多目标规划在某纺织厂职工人员工作时间计算中的应用

多目标规划在某纺织厂职工人员工作时间计算中的应用

多目标规划在某纺织厂职工人员工作时间计算中的应用

信息与计算科学系7080203龙洪福

指导教师马世美

摘要：多目标规划方法在工厂人员工作时间计算上具有重要作用和极大的实际应用价值，同时，它也是一种利用建立数学模型解决实际问题的简单有效的分析方法。本文通过建立多目标规划数学模型来解决某纺织厂技术员工工作时间的计算问题，在实现时利用LINDO软件对模型进行分析和求解，为最后纺织厂职工工作时间做出定论。关键词：多目标规划，人员分配，数学模型

TheApplicationofMultipleObjectivesProgramming

inWorktimeCalculatingofatextilefactory

LongHong-FuInformationandComputationalScience,Number7080203

DirectedbyMaShi-Mei

Abstract：Programmingisaneffectiveandsimplemethodbybuildamathsmaticmodeltocalculatethestaffworktimeinafactory,atthesametime,ithasveryimportantfunctionandpracticalvalue.Thispaperestablishesamulti-programmingmodeltomakeadecisionwhatatextilefactoryneedtomakenow.Intheprocess,IuseLINDOsoftwaretosolveandanalysisthemodel,thentheresultsprovidethereasonsthatthetextileneedtodecide.Finally,thepapermakesapromotionfortheestablishedmathematicalmodel.

Keyword：Multi-objectiveplanning,Staffworktime,MathematicalModel

1引言

1961年美国的查里斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)首次提出目标规划的概念。1965年，爱吉利(Y.Ijiri)对多目标规划划分优先等级并提出优先权因子的概念[1]。利用多目标规划的方法，根据纺织厂里制定的管理模式和经营目标之间的轻重缓急关系，在包含了对现有情况的考虑之下，分析如何达成目标或从总体上而言与既定目标相差最小[2]。近年来,随着企业内专业分工愈加精细，组织机构日益复杂，在制定人员分配方案时常需要满足多方面的各种要求，多目标规划得到迅速发展。[3]

2问题提出与分析

2.1问题的提出

某纺织厂拥有两种不同技术层次的技术员工，分别是熟练工和见习工，其中包括熟练工6人，见习工3人。每件产品的利润是2.5元。为了增加纺织厂来年的收入，经理决定对纺织厂的技术员工工作时间的分配问题在原有的基础上进行调整，具体的四项要求分别如下：(1)下个月的产量达到8000件；(2)限制熟练工加班时间不超过80小时；(3)在优先考虑熟练工的前提下，保证全体职工都能够充分就业；(4)尽量减少加班时间。此时，将两类工人区别对待，优先权因子由其对利润的实际贡献而定。

具体工况表如图所示：

分类工人熟练工见习工2.2分析问题

根据题设要求，设定全体熟练工下个月工作时间为x1,全体见习工下个月工作时间为

工作时间/(小时/月)16080产量工资加班工资/(元/小时)4.53/(件/小时)/(元/小时)5232x2小时，则目标约束为

(1)销售约束：以d1和d1分别表示下月产量不足或超过8000件的偏差，则

5x12x2d1d18000其优化性态为mind1。

（2）工作时间约束：以d2，d2和d3，d3分别表示全体熟练工、见习工的共组时间

不足或超过额定时间的偏差。则

x1d2d26160x2dd38033，欲体现目标3的要求，则其

优化性态应该在考虑mind2和mind3时引入权因子，即min(5d2+2d3).

(3)全体熟练工加班时间约束。以d21和d21分别表示全体熟练工加班不足或超过80小时的偏差，则d2.d21d2180，其优化性态为mind21(4)总加班时间约束。由于d2和d3分别表示了熟练工、见习工的加班时间，因此熟练

工的实际贡献是52.5-4.5=8(元)，见习工的实际贡献是22.5-3=2(元)，相应的

权因子为4:1，其优化性态应为min(d2+4d3)。

3建立模型

通过对问题的提出和相应的分析，可建立数学模型如下：

minfp1d1p2d21p3(5d22d3)p4(d24d3),5x12x2d1d18000,x1d2d2960,stx2d3d3240,ddd2121100,2x0(j1,2)且x为整数,d0,d0(k1,2,2)jkk1j4求解模型及结果进行分析

