复变函数复习要点

复变函数复习要点

目录

第一章复数与复变函数………………………………1第二章解析函数………………………………………3第三章复变函数的积分………………………………5第四章解析函数的级数表示…………………………6第五章留数及其应用…………………………………8第八章傅里叶变换……………………………………9第九章拉普拉斯变换………………………………10

第一章复数与复变函数

1．复数的基本概念：复数：，称为复数单位，并规定，与是任意实数，依次称为的实部与虚部，分别表示为。

2．共轭复数：设是一个复数，称为的共轭复数，共轭复数的性质：①②③④⑤⑥

3．复数的四则运算：设，是两个复数，则：①加（减）法：②乘法：③除法：

4．复数的模与辐角：如果是一个不为零的复数，我们把它所对应向量的长度叫做的模，记作；把它所对应向量的方向角叫做辐角。用记号Arg作为的辐角的一般表示，再用arg表示的辐角中介于与之间（包括）的那一个角，并把它称为的主辐角，即

④，，⑤，

6．复数的三角表示：设是一个不为零的复数，是的模，是的任意一个辐角，则：，一个复数的三角表示不是唯一的，因为其中的辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示相等：=，则可推出，，其中为某个整数。7．用复数的三角表示作乘除法：乘法：除法：

8．复数的乘方与开方：设是一个复数，是一个正整数，则：①

②设，则复数开方有：

9．平面曲线：以坐标原点为中心，以为半径的圆周，写成复数的形式为：

10．复变函数：设是复平面上的一个点集，如果对于中任意的一点，有确定的（一个或多个）复数和它对应，则说在上定义了一个复变函数，记作。11．复变函数的极限与连续性：①设函数，则的充要条件是，

②函数在处连续的充要条件是与在处连续

12．在有界闭区域上的复连续函数，具有下列几个性质：①有界闭区域上的连续函数是有界的

②有界闭区域上的连续函数，在上其模至少取得最大值与最小值各一次③有界闭区域上的连续函数，在上是一致连续的

第二章解析函数

1．复变函数的导数：

2．解析函数：如果在及的领域内处处可导,则称在处解析;如果在区域内每一点解析,则称在内解析,或说是内的解析函数;如果在处不解析,则称为的奇点。

３．函数在一点处解析，则一定在该点可导，但反过来不一定成立；函数在区域内解析与在区域内处处可导是等价的。４．解析函数的求导法则：

（１）四则运算法则：设和都是区域上的解析函数，则：①②③

（２）复合函数的求导法则：设，则有：

５．函数解析的充分必要条件：函数在处可导的充分必要条件是在点出可微，且满足柯西－黎曼方程（Ｃ－Ｒ方程）：

６．调和函数：如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。

７．定理：设函数在区域内解析，则的实部和虚部都是区域内得调和函数。８．对于函数，其中的和的求法：

９．初等函数：

（１）指数函数：对于复数，称为指数函数。欧拉公式：性质：①

②设，，则

③是以为周期的函数，即：

④复变量指数函数当趋向于时没有极限（２）对数函数：，令，则：性质：①运算性质：，

②解析性：的各分支在除去原点及负实轴的平面内也解析，且有相同的导数值。（３）幂函数：（为复常数，）

性质：①当为正整数时，，是一个单值函数②当为零时，

③当为有理数（与为互质的整数，）时，④当为无理数或复数时，

（４）三角函数：函数与分别称为复变量的余弦函数与正弦函数，记作与，即：＝；＝

性质：①与均为单值函数

②与均为以为周期的周期函数③为偶函数，为奇函数④；⑤

⑥与在复平面上均为解析函数，且

第三章复变函数的积分

1．定理：设在光滑曲线上连续，则它的积分：

2．设曲线的参数方程为，则解析函数的积分就变成：3．圆的参数方程：，则积分4．复积分的基本性质:①②③

④,其中

5．柯西积分公式：设在简单闭曲线所包围的区域内解析，在上连续，是内任一点，则

6．解析函数的高阶导数：

第四章解析函数的级数表示

1．定理：设，，则的充分必要条件是，

2．复数项级数：，部分和序列：如果极限存在，则称级数是收敛的，称为级数的和；如果没有极限，级数发散

3．定理：级数收敛的充分必要条件是级数和级数都收敛4．定理：级数收敛的必要条件是：；若，则级数必然发散5．定理：如果收敛，则也收敛6．复变函数项级数：7．幂级数：，或者：

