu10.解：ux　　y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du

17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|7

2xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx10

03)01(x1)dx

xxxee302cosd　(令x1sin)2

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

4x1xtu2e130f(u)duxg(x)

g(x)0f(xt)dtx(x0)

xf(x)x02f(u)du(x0)

x

g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2

A2xf(x)x02f(u)duA

limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。

dy13.解：dx

2x2ylnx2

lnxdxC)2yexdx(exdx

13xlnx19C,19xCx1

xlnx19x3，

四、解答题（本大题10分）

y(1)0y14.解：由已知且

y2ydxy0x，

23,将此方程关于x求导得y2yy

2特征方程：rr20

解出特征根：r11,r22.

2x其通解为

yC1exC2e

C213

代入初始条件y(0)y(0)1，得

3故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

y2exC1e2x13

1x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1ylnx0(xx0)

，从而切线方程为：

12e1y1ex

A则平面图形面积

(e0yey)dy

V113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则

e2

曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1V2(ee0y)dy2

VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qq(5e12e3)2

116.证明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)

(1q)f(x)dxqf(x)dx0q

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

0f(x)dxqf(x)dx0证毕。

x17.

F(x)证：构造辅助函数：

0f(t)dt,0x。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0由题设，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，

有

F(x)sin0xdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

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