4.1在LINDO软件中求解

运用LINDO软件求解多目标规划，一般按优先级一步一步求解[4]，但本文选用LINDO软件直接对模型进行求解。具体说来，是将处于不同优先级的目标函数用不同的变量表示出来，把这些变量按优先顺序依次相加作为新的目标函数，然后调用LINDO中Solve菜单下的PreemptiveGoal子菜单求解即可。在此，将正负偏差变量yi，yi分别用yi和yi_来表示(i=1，2，3,4)，用变量obj1、obj2、obj3、obj4分别来表示y1_、5y2_+2y3_、y21、y2+4y3,其源程序为：minobj1+obj2+obj3+obj4

ST

5x1+2x2+y1_-y1=8000x1+y2_-y2=960x2+y3_-y3=240y2+y21_-y21=100

obj1-y1_=0

obj2-5y2_-2y3_=0obj3-y21=0obj4-y2-4y3=0end

在LINDOUntitled中输入上程序后，执行Solve菜单的PreemptiveGoal命令。为了得到最优解，再执行Reports菜单下的Solution命令，得到程序最后结果如下：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEVALUE=4540.00000

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)4540.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTOBJ10.0000001.000000OBJ20.0000001.000000OBJ30.0000001.000000OBJ44540.0000001.000000X11060.0000000.000000X21350.0000000.000000Y1_0.0000000.000000Y10.0000000.000000Y2_0.0000000.000000Y2100.0000000.000000Y3_0.0000000.000000Y31110.0000000.000000Y21_0.0000000.000000Y210.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.0000000.0000004)0.0000000.0000005)0.0000000.0000006)0.0000000.0000007)0.0000000.0000008)0.0000000.0000009)-0.0000040.000000

NO.ITERATIONS=0

4.2结果分析

根据以上结果，总目标最小值y1_+5y2_+y21+y2+4y3=4540.00000，X1=1060.000000，X2=1350.000000，Y2=100.00000,Y3=1110.000000。由此，说明下个月熟练工工作时间为1060个小时，见习工工作时间为1350个小时，全体熟练工、见习工的工作时间超过额定时间100小时和1110小时。

6结束语

多目标优化问题是实际经济管理中普遍存在并期待解决的问题。在经济管理中决策是一个典型的多目标优化问题，寻求一种好的多目标优化方法进行生产销售，对于提高生产、增大效益有着重要的实际意义[5]。本文的结论可以归为如下两点[6]：

1、建立数学模型说明多目标规划在公司做决策时的具体应用，并根据求解结果对纺织厂人员加班时间做出结论。

2、通常运用LINDO软件求解多目标规划，按优先级一步一步求解，本文改变以往解法，将处于不同优先级的目标函数用不同的变量表示出来，把这些变量按优先顺序依次相加作为新的目标函数，然后在对新的模型直接用LINDO软件求解。

参考文献

[1]赵则民，陈有禄，林有光.运筹学[M].重庆：重庆大学出版社，201*：109[2]徐玖平，胡知能.运筹学数据模型决策[M].北京：科学出版社，201*：60[3]胡运权.运筹学基础及应用[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998：108[4]用LINDO、LINGO解运筹学问题.http：//[5]张莹.运筹学基础.清华大学出版社[M].1995：98

[6]董根宁.几个组合优化问题的研究[D].济南：山东大学数学运筹学与控制论，201*

扩展阅读：多目标规划在深圳市某电子公司决策中的应用

多目标规划在深圳市某电子公司决策中的应用

信息与计算科学201*级杨春莹

指导教师陈涛副教授

摘要：目标规划方法是求解有多个目标的极值问题的一种有效、实用的方法，在现代管理决策中处于重要地位。本文通过建立多目标规划的数学模型来解决深圳市某电子公司现需要做出的决策问题，在实现过程中应用LINDO软件对模型进行求解并分析，为电子公司做出生产管理决策提供依据。本文最后对建立的数学模型进行推广。关键词：多目标规划，经济管理，生产决策，数学模型

TheApplicationofMultipleObjectivesProgramminginDecision-makingofAElectronicCompanyinShenzhen

YangChun-yingInformationandComputationalScience,Grade201*

DirectedbyChenTao(AssociateProf.)

