复变函数小结

复变函数小结

复变函数小结

关于前两章复数和解析函数部分这里不再总结。复数一块掌握复数表示的三种形式和相关运算。解析函数一块关键是要掌握C-R方程和解析及可导的判断，掌握指数函数、对数函数、幂函数的计算及性质。复变函数积分1参数方程。

2柯西积分定理(条件：f(z)在单连通区域内解析)。

推论1:积分与路径无关。(可使用原函数的方法)推论2:闭合曲线上的积分为0。.

3复合闭路定理(条件:在多连通内及边界上解析)4高阶导数公式(条件:在单(多)连通内及边界上解析)

说明了解析函数区域内部的点处的值可以由边界处的值决定；解析函数具有任意阶导数，各阶导函数仍解析。

级数

1复数数列收敛的充要条件:实部、虚部数列均收敛。

2复数项级数收敛的充要条件:实部、虚部实数项级数均收敛。3绝对收敛与条件收敛。判断绝对收敛的步骤:

实部虚部分离。直接取模。

判断收敛的一般方法：收敛的必要条件、比较判别法、比值判别法或根值判别法。一般是先判断是否为绝对收敛，再判断是否条件收敛(注意莱布尼兹判别法的使用)。4幂级数敛散性判断及收敛半径的求法：阿贝尔定理(不缺项)、比值判别法(缺项)5泰勒级数(记住常用的泰勒级数:exp(x),Ln(x),1/(1-x),sin(x),cos(x)…)6洛朗级数

洛朗级数存在条件：f(z)在圆环域内r重点记忆：

傅利叶变换及其逆变换的定义。

单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。单位阶跃函数u(t)的傅氏变换。正余弦函数的傅氏变换。

e的傅氏变换。

傅氏变换的线性性质(注意tf(t)的傅氏变换为-F’(s)/i)、位移性质(两个公式)、微分性质、积分性质。

卷积的定义、计算公式、卷积定理(两个公式)注：计算卷积要注意成立区间的讨论。拉普拉斯变换重点记忆：

拉普拉斯变换及其逆变换的定义。单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。幂函数tm的拉氏变换。

单位阶跃函数u(t)的拉氏变换。

指数函数e的拉式变换。正余弦函数的拉氏变换。拉氏变换的线性性质、位移性质(两个公式，其中一个个公式也叫延迟性质)、微分性质(注意tf(t)的拉普拉斯变换为-F’(s))、积分性质(注意f(t)/t的拉式变换)。卷积的定义、计算公式、卷积定理。

掌握用反演积分公式计算f(t)。

注：求解拉式逆变换的三种方法：直接法、卷积、留数。掌握用拉式变换法求解微分方程。

kt

iwt

扩展阅读：《复变函数》总结

复变小结

1.幅角（不赞成死记，学会分析）

yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA

c.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。

d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程

a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。

b.柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:复数转换成三角的定义。d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)

e.幂函数：底数为e时直接运算（一般转换成三角形式）当底数不为e时，w=za=eaLnz(幂指数为Ln而非ln)

ieeii,,e能够区分：,i的计算。

f.三角函数和双曲函数：

eizeizeizeizcos只需记住：z,sinz.

22i

其他可自己试着去推导一下。

eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i

反三角中前三个最好自己记住，特别ArctgziLn1iz

21iz因为下一章求积分会用到5.复变函数的积分

(arctanz),1z21(如第三章的习题9)a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）例如:zdz与路径无关。而zdz与路径有关。

ccb.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D内解析且在闭区域上连续时：

重要公式

f(z)dz0C2πi,n0,dzn1

(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：

1f(z)

dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)

d.调和函数：

22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy

一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。6.级数

(x,y)调和:2a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。

c.幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）

d.泰勒级数：n0

f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.

n!五个重要初等函数展开式：

2znez1zz.(4.8)2!n!

2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)

z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!

(4.11)

其余可由式：

11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推导。（注意各展开式的[z]取值范围）

e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z的负次数方幂。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。（即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）f.零点，奇点，极点

零点:即使得函数f(z)=0的点。奇点：即使得函数f(z)无意义的点。（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。可去奇点：即洛朗展开式中不存在Z的负次数方幂。本性奇点：即展开式中存在Z的负无穷次方幂。一般奇点：即展开式中存在Z的有限次负次数方幂。极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。

（奇点容易判断，极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）P84定理4.22：极点和零点的关系。7.留数

a.留数定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数（没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）

f(z),b.利用留数定理求积分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n有些情况下利用留数和定理：

Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解

11特殊转换：Res[f(z),]Resfzz2,0c.用留数计算实积分：

2π

0R(cos,sin)d形如：的积分，一般令z=ei

使用条件：R(x,y)变量x，y的有理函数，并且在单位圆上分母不为零。

形如R(x)dx的积分

使用条件：函数R(x)是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时,积分是存在的.

形如：

eixf(x)dx的积分

使用条件:其中f(z)在Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且当z在Imz≥0上时P104引理5.3中（5.15）式成立。（具体理解大家可参考课本中的例题）老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3

P26-例、P33-1P55-7（1、2）、相关例子P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）P113-5、相关例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相关例子

以上基本上是理论的东西。有些东西仅为个人理解，如有问题可提出来。例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。复变看书是作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。

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