二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质

一、二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。二、二次函数的解析式三种形式

1一般式：；2顶点式：ya(xh)2k（a≠0），

顶点坐标为（，），对称轴是。

3两点式：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则

ya(xx1)(xx2)对称轴为直线xx1x2。2三、二次函数yax2bx+c（a≠0）的图象与性质二次函数1．开口大小。由决定，越大，开口越。2．开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a

若交点在X轴的上方，则c0；若交点在X轴的下方，则C0；（3）b的符号由对称轴来确定：

b0知a、b同号；2ab若对称轴在Y轴的右侧,由0知a、b异号。

2a对称轴在Y轴的左侧,由7.缺项二次函数的特征

2（1）抛物线yax（a≠0）的顶点在Y轴上时抛物bx+c线关于轴对称，=0；解析式为。

2（2）抛物线yax（a≠0）经过原点，则=0；bx+c解析式为。

2（3）抛物线yax（a≠0）顶点在原点，则b=bx+cc=，解析式为。8.抛物线的平移和轴对称．

左右平移在括号,记上反符号上下平移在末梢

（1）抛物线yax2bx+c上（下）平移n(n0)个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为；

（2）抛物线yax2bx+c左（右）平移n(n0)个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为。

2（3）抛物线yax关于x轴对称的抛物线解析式bx+c是

（方法是将原yax2bx+c解析式中的不变，把转换为，再整理）

2④物线yaxbx关于y轴对称的抛物线解析式是+c（方法是将原解析yax2bx+c式中的不变，把转

换为，再整理）

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二次函数的图像和性质

1.二次函数的图像与性质：

解析式a的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点yax22当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的（0，0）x0（0，0）yaxkya(xh)2（0，c）x0（0，k）右侧y随x的增大而增大。2（0，ah）（h，0）xhya(xh)2k当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随22（0，ahk）（h，k）xhyaxbxcx的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。b4acb2（,)2a4abx（0，c）2a

2.抛物线的平移法则：

2（1）抛物线yaxk的图像是由抛物线yax的图像平移k个单位而得到

2的。当k0时向上平移；当k0时向下平移。

2（2）抛物线ya(xh)的图像是由抛物线yax的图像平移h个单位而得到

2的。当h0时向左平移；当h0时向右平移。

2（3）抛物线的ya(xh)k图像是由抛物线yax的图像上下平移k个单位，

2左右平移h个单位而得到的。当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0时向右平移。3.二次函数的最值公式：形如

y最小值yaxbxc的二次函数。当a0时，图像有最低点，函数有最小值

0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值4acb24a；

24acb24a；当a24.抛物线

yaxbxc与y轴的交点坐标是（0，c）

5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。

2yaxbxc的最值问题：

6.二次函数

（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。（2）自变量的取值范围不是一切实数：

自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴比较，再进行求最值。

6.二次函数与一元二次方程的关系：

22yaxbxcaxbxc0的两根。(1)抛物线与x轴的交点坐标的横坐标方程

xb2a,把他与取值范围相

(2)抛物线与x轴的交点个数是由b24ac决定的：

当0时抛物线与x轴有两个交点；当0抛物线与x轴有一个交点；当

0时抛物线与x轴没有点。0时抛物线与x轴有交点。（此定理的逆定理也成

立。）

7.二次函数的三种常用形式：

2yaxbxc

（1）一般式：ya(xh)k（2）顶点式：

2（3）两根式：

ya(xx1)(xx2)

8.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。

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