二次函数图像和性质第一课时

二次函数图像和性质第一课时

学习目标知识与技能

1．学会画二次函数y=ax2的图象，初步认识抛物线2．掌握形如y=ax2(a≠0)的抛物线的特征过程与方法

1．学生经历探索描点法画二次函数的图象，体会抛物线的特征，通过列表、描点的过程，体验数形结合的思想

2．教师用电脑现场画图，通过对比同一坐标系内多条函数图像，总结归纳抛物线y=ax2的性质。情感、态度和价值观

1．动画演示投射炮弹，让学体会抛物线名称来源于实际2．体会抛物线的对称美学习重点

画二次函数y=ax2(a≠0)的图象并理解其性质。学习难点

理解二次函数y=ax2(a≠0)的最高（或最低）点，最大（或最小）值等性质。教学准备

教具：多媒体课件；学具：每人一张学案教学流程

一、提出问题导入新课

一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么呢？通常如何画函数的图象呢？今天我们共同来探讨一下二次函数y＝ax2的图像和性质。（板书课题）

二、动手操作合作探究

1、画一般函数图像的步骤是什么呢？（列表、描点、连线）

2、师生共同画函数y=-2x2的图像

教师用电脑操作、学生在坐标纸上跟随老师一步一步操作。3、电脑动态演示炮弹投射过程并讲述相关概念（抛物线、顶点）

4、学生动脑思考，初步感知抛物线的特征：关于y轴对称，开口方向向下。三、再探图象明确性质

11、教师用电脑在直角坐标系内画图。（y=2x2,y=x2,y=8x2）

22、学生观察，从a的取值、顶点、对称轴、开口方向上总结抛物线的性质。3、教师用电脑在直角坐标系内画图。（y=－2x2,y=－

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x,y=－8x2）24、学生观察，从a的取值、顶点、对称轴、开口方向上总结抛物线的性质。四、知识归纳构建体系

1、小组交流，归纳总结抛线的性质2、小组代表汇报，老师梳理并板书性质五、新知应用深化理解从三个深度对学生加以考评1、直接运用性质⑴、口答

①函数y=3x2的开口方向________，对称轴________顶点坐标_________。

②函数y=－4x2图像是_____，开口方向_____对称轴是______，顶点坐标是______。2、理论升华性质

比较二次函数y=3x2与y=－x2相同点与不同点。3、整体把握二次函数

已知函数y=(a+1)xa是二次函数，且其开口向下，则a=______六、归纳小结布置作业

一、导入（前面我们已经学过一次函数和反比例函数，今天我又给大家带来了一个新的朋友二次函数。（进入新课）

1、（课件），让学生了解二次函数的概念。根据概念来判断我所写的函数是不是二次函数。2、（板书）二次函数并让学生识别

①y=－x2②y=3x2③y=－8x2④y=x2⑤y=－3x2⑥y=8x2

3、一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是双曲线，二次函数的图像是什么形状呢？二、新授（我们就来画一下y＝－2x2的图像，画一般函数图像的步骤是什么呢？下面我们就来用描点法画函数图像）

4、应用电脑用描点法画y＝－2x2的图像，（点击画图）用动画演示抛物线的由来，并介绍相关概念（抛物线、对称性、顶点）。（所以我们在画图像的时候要在对称轴左右描点，这就要求我们在列表时自变量的取值应在0左右分别取有代表性的值。）

5、学生用描点法画函数y＝2x2的图像，学生回答抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。6、利用你所得到的结论，判断①y=－x2②y=3x2的性质。电脑直接画函数图像。①y=－x2②y=3x2③y=－8x2④y=x2⑤y=－3x2⑥y=8x2

7、抛物线都有哪些性质呢？学生交流探究抛物线的性质。学生口述，教师梳理板书。三、练习8、巩固练习。四、小结

9、小结10、作业。

扩展阅读：二次函数图像和性质练习题1

二次函数图像和性质1

一、选择题

1．已知二次函数y＝Ax2＋Bx＋C的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞0

(第10题)