8．定理：若幂级数在处收敛，那么该级数对任意满足的都绝对收敛；在处发散，则该级数对任意满足的都发散

9．定理：对幂级数，如果下列条件之一成立：（1）（2），那么级数收敛。

收敛半径：

10．幂级数和函数性质：若幂级数的和函数在收敛圆内解析，则在收敛圆内可逐次求导和逐次积分，即：

11．泰勒级数：设函数在圆盘内解析，则在内的泰勒级数展式为：12．迈克劳林展开式：在泰勒级数的基础上取，则有：13．基本泰勒展式：①②

14．洛朗级数（含有负指数幂）：（①式）它可以分为：（②式）和（③式）

性质：若②式的收敛半径为，则当时，②式绝对收敛；若③式的收敛半径为，则当时，③式绝对收敛，①式的收敛性如下：

（1）若，那么级数②③同时在圆环内收敛，从而级数①在该圆环内收敛；（2）若，级数①处处发散；

（3）若，则级数可能收敛，也可能发散15．定理：设函数在圆环上解析，则在内有：

，其中

第五章留数及其应用

1．孤立奇点：在处不解析，但在的某一个去心邻域内处处解析，则称为的孤立奇点2．孤立奇点的分类：

（1）可去奇点：当时，有，则称为函数的可去奇点，此时洛朗展式为

（2）极点：对于分子式的函数，若该函数的分母的阶导数，使得将孤立奇点代入阶导数后不为零，则称是该函数的阶极点

（3）本性奇点：若得洛朗展式有无限个，，则称为函数的本性奇点3．定理：设在内解析，则是的①可去奇点，②极点③本性奇点的充要条件是：①；②；③不存在也不为无穷大

4．留数：设在内解析，而是的孤立奇点，作圆，称为函数在处的留数，记作即：

5．留数的求法：

（1）当为的可去奇点时，

（2）当为的本性奇点时，只能通过的洛朗展式来求（3）当孤立奇点为的极点时，有：

①如果为的简单极点（一阶极点）时，②若，其中，则有：③如果为的阶极点，则：

6．留数定理：设有有限个孤立奇点：，则：

第八章傅里叶变换

1．定理：设是以为周期的实值函数，且在上满足狄氏条件：①连续或只有有限个第一类剪短点；②只有有限个极值点，则有：其中

2．傅氏积分定理：如果在上的任一有限区间满足狄氏条件，且在上绝对可积（即），则有：

3.①傅里叶变换：②傅里叶逆变换：

4．单位冲击函数（函数）：定义①：定义②5．单位冲击函数的性质：（1）对任意连续函数有：①；②

（2）函数为偶函数，即

（3）相似性质：设为实常数，则有：

（4）函数是单位阶跃函数的导数。单位阶跃函数：6．函数的傅氏变换：

第九章拉普拉斯变换

1．拉普拉斯变换：设函数是定义在上的实值函数，如果对于复参数，积分收敛，则称为的拉普拉斯变换2．若，则

3．拉普拉斯变换存在定理：设函数在上满足下列两个条件：①在任意有限区间上分段连续；②存在常数，使得则函数的拉普拉斯变换存在

4．拉普拉斯逆变换（反演积分公式）：，其中

5．利用留数计算反演积分：若是函数的所有奇点，且当时，有，则有：

扩展阅读：【工程数学】复变函数复习重点

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：zxiy，x,y是实数,xRez,yImz.i21.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：

zxy22

；

2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；

主值argz是位于(,]中的幅角。

3）argz与arctan之间的关系如下：

xy当x0,

argzarctanyx；

yy0,argzarctanx当x0,y0,argzarctanyx；

4）三角表示：z5）指数表示：zzcosisinzei，其中argz。

argz；注：中间一定是“+”

，其中(二)复数的运算1.加减法：若z1x1iy1,z22.乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2

，则

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

z1z2x1iy1x2iy2ix1iy1x2iy2x2iy2x2iy2i2x1x2y1y2xy2222iy1x2y2x1xyz1z22222。

i122）若z1

z1e1,z2z2e,则z1z2z1z2ei12；

z1z2e

3.乘幂与方根1）若z2）若z1nz(cosisin)zez(cosisin)zei，则zn，则

z(cosnisinn)zennin。

izzn2k2kcosisinnn(k0,1,2n1)（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平

面上的一个点集G的映射.