Abstract：ProgrammingisaneffectiveandpracticalmethodwhensolvingMulti-targetextremeproblem,soitisimportantinmodernmanagementdecisions.Thispaperestablishesamulti-programmingmodeltomakeadecisionwhataelectroniccompanyinShenzhenneedtomakenow.Intheprocess,IusesLINDOsoftwaretosolveandanalysisthemodel,thentheresultsprovidethereasonsthattheelectroniccompanyneedtodecide.Finally,thepapermakesapromotionfortheestablishedmathematicalmodel.

Keyword：Multi-objectiveplanning,EconomicManagement,Productiondecision，MathematicalModel

1引言

美国的查里斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)在1961年首次提出了目标规划的概念。1965年，爱吉利(Y.Ijiri)对多目标规划划分优先等级并提出优先权因子的概念[1]。目标规划是根据企业制订的经营目标以及这些目标的轻重缓急关系，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标的差距最小[2]。近几十年来，随着企业内专业分工越来越细，组织机构也日趋复杂，企业在制订生产计划或进行决策时常常需要满足多方

面的要求，目标规划得到迅速的发展[3]。目前已在经济规划、生产管理、财务分析等方面广泛应用[4]。

2问题提出与分析

2.1问题的提出

深圳市某电子有限公司是一家集设计、开发、生产、销售一条龙服务的电子礼品专业公司。该公司在近几年的发展历程中，不断增加了市场占有额，处于同行列领先地位。这一成就主要归功于公司拥有一批忠诚且有技术的工人，他们当中有很多人从公司成立开始一直工作到现在，为公司的发展作出了重大贡献。公司管理层在决策时，首先要考虑的就是要保持职工队伍的稳定性，从而保持职工对工作的热情和忠诚。

在刚刚过去的一年中，公司销量少于历年水平且管理费用及产品开发费用较以往大幅增加，导致总收入下降，净利润为负的一百多万。直接的后果就是公司目前可用于开发新产品的资金没有往年充足，更严重的是会影响到公司的生存与发展。公司若销售量不能很快改善，管理层将会考虑削减公司的生产规模来降低生产总成本。2.2分析问题

根据以往的经验，新产品的利润较高且市场销售也比较好，公司通过对市场调查与分析后决定在今年主要生产刚开发出的三种新产品，分别用I、II、III表示(新产品还未上市，在此不透露产品名称，用I、II、III符号代替)。管理层希望能够通过这一措施改变目前的现状，使经营有一线转机，争取在今年恢复以前较高的销量及净利润。由于现在可用于生产的资金有限，管理层不得不在三种新产品中做出取舍决策。另一点要考虑的是，这样做是否会影响职工的稳定性。目前已有竞争者在生产类似的新产品，因此公司管理层必须尽快做出决策。

公司是利润导向型，管理层的目标包括以下内容：保持稳定的利润、增加市场份额、多样化产品线、保持价格稳定、提高员工的士气、保持对业务的控制力、增加公司的声誉。

这些目标有着本质的差别，要把他们综合到一个最高级的目标中去是不现实的。相反，在分析问题时，必须对每个目标进行单独考虑[5]。

管理层认为，在历经了过去一年的销量下降后，必须提高公司的收入，这也正是管理层给出的目标之一这三种新产品在淘汰之前必须创造出至少450万的毛利润，根据以往

的经验及市场调研，单位产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的长期利润是7元、5元、15元且分别在2年、2.5年、1年后退出市场，在生产期间的生产产品都能买出(每天产品的产量是根据定单来决定，但每天定单需求波动性不大，在产品退出市场前生产的产品都能卖出，所以本文中决策变量代表产品每天生产的平均量)。

生产部门认为在过去的几年中，除了去年不理想外，公司的收益是很好的。其中最重要的资产就是公司的员工，这也是公司成功的主要原因。若单纯追求短期利润，势必要求裁减人员以缩小公司规模来降低费用，这会造成破坏性的后果。若继续保持员工的稳定，并尽可能地发挥他们的能力，开发生产新产品，将会得到长期收益。若增加员工数量水平，会引起一些问题，特别是当产量减少时，增加员工只能是暂时的。首先，必须考虑这些员工的培训支出；然后，在生产规模缩小时，又不得不将他们裁减掉，所以保持现在大约100名员工的水平是最佳的。根据实验结果，单位产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别耗用0.06人、0.04人、0.1人。

