二次函数图表总结

二次函数图表总结

y＝ax图象2a>0ay＝ax+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(x-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=ax2+k

上下平移

y=a(xh)2+k

上下平移

y=a(xh)2左右平移

y=ax2

一般地,抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2的形状相同,位置不同。

2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

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二次函数单元总结

【知识归纳和总结】一、知识网络

二次函数的定义yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函数的图像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函数

二次函数的性质开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积、利润等二、知识要点分布

1.二次函数的定义：形如yax2bxc(a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。任何一个二次函数的表达式都可以化为yax2bxc的形式，这就是二次函数的一般形式。2.二次函数表达式的几种形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。y=a(x+h)2+k；

3.二次函数表达式的形式及对称轴、顶点坐标。

（1）一般式：yaxbxc(a、b、c为常数，a0），其对称轴为直线x=-2b，顶点2ab4ac-b2坐标为-,。2a4a（2）顶点式：y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，a0），其对称轴为直线x=-h，顶点坐标为-h,k。

（3）交点式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的两个根。

4.二次函数图像之间的平移关系

1

向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a对称轴顶点坐标直线x=-b2a直线x=-b2ab4ac-b2-,2a4a当x-小；当x-大；b4ac-b2-,2a4a当x-大；性质增减性b时，y随x的增大而减2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而减2a当x-小；最值当x=-b时，y有最小值，2a当x=-b时，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具体了。

7.抛物线的平移与解析式的变化。抛物线上最重要的点是它的顶点，最重要的线是它的对称轴，抛物线的平移首先表现为对称轴和顶点的平移。在抛物线y=ax-h+k中，令x-h=0易得对称轴为直线x=h，抛物线向右（左）平移则对称轴也向右（左）平移，h的值将随之增大（减小），反之也成立；抛物线上（下）平移，对称轴不会改变，即顶点的横坐标h的值不变，但顶点的纵坐标k的值将随之增大（减小），反之也成立。抛物线的平移不会改变抛物线的形状，即a不变。在抛物线y=ax2+bx+c中研究平移是很不方便的，要先将y=ax2+bx+c的形式转化成

2y=a(x-h)2+k再研究。

抛物线平移的题型一般有以下几种：

（1）已知抛物线的解析式，求平移后抛物线的解析式。

例1将抛物线y=-3(x-1)2-3先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为。

（2）已知平移后抛物线是解析式，求原抛物线的解析式。

例2将抛物线y=a(x-h)2+k先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后所得抛物线为

y=-12x+2-3，则原抛物线的解析式为。222（3）已知平移前后抛物线的解析式，求平移的方式。

例3将抛物线y=-2x-2-5经过怎样的平移，可得抛物线y=-2x+4+3？

8、图像共存问题的解法

解决此类问题的关键是分析两函数的解析式有什么共同的特点，从这些特点入手，在利用抛物线的顶点位置和开口方向、双曲线所在象限、直线所在象限加以判断，决定取舍。例函数y=ax与函数y=ax+a在同一直角坐标系中的图像大致为（）

A、B、C、D、

2

9、抛物线的对称性的妙用。

二次函数的图像是一条抛物线，其具有轴对称性。若设抛物线上两个对称点的坐

x+x标为x1,y1、x2,y2，则一定有y1=y2，且该抛物线的对称轴为直线x=12，利用它

2可以简便、快捷地解决相关问题。

例：二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：

xy……-37-200-81-93-557……二次函数y=ax2+bx+c的图形的对称轴为直线x=；x=2对应的函数值

y=。

【典型例题分析】

题型一利用图像求二次函数y=ax2+bx+c的增减性例1已知二次函数y=-12x+x+4。2（1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；

（2）x为何值时，y有最大（小）值？（3）求出抛物线与两坐标轴的交点；

1（4）画出函数图形的草图，并说明该图像是y=-x2经过怎样的平移得到的；

2（5）根据图像回答，当x取何值时，y>0？y=0？y

题型三二次函数与几何知识的综合应用

例3如图所示，某场地为一直角三角形，已知∠C=90°，AC=6m，BC=12m，现在要对四边形ABPQ进行装修，装修费为50元/m，且四边形ABPQ的边AQ为PC的一半，问怎样设计四边形ABPQ才能使装修费最少？

2B

例4如图所示，二次函数y=-x2+ax+b的图形与x轴交于

PCQA1A-,0、B2,0两点，且与y轴交于点C，求该抛物线的解析2式，并判断△ABC的形状。

题型四二次函数与其他函数的综合应用

例5二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，反比例函数y=在同一坐标系中的大致图像可能是（）

2a与正比例函数y=b+cxxA、

B、

C、

D、

题型五二次函数在生活、生产中的应用

例6王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好。某一天他利用30分钟时间进行自主学习。假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间。

（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x的函数解析式，并写出自

变量x的取值范围；

（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数解析

式；

（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量

最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

y4O2x甲

例7甲车在弯路做刹车试验，收集到的数据如下表所示：速度x/（kmh）10510152025…刹车距离y/m034215416354…（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在如图

所示的坐标系中画出刹车距离y（m）与速度x（kmh）的函数图像，并求函数的解析式；

（2）在一个限速为40kmh的弯路上，甲、乙两车相向而行，

同时刹车，但还是相撞了，事后测得甲、乙两车刹车距离分别为12m和10.5m，又知乙车刹车距离y（m）与速度x（km/h）满足函数y析相撞原因。

11x，请你就两车速度方面分4

题型六二次函数与图形变换相结合

例8如图所示，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，ab，且a、b是方程

8-4x2x+3+=1的两个根。P是BC上一动点，动点Q在PC或

x(x+5)x+5其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS。点P从B点开始沿射线BC方向运动。设BP=xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为ycm。

（1）求a、b的值；

（2）分别求出0x2和2x4时，y与x之间的函数关系

式。

2SADRBPCQ

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