一元二次函数的图像和性质

一元二次函数的图像和性质

3.4一元二次函数的图象和性质

复习目标1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征

2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

知识回顾1．函数yax2bxc(a0)叫做一元二次函数。2.一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数yax2bxc(a0)都可把它的解析式配方为顶点式：

b2a4acb4a2ya(x)2，

性质如下：

（1）图象的顶点坐标为(（2）最大（小）值

①当a0，函数图象开口向上，y有最小值，ymin4acb4a4acb4ab2a2b2a,4acb4a2)，对称轴是直线xb2a。

2，无最大值。

②当a0，函数图象开口向下，y有最大值，ymax（3）当a0，函数在区间(,当a0，函数在区间上(b2ab2a)上是减函数，在(，无最小值。

,)上是增函数。b2a)上是增函数。

,)是减函数，在(,【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；

但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y【解】y12212x4x6的图象

12(x8x12)

22x4x12[(x4)22-4]12(x4)22-2

以x4为中间值，取x的一些值，列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函数yx24x3的图象。【解】yx24x3(x24x3)[(x2)27][(x2)27

先画出图角在对称轴x2的右边部分，列表

xy-2-176051423

【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；

(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质

【例3】求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】yx26x2x26x97(x3)27

由配方结果可知：顶点坐标为(3，7)，对称轴为x3；10∴当x3时，ymin7

函数在区间(，3]上是减函数，在区间[3，)上是增函数。

【例4】求函数y5x3x1图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

b2a32(5)3104acb4a,2922，

33104(5)134(5)292022920

∴函数图象的顶点坐标为(50∴当x函数在区间(,3101020)，对称轴为x

2920时，函数取得最大值ymaz

]上是增函数，在区间[3,)上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例3

(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式：ya(x三、二次函数性质的应用

【例5】(1)如果f(x)x2bxc对于任意实数t都有f(3t)f(3t)，那么（）

（A）f(3)f(1)f(4)（C）f(3)f(4)f(1)

（B）f(1)f(3)f(4)（D）f(4)f(3)f(1)

b2a)24acb4a2(a0)

【解】∵f(3t)f(3t)对于一切的tR均成立

∴f(x)的图像关于x3对称又a10∴

抛物线开口向上。

∴f(3)是f(x)的最小值。

1343，

∴f(3)f(4)f(1)

(2)如果f(x)x2bxc对于任意实数t都有f(2t)f(2t)，则f(1)

f(1)。(用“”或“”填空)

【解】∵f(2t)f(2t)对于一切的tR均成立

∴f(x)的图像关于x2对称又a10

∴

抛物线开口向下。

1(2)1(2)，

∴f(1)f(1)

【点评】1.当a0时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。如例5(1)中当x1所对应的点比当x4所对

应的点离对称轴远，所以x1时对应的函数值也比较大。

2．1.当a0时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。如例5(2)中当x1所对应的点比当x1所对应的点离对称轴远，所以x1对应的函数值也比较小。【例6】求函数yx2x5在给定区间[1,5]上的最值。

【解】（1）原函数化为yx22x5x16

2∵a10∴当x1时，ymin6

又∵1151∴当x5时，ymax(51)2610

（2）原函数可化为：y(x13)2109，图象的对称轴是直线x13

注意到当1x2时，函数为减函数∴yminf(2)2223214431133

【例7】已知函数y(n2)x2nx1是偶函数，试比较f(2)，f(2)，f(5)的大

小。

【解】解法一：∵y(n2)x2nx1是偶函数，

∴n0,∴y2x21

∴可知函数的对称轴为直线x0又∵a20，

502020

∴f(2)f(2)f(5)

解法二：∵y(m1)x22mx3是偶函数，

∴n0,∴y2x21

可知y2x1在(0,)上单调递减

22又∵y(n2)xnx1是偶函数，∴f(5)f(5)

而52

2

∴f(2)f(2)f(5)∴f(2)f(2)f(5)

三、一元二次函数、一元二次方程的关系。

【例8】求当k为何值时，函数y2x4xk的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)

有两个公共点；(3)没有公共点.

【解】令2x4xk0，则2xxk0的判别式b4ac168k

22(1)当0，即168k0，k2时，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只

有一个公共点；(2)当0，即168k0，k2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴

有两个公共点；(3)当0，即168k0，k2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴

无公共点；

同步训练一．选择题

1．二次函数yx22x5的值域是（）

4］Ｄ．(,　Ａ．［4，　)Ｂ．(4,　　)Ｃ．(，　　4)

2．如果二次函数y5x2mx4在区间(,1)上是减函数，在区间[1,)上是增函数，则m（）

Ａ．2Ｂ．-2Ｃ．10Ｄ．-10

3．如果二次函数yx2mx(m3)有两个不相等的实数根，则m的聚值范围是（）Ａ．(,2)(6,)Ｂ．(2,6)Ｃ．[2,6)0Ｄ．{2,6}4．函数y12xx3的最小值是（）

12.Ｃ．3Ｄ．312.

2Ａ．-3.Ｂ．35．函数y2x24x2具有性质（）

Ａ．开口方向向上，对称轴为x1，顶点坐标为（-1，0）

Ｂ．开口方向向上，对称轴为x1，顶点坐标为（1，0）Ｃ．开口方向向下，对称轴为x1，顶点坐标为（-1，0）Ｄ．开口方向向下，对称轴为x1，顶点坐标为（1，0）6．下列命题正确的是（）Ａ．函数y2x6x3的最小值是

2232Ｂ．函数y2x6x3的最小值是

22154

Ｃ．函数yx4x3的最小值为7Ｄ．函数yx4x3的最大值为77．函数（1）y2x4x3；（2）y2x4x3；（3）y3x6x3；（4）

2y3x6x3中，对称轴是直线x1的是（）

222Ａ．（1）与（2）Ｂ．（2）与（3）Ｃ．（1）与（3）Ｄ．（2）与（4）8．对于二次函数y2x8x，下列结论正确的是（）

Ａ．当x2时，y有最大值8Ｂ．当x2时，y有最大值8

Ｃ．当x2时，y有最小值8Ｄ．当x2时，y有最小值89．如果函数yax2bxc(a0)，对于任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么下列选项中正确的是（）

Ａ．f(2)f(1)f(4)Ｂ．f(1)f(2)f(4)Ｃ．f(2)f(4)f(1)Ｄ．f(4)f(2)f(1)10．若二次函数ya2x24x1有最小值，则实数a＝（）Ａ．2Ｂ．二．填空

1．若函数f(x)2x2x1，则f(x)的对称轴是直线2．若函数y2x2bx3在区间(,2]上是减函数，在区间(2,]是增函数，则b3．函数y2x23x9的图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是、4．已知y9x26x6，则y有最值为5．已知y4x228x1，则y有最值为三．解答题

1．已知二次函数yx24x3，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x为何值时y0；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2.如果二次函数f(x)xkx(k8)与x轴至多有一个交点，求k的值。

3．已知二次函数f(x)x2(m1)2mm，（1）如果它的图象经过原点，求m的值。

（2）如果它的图象关于y轴对称，写出函数的关系式。

（3）如果它的图象关于y轴对称，试比较f(2)、f(3)、f(2)。

2222Ｃ．2Ｄ．

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