为了生产新产品，将会需要大量的资金，财务部门依据惯常使用的方法计算了在新产品上的最小投资66万。其中，生产新产品的固定成本20万，三种新产品的单位变动成本分别为：1元、0.5元、3.6元。若过度扩展，又会导致存货大幅度增加占用资金，从而减慢了资金的流动[6]。因此，投资最好限制在此范围之内。

总结以上的分析，公司认为必须将利润部标放在第一位，即新产品产生的总利润不得少于450万，先给未达到目标值的一万利润分配权数5。投资资金的限制放在第二位，目标是将投资资金限制在66万元以内，仍以利润的5点权数作为参照，投资目标的权数可设为4。员工作为公司的宝贵财产，其目标是尽量保持现有100人的员工水平。可以将保持员工的目标分成两部分：一是避免裁员；二是避免增加员工。前一种的危害性比后一种要严重。若以利润的5点权数作为参照，可以认为这两部分的权数分别为3和2。(该部分数据及偏好权数由公司管理层确定)

因此，可以得到目标规划决策问题的权数，见表一：

表一目标规划问题的惩罚权重

因素长期利润（元）员工水平（人）资本投资（元）

产品的单位贡献ⅠⅡⅢ75150.060.040.110.53.6

目标权数>=45000005

=1002(+)，3(-)=45000005(第一层次)=1002(+，第三层次)，3(-，第三层次)其优先级为p2；第三层次的目标是最小化偏差变量y3、y3，其优先级为p3。

数学模型为：

minzp1(5y1)p2(4y2)p3(3y32y3)7*2*365x15*2.5*365x215*365x3y1y14500000201*2*365x10.5*2.5*365x23.6*365x3y2y2660000st0.06x10.04x20.1x3y3y3100x0(j1,2,3),y0,y0(k1,2,3)kkj整理后的数学模型为：

minzp1(5y1)p2(4y2)p3(3y32y3)5110x14562.5x25475x3y1y14500000730x1456.25x21314x3y2y2460000st0.06x10.04x20.1x3y3y3100x0(j1,2,3),y0,y0(k1,2,3)kkj4求解模型及结果进行分析

4.1在LINDO软件中求解

多目标规划的求解有多种方法，例如：单纯形法、图解法、Excel电子表格法、用LINDO软件求解等[7,8,9]。运用LINDO软件求解多目标规划，一般按优先级一步一步求解[10]，但本文选用LINDO软件直接对模型进行求解。具体说来，是将处于不同优先级的目标函数用不同的变量表示出来，把这些变量按优先顺序依次相加作为新的目标函数，然后调用LINDO中Solve菜单下的PreemptiveGoal子菜单求解即可。在此，将正负偏差变量yi，yi分别用yi和yi_来表示(i=1，2，3)，用变量obj1、obj2、obj3分别来表示5y1_、4y2、3y3_+2y3。

其源程序为：

minobj1+obj2+obj3ST

5110x1+4562.5x2+5475x3+y1_-y1=4500000730x1+456.25x2+1314x3+y2_-y2=4600000.06x1+0.04x2+0.1x3+y3_-y3=100

obj1-5y1_=0obj2-4y2=0

obj3-3y3_-2y3=0end

在LINDOUntitled中输入上程序后，执行Solve菜单的PreemptiveGoal命令。在ReportsWindow中得如下结果：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3OBJECTIVEVALUE=0.000000000E+00

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0OBJECTIVEVALUE=0.000000000E+00

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1OBJECTIVEVALUE=179.013702

以上输出表示的是模型中三个优先级的目标函数最优值和计算迭代次数。为了得到最优解，再执行Reports菜单下的Solution命令，得到程序最后结果如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)179.0137

VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTOBJ10.0000000.000000OBJ20.0000001.000000OBJ3179.0137021.000000X10.0000000.000000X21008.2191770.000000X30.0000000.000000Y1_0.0000005.000000Y1100000.0000000.000000Y2_0.0000000.000000Y20.0000000.000000Y3_59.6712340.000000Y30.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.0000000.0000004)0.0000000.000000

