二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质

1.二次函数的图像与性质：

解析式a的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点yax22当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的（0，0）x0（0，0）yaxkya(xh)2（0，c）x0（0，k）右侧y随x的增大而增大。2（0，ah）（h，0）xhya(xh)2k当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随22（0，ahk）（h，k）xhyaxbxcx的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。b4acb2（,)2a4abx（0，c）2a

2.抛物线的平移法则：

2（1）抛物线yaxk的图像是由抛物线yax的图像平移k个单位而得到

2的。当k0时向上平移；当k0时向下平移。

2（2）抛物线ya(xh)的图像是由抛物线yax的图像平移h个单位而得到

2的。当h0时向左平移；当h0时向右平移。

2（3）抛物线的ya(xh)k图像是由抛物线yax的图像上下平移k个单位，

2左右平移h个单位而得到的。当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0时向右平移。3.二次函数的最值公式：形如

y最小值yaxbxc的二次函数。当a0时，图像有最低点，函数有最小值

0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值4acb24a；

24acb24a；当a24.抛物线

yaxbxc与y轴的交点坐标是（0，c）

5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。

2yaxbxc的最值问题：

6.二次函数

（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。（2）自变量的取值范围不是一切实数：

自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴比较，再进行求最值。

6.二次函数与一元二次方程的关系：

22yaxbxcaxbxc0的两根。(1)抛物线与x轴的交点坐标的横坐标方程

xb2a,把他与取值范围相

(2)抛物线与x轴的交点个数是由b24ac决定的：

当0时抛物线与x轴有两个交点；当0抛物线与x轴有一个交点；当

0时抛物线与x轴没有点。0时抛物线与x轴有交点。（此定理的逆定理也成

立。）

7.二次函数的三种常用形式：

2yaxbxc

（1）一般式：ya(xh)k（2）顶点式：

2（3）两根式：

ya(xx1)(xx2)

8.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。

扩展阅读：二次函数图象及性质知识总结

二次函数图象及性质知识总结

二次函数概念b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。一般地，形如yax2bxc（a，定义域是全体实数，图像是抛物线解析式图像的性质a0开口a0开口bc为0时yax2向上．向下y轴b为0时yax2c向上向下y轴bc不为0时yax2bxc向上向下对称轴顶点坐标a0时yxb2a00，c0，b4acb2，2a4a有最小值a0时yX=0.时y最小值等于0X=0,时Y最小值等于c4acb2b当x时。y有最小值．2a4a有最大值a0时开口向上a0时开口向下X=0.时X=0,时4acb2b当x时，y有最大值．y最大值等于0Y最大值等于c2a4ax0时，y随x的增大而增大；x0时，b当x时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；y有最小值0．2a当xx0时，y随x的增大而减小；x0时，b时，y随x的增大而增大2ab时，y随x的增大而增大；2ab时，y随x的增大而减小2ay随x的增大而增大；x0时，y有最大值0当x当x图像画法解析式的表示及图像平移利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、顶点、与y轴的交点0，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.与x轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.1.一般式：yax2bxc2.顶点式：ya(xh)2k3.两根式：ya(xx1)(xx2)k；在原有函数的2.平移⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”①yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成22yax2bxcm（或yax2bxcm）②yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

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