函数图像总结

函数图像总结

函数图像总结

一基本函数图像

1y=kx(x≠0)2y=kx+b(k≠0)3y4yax2bxc(a0)5yxa6yxk(k0)xk(k0)7yax(a0,a1)x8ylogax(a0,a1)

二抽象图像平移

f(x）f(x+1)f(x）f(x-1)f(x）f(x)+1f(x）f(x)-1f(x)f(2x)f(x)2f(x)

f(x）f(2x+2)y=f（-x）变成y=f（-x+2）练习：cosxcos2xcos2xcos（2x+4）cosxcos2x+4三图像的变换

1f(x）f(|x|)保留y轴右边的，左边关于右边y轴对称2f(x）|f(x)|保留x轴上方的，下方关于x轴对称3f(x）f(-x）y轴对称4f(x）-f(x)x轴对称5f(x）-f(-x）原点对称

6f(x）f（|x+1|）先根据1方法变成f（|x|）,在向左平移一个单位得到f（|x+1|）7f(x）f（|x|+1）先向左平移一个单位得到f（x+1），再根据1方法变成f（|x|+1）8f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,(y,x)9f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称egf（x）=

2x与g（x）=-

2x

关于对称

一、函数yf(x)与函数yf(x)的图象关系

函数yf(x)的图象是由yf(x)的图象经沿y轴翻折180°而得到的（即关于y轴对称）。注意它与函数yf(x)满足f(x)f(x)的图象是不同的，前者代表两个函数，后者表示函数yf(x)本身是关于y轴对称的。

（二）伸缩变换及其应用：

函数yaf(bx)的图像可以看作是由函数yf(x)的图像先将横坐标伸长(|b|＜1）或缩短(|b|＞1）到原

来的

1倍，再把纵坐标伸长(|a|＞1）或缩短(|a|＜1）到原来的|a|倍即可得到。如：|b|1的图像x1要求：1会画y=|x+1|y=-

2会画f（x）=lg|x|以及f（x）=|lgx|3会画f（x）=|lg|x+1||以及f(x)=

x2-4|x|+5f(x)=|

x2-2x-3|

二1由图像可知f（x+1）为偶函数对称轴为2由图像可知f（x+1）为奇函数关于点（，）对称Eg、对a，bR，记max{a，b}＝(A)0(B)

a,ab，函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是

b,a＜b13(C)(D)3

901（选讲）1、yf(x)绕原点顺时针方向旋转；yf（x）12、yf(x)；yf（x）绕原点逆时针方向旋转9000

yQP(a,b)(yf(x)yQ1xP1(b,a)(yf1(x))P(a,b)(yf(x)0P1(b,a)1

(yf(x))0（乙）

x（甲）

（图五）

0说明：关于绕原点旋转180的变换实际上就是关于原点对称的问题。

例2、（1）函数y=f(x)与函数y=f(a－x)的定义域均为R(a为常数),这两个函数的图象()(A)关于y轴对称，(B)关于x=a对称，(C)关于x

a

对称，(D)关于x=2a对称。

扩展阅读：高中初等函数图像性质总结

高中函数图像性质总结

一、指数函数yax(a0且a1)

1、指数函数的图象和性质

yax01图象定义域值域性质定点R(0,+∞)过定点（0，1），即x=0时，y=1（1）a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，01。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性yax和yax关于y轴对称

2、第一象限：底数越大，图像越高

二、ylogax1、对数函数的图象和性质

ylogax图象01定义域值域(0,+∞)R（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）同正异负，即01,x>1时，logax>0；01或a>1,01时，a越大，图像越靠近x轴；当0四、一元二次函数

解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a顶点对称性2、一元二次函数表达式形式：b4ac－b2(－，)2a4a图象关于直线x＝－成轴对称图形2ab顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k，定点坐标（h,k）

分解式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2),一元二次方程的两根为x1，x2一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)．

1.一次函数(包括正比例函数)

最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无

平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：

题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函数

在平面直角坐标系上的图象为双曲线。定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）奇偶性：奇函数周期性：无解析式：y=1/x

4.幂函数y=x^a①y=x^3定义域：R值域：R

奇偶性：奇函数周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称后得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象）②y=x^(1/2)

定义域：[0，正无穷）值域：[0，正无穷）

奇偶性：无（即非奇非偶）周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转90°，再去掉y轴下方部分得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象）

5.指数函数在平面直角坐标系上的图象（太难描述了，说一下性质吧……）

恒过点（0，1）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1则函数在定义域上单调减。定义域：R

值域：（0，正无穷）奇偶性：无周期性：无解析式：y=a^xa＞0

性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数。

*对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数。

6.对数函数

在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称。

恒过定点（1，0）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1则函数在定义域上单调减。定义域：（0，正无穷）值域：R奇偶性：无周期性：无

解析式：y=log(a)xa＞0

性质：与对数函数y=a^x互为反函数。

7.三角函数

⑴正弦函数：y=sinx

图象为正弦曲线（一种波浪线，是所有曲线的基础）定义域：R值域：[-1，1]奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为2π对称轴：直线x=kπ/2(k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）

⑵余弦函数：y=cosx

图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。定义域：R值域：[-1，1]奇偶性：偶函数

周期性：最小正周期为2π对称轴：直线x=kπ(k∈Z）中心对称点：与x轴的交点：（π/2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函数：y=tgx

图象的每个周期单位很像是三次函数，很多个，均匀分布在x轴上。定义域：{x│x≠π/2+kπ}值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为π对称轴：无

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）。

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