5)0.000000-1.0000006)0.0000000.0000007)-0.0000040.000000

NO.ITERATIONS=04.2结果分析

根据以上结果，总目标最小值5y1_+4y2+3y3_+2y3=179.0137，X1=0，X2=1008.219177，X3=0，因此，我们可以建议产品II每天平均生产1008件，并且推迟了产品Ⅰ和III的生产，需要进一步调研，再视情况而定是否对产品Ⅰ和III进行生产。Y3_=59.67123说明公司在上决策情况下多余人手59人，一种情况是进行裁员减小公司规模，另一种情况是多余的59人继续留在公司。公司在近几年的发展历程中，不断增加了市场占有额，处于领先地位主要归功于公司拥有一批忠诚且有技术的工人，员工是公司宝贵的资源，因此不能轻易裁员。公司是多样化生产，每年主要生产新产品，同时也可以兼营以往市场较好的旧产品，可以考虑把剩余的59人分配生产其他产品。Y1=100000.000000，说明在此决策情况下公司不仅实现第一级目标450万的利润还能多赢利10万。y2、y2_和y3的值都为0，说明在实施此方案的情形下，第二层次的目标投入资金限制及第三层次目标部分(不裁减员工)都得到了实现[11]。求解结果与公司生产销售情况基本吻合。

5模型的推广

对于一般目标规划决策问题，决策者经常是通过给定目标的目的或者理想值，各目标的权系数或优先权来表示自己的偏好。决策者评价一个方案时，经常选择该方案与目的点或者理想点的“偏差”最小的方案。决策者的目标经常是具有层次性的，假定决策者的目标可分为L个层次，记为p1，p2，pL，在每个等级上有Jl个目标，约定p1优先于p2，

p3，等等，即只有在尽量满足p1等级内目标的前提下，才能考虑实现pl1等级上的目标。一般的线性目标规划模型如下[12,13]：

minplwdwdjjjjl1jJlL

fj(x)djdjfj(j1,2,...,p)

stAxbx0,d0,d0(j1,2,...,p)jj其中：fj为目的，fj(x)为理想点，wj、wj为非负权系数，dj、dj为正负偏差变量。

6结束语

多目标优化问题是实际经济管理中普遍存在并期待解决的问题。在经济管理中决策是一个典型的多目标优化问题，寻求一种好的多目标优化方法进行生产销售，对于提高生产、增大效益有着重要的实际意义[14]。本文的结论可以归为如下三点[15]：

1、建立数学模型说明多目标规划在公司做决策时的具体应用，并根据求解结果对深圳市某电子公司提出建议。

2、推广出求解同类问题多目标规划的一般模型。

3、通常运用LINDO软件求解多目标规划，按优先级一步一步求解，本文改变以往解法，将处于不同优先级的目标函数用不同的变量表示出来，把这些变量按优先顺序依次相加作为新的目标函数，然后在对新的模型直接用LINDO软件求解。

参考文献

[1]赵则民，陈有禄，林有光.运筹学[M].重庆：重庆大学出版社，201*：109[2]徐玖平，胡知能.运筹学数据模型决策[M].北京：科学出版社，201*：60[3]胡运权.运筹学基础及应用[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998：108[4]宋学锋，魏晓平.运筹学[M].南京：东南大学出版社，201*：108

[5]熊俊文.多目标优化方法研究及在工程中的应用[D].广州：华南理工大学应用数学，201*[6]中国注册会计师协会.财务成本管理[M].北京：经济科学出版社，201*：43[7]杨超，熊伟，白亚根.运筹学[M].北京：科学出版社，201*：156-160[8]何坚勇.运筹学基础[M].北京；清华大学出版社，201*：244-249[9]胡运权，郭耀煌.运筹学教程[M].北京：清华大学出版社，201*：114[10]用LINDO、LINGO解运筹学问题.http：//

[11]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，201*：87-89[12]宁宣熙.运筹学实用教程[M].北京：科学出版社，201*：87

[13]陈理荣.数学建模导论[M].北京：北京邮电大学出版社，1999：42-43[14]张莹.运筹学基础.清华大学出版社[M].1995：98

[15]董根宁.几个组合优化问题的研究[D].济南：山东大学数学运筹学与控制论，201*

致谢

本论文是在陈涛老师的悉心指导下完成的，在用软件求解过程中，得到了数学系刘旭东老师的指导及母培松、马琴同学的帮助，还要特别感谢深圳市的这家电子公司的大力支持，为我提供相关数据，在此对他们表示衷心的感谢！

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