二次函数图象及性质知识总结

二次函数图象及性质知识总结

二次函数图象及性质知识总结

二次函数概念b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。一般地，形如yax2bxc（a，定义域是全体实数，图像是抛物线解析式图像的性质a0开口a0开口bc为0时yax2向上．向下y轴b为0时yax2c向上向下y轴bc不为0时yax2bxc向上向下对称轴顶点坐标a0时yxb2a00，c0，b4acb2，2a4a有最小值a0时yX=0.时y最小值等于0X=0,时Y最小值等于c4acb2b当x时。y有最小值．2a4a有最大值a0时开口向上a0时开口向下X=0.时X=0,时4acb2b当x时，y有最大值．y最大值等于0Y最大值等于c2a4ax0时，y随x的增大而增大；x0时，b当x时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；y有最小值0．2a当xx0时，y随x的增大而减小；x0时，b时，y随x的增大而增大2ab时，y随x的增大而增大；2ab时，y随x的增大而减小2ay随x的增大而增大；x0时，y有最大值0当x当x图像画法解析式的表示及图像平移利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、顶点、与y轴的交点0，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.与x轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.1.一般式：yax2bxc2.顶点式：ya(xh)2k3.两根式：ya(xx1)(xx2)k；在原有函数的2.平移⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”①yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成22yax2bxcm（或yax2bxcm）②yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

扩展阅读：二次函数图象知识点总结

专题讲解二次函数的图象

知识点回顾：

1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：

yax2bxc（a、b、c

为常数，a≠0）

2ya(xh)k（a、②顶点式：h、k

为常数，a≠0），其中（h，

k）为顶点坐标。

③交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2bxc0的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2.二次函数

yax2bxc的图象

yax2bxc的图象是对称轴平行于（包括重合）

①二次函数

y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。②任意抛物线

ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过适当

的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画

yax2bxc的图象时，可以先配方成ya(xh)2k的形式，然后将

yax2的图象上（下）左（右）平移得到所求图

2象，即平移法；也可用描点法：也是将yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐

标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数图象2二次函数yaxbxcya(xh)2k（a、h、ka、b、c为常数，a≠0a＞0a＜0为常数，a≠0）a＞0a＜(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线上，并向上无限延下，并向下无限延开口向上，开口向下，伸伸并向上无限并向下无限延伸延伸性(2)对称轴是x＝(2)对称轴是x＝(2)对称轴(2)对称轴b2a，顶点是b4acb，2a4ax2b2a是x＝h，顶是x＝h，顶，顶点是b4acb，2a4a2点是（h，k）点是（h，k））(3)当x＜h（质）（(3)当bb(3)当xhx2a时，2a时，y(3)当y时，y随x时，y随x随x的增大而减随x的增大而增小；当xbbx2a时，2a时，大；当小；当的增大而减的增大而增x＞h大；当x＞hy随x的增大而增y随x的增大而减时，y随x时，y随x大小的增大而增的增大而减大。小(4)抛物线有最低(4)抛物线有最高(4)抛物线(4)抛物线点，当xb2a时，点，当xb2a有最低点，有最高点，时，当x＝h时，当x＝h时，y有最小值y有最大值y有最小值，y最小值4acb24ay有最大值，y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式

yax2bxc化为ya(xh)2k的形式，

顶点坐标为（h，k），对称轴为直线xh，若a＞0，y有最小值，

y最小值ky最大值k当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

b4acb2，4a②公式法：直接利用顶点坐标公式（2axb2a），求其顶

点；对称轴是直线，若

有最大值，

b4acb2a0，y有最小值，当x时，y最小值；2a4a若a0，yb4acb2x时，y最大值2a4a当

5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线

yax2bxc(a≠0)

①当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

②当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当b24ac0时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

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