2．复初等函数指数函数：ezexcosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ezez。

注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；

主值：lnzlnziargz。（单值函数）

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz1z；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

乘幂与幂函数：abebLna(a0)；zebbLnz(z0)

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。

三角函数：sinzsinz,cosz在zee2iiziz,coszee2iziz,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinz

平面内解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）

双曲函数shzshz

ee2zz,chzee2zz；

奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz,chzshz。

（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：fz0=limfz0zfz0z；

z02）区域可导：fz在区域内点点可导。2．解析函数的概念

1）点解析：fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析；2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若f(z)在z0点不解析，称z0为fz的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）

仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：

,uyvxuxvy此时，有fzuxivx。

2．函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析

ux,yux和vx,y在x,y在

uyuxiD内可微，且满足

CD条件：

v,yvx；

此时fzvx。

注意：若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在区

域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1．

复变函数积分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲线。

nk1n注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2．复变函数积分的性质

1）fzdzfzdz（c1与c的方向相反）；

cc12）[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数；ccc3）若曲线c由c1与c2连接而成，则fzdzcc1fzdzcf2zdz。

3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：fzdzccudxvdyivdxudy；（常用于理论证明）

c2）参数方法：设曲线c：zzt(t)，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则fzdzcf[zt]z(t)dt。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西古萨基本定理：

设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则fzdz0

c2．复合闭路定理：设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭

曲线，c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以

c1,c2,cn为边界的区域全含于D

内，则

①fzdzcfzdz,其中c与ck1cknk均取正向；

1②，其中由及fzdz0cc(k1,2,n)所组成的复合闭路。3．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，

不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B内解析，Gz为fz在B内的一个原函数，则z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5.柯西积分公式：设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，

c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则fzczz0dz2ifz0

6．高阶导数公式：解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

fzc(zz0)dzn12in!fnz0(n1,2)

其中c为fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。

7．重要结论：

(za)c1n12i,dz0,n0n0。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法cfzdz2）设fz在区域D内解析，

c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，fzdz0

cf[zt]ztdt

c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）设fz在区域D内不解析

fzdz2ifz0czz0曲线c内仅有一个奇点：fz2indzfz0c(zz)n1n!0（f(z)在c内解析）

曲线c内有多于一个奇点：fzdzcnfzdz（ck1ckni内只有一个奇点zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留数基本定理）

ck1若被积函数不能表示成

fzn1(zzo)，则须改用第五章留数定理来计算。

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足

x22y220，(x,y)为D内的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系

解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。

两个调和函数u与v构成的函数f(z)uiv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3．已知解析函数fz的实部或虚部，求解析函数fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知实部uux,y，利用CR条件，得对

vv,xy；

vyux两边积分，得vuxdygx（*）

再对（*）式两边对x求偏导，得

uyvxuyvxudygx（**）xx由CR条件，

，得

udygx，可求出gx；xx代入（*）式，可求得虚部vxdygx。

uu,xu2）线积分法：若已知实部

dvvxdxvyudyyy，利用

CR条件可得

udx，故虚部为dyvxx,yx0,y0uydxuxdyc；

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x0,y0与x,y是解析区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部uux,y，根据解析函数的导数公式和CR条

件得知，fzuxivyuxiuy

将此式右端表示成z的函数Uz，由于fz仍为解析函数，fzUzdzc注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.