2．如图5，已知抛物线yx2bxc的对称轴为x2，点A，B均在抛物线上，且AB

与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为

yx=2ABOx图5

A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）

3．函数yaxb和yax2bxc在同一直角坐标系内的图象大致是()

4．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（）

A．b=3，c=7B．b=6，c=3C．b=9，c=5D．b=9，c=215．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是A．ab＜0B．ac＜0

C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小

D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。

6．已知函数y1＝x2与函数y2＝－

围是（）．

1x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范2

A．－

333＜x＜2B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜2222D．x＜－2或x＞

327．若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E（x，x2x1）可以由E（x，x）怎样平移得到？A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位8．已知抛物线yax2bxc（a＜0）过A（2，0）、O（0，0）、B（3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是

A．y1＞y2

B．y1y2

C．y1＜y2D．不能确定

29．下列函数：①y3x；②y2x1；③y1x0；④yx22x3，其中xy的值随x值增大而增大的函数有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

22

10．设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax+bx+a-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（）yyyy－1O1x－1O1xOxOx

A.6或－1B.－6或1C.6D.－1

11．已知函数y3(xm)(xn)，并且a,b是方程3(xm)(xn)0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是

mabnB．manbC．ambnD．amnbA．

12．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为

13．定义[a,b,c]为函数yaxbxc的特征数,下面给出特征数为[2m，1m,1m]

的函数的一些结论：

①当m=3时，函数图象的顶点坐标是(

218，)；333；2②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于③当m<0时，函数在x>

1时，y随x的增大而减小；4④当m0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④14．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四

边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）

ADBC

(第10题)

B．yA．y22x25422xC．yx2255D．y42x515．已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：

①b24ac0；②abc0；③8ac0；④9a3bc0．其中，正确结论的个数是

（A）1（C）3y（B）2（D）4

21Oxx1第（15）题

16．将抛物线y2x212x16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．y2x12x16B．y2x12x16C．y2x12x19D．y2x12x20

17．y=x＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）。A．a=5B．a≥5C．a＝3D．a≥3

18．已知二次函数yxbxc中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点

22

22A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，当03．已知抛物线y12xbx经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定2一点D,使得ADCD的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

4．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.

12yx1上运动，当⊙P与x轴相切5．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线

2时，圆心P的坐标为▲.

6．如图，抛物线yaxc(a0)交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧。BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C。

四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为。

2

7．（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2=▲；（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝▲．

yyx

y2PO

三、解答题

x

1．（201*江苏泰州）如图，二次函数y129xc的图象经过点D3,，与x轴交22于A、B两点．

⑴求c的值；⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2．（201*福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．AHEF

（1）求证：＝；

ADBC

（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

(第21题)

第21题图1

3．如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，1

OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．、

(第3题图1)(第3题图2)

4．如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线

一定过点E；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一

动点，求△CMN面积的最大值．

yDCEAOBx=4x

5．（201*湖南邵阳）如图，抛物线y＝12xx3与x轴交于点A、B，与y轴相交于点4C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。（1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；②若r=45，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存5在，请说明理由．

第5题图

6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

yPAODBQxC27．如图，二次函数yxaxb的图象与x轴交于A(,0),B(2,0)两点，且与y轴交

12

于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

第7题图8．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)．(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知抛物线yaxbxc(a0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y25作垂线，垂足为M，连FM（如图）.434（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求

出t值，若不存在请说明理由.

10．(已知二次函数yax2bxc的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

第10题图

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

BE→F→C2yQOMCPBANx

ADG12．如图1，抛物线y1ax2axb经过点A（－1，0），C（0，

3）两点，且与x轴2的另一交点为点B．

（1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=

2y2，求y2于x的函数关系式，并且直接写出2自变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．图2

图1

13．已知一次函数y＝

1x1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数211yx2bxc图象与一次函数y＝x1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E22两点且D点的坐标为(1,0)

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，

求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

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