（九）复数项级数1．复数列的极限

1）复数列{n}{anibn}（n1,2）收敛于复数limana,nabi的充要条件为

limbnb（同时成立）

n2）复数列{n}收敛实数列{an},{bn}同时收敛。

2．复数项级数

1）复数项级数n(nanibn)收敛的充要条件是级数an与bn同时收敛；

n0n0n02）级数收敛的必要条件是limn0。

n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。

（十）幂级数的敛散性

1．幂级数的概念：表达式cn(zz0)或cnzn为幂级数。

nn0n02．幂级数的敛散性

1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：

如果幂级数cnzn在z00处收敛，那么对满足zz0的一切z，该数绝对收敛；

n0如果在z0处发散，那么对满足zz0的一切z，级数必发散。2）幂级数的收敛域圆域

幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果lim根值法limcn1cn0，则收敛半径R11n；

ncn0，则收敛半径R；

如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则R0；说明仅在zz0或z0点收敛；

注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如cnz2n）

n03．幂级数的性质1）代数性质：

设anz,bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记RminR1,R2，

nn0n0nn则当zR时，(anbn)zanzbnzn（线性运算）

n0n0n0(anzn0nn)(bnz)n0(an0nb0an1b1a0bn)zn（乘积运算）

2）复合性质：设当析且gzr时，fann，当zn0R时，gz解

r，则当zR时，f[gz]an0n[gz]n。

3）分析运算性质：设幂级数anzn的收敛半径为R0，则

n0其和函数fzan0nzn是收敛圆内的解析函数；

在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且fzznan0znn1zR

在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；fzdz0ann1zn1zR

n0（十一）幂函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数fz在圆域

zz0R内解析，则在此圆域内fz可以

n展开成幂级数fzn0fnz0n!zz0；并且此展开式是唯一的。

注：若fz在z0解析，则fz在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径

Rz0a；其中R为从z0到fz的距z0最近一个奇点a之间的距离。

2．常用函数在z01）e2）

z0的泰勒展开式

z2n01n!z1zn2!z33!znn!z

11zzn0n2n1zzzz1

3）sinzn0(1)n(2n1)!(1)nz2n1zz33!z4z55!(1)n(2n1)!n2nz2n1z

4）coszn0(2n)!z2n1z22!4!(1)(2n)!zz

3．解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出cn1n!fnz0，于是fzcnzz0。

n0n2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1.洛朗级数的概念：

ncnzz0n，含正幂项和负幂项。

2．洛朗展开定理：设函数fz在圆环域R1zz0R2内处处解析，c为圆环

域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有

fzncznz0","p":{"h":20.977,"w":5.00fzcm(zz0)mc1(zz0)c0c1(zz0)cm(zz0)m

（十四）孤立奇点的判别方法1．可去奇点：limfzc0常数；

zz02．极点：limfz

zz03．本性奇点：limfz不存在且不为。

zz04．零点与极点的关系

1）零点的概念：不恒为零的解析函数fz，如果能表示成fz(zz0)mz，其中z在z0解析，z00,m为正整数，称z0为fz的m级零点；2）零点级数判别的充要条件：

fz0是fz的m级零点fnmz00,z00(n1,2,m1)

3）零点与极点的关系：z0是fz的m级零点z0是4）重要结论:

若za分别是z与z的m级与n级零点，则za是zz的mn级零点；当mn时，za是

zz1fz的m级极点；

的mn级零点；

当mn时，za是

zzzz的nm级极点；

当mn时，za是的可去奇点；

当mn时，za是zz的l级零点，lmin(m,n)当mn时，za是zz的l级零点，其中lm(n)（十五）留数的概念

1．留数的定义：设z0为fz的孤立奇点，fz在z0的去心邻域0zz0内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称积分

-11-

fzdz为2ic，记作Res[fz,z0]fz在z0的留数（或残留）2．留数的计算方法

12ifzdz

c若z0是fz的孤立奇点，则Res[fz,z]c1，其中c1为fz在z0的

0去心邻域内洛朗展开式中(zz0)1的系数。

1）可去奇点处的留数：若z0是fz的可去奇点，则Res[fz,z]0

02）m级极点处的留数

法则I

若z0是fz的m级极点，则Res[fz,z]01(m1)!zz0dzlimdm1m1[(zz0)fmz]

特别地，若z0是fz的一级极点，则Res[fz,z]lim(zz0)fz

0zz0注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则II设fzPzQzPzQz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,Qz00,Qz00，

Pz0Qz0则Res[,z0]

（十六）留数基本定理

设fz在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,zn外处处解析，c为D内包

围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则cfzdz2iRes[fz,zn]

n1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。

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