复变函数与积分变换总结

复变函数与积分变换总结

第二章小结

本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质,主要知识点有

一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导

1.解析与可导的关系：

区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念

2.一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等

3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法(1).可导定义

(2).转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论a.判断可导：可微性、C-R方程

b.求导：f"(z)uvixx4.形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：

拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数

二、与初等函数有关的问题及要求

1.熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式2.高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别

ez仅是一个记号、指数函数的周期为2ki(kZ)；负实数的对数有意义、

LnznLnz,Lnz1nn1n在复数范围内不再成立；abebLna(a0)；Lnzsinz1,cosz1在复数范围内不再成立

三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤

1.根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用e或e表示2.整理为关于e或e的一元二次方程后并配方、开方3.利用方程ez解的公式得原方程解公式例求解方程shzi

wizzizz

扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：zxiy，x,y是实数,

xRez,yImz.i21.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：zx2y2；

2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz与arctany之间的关系如下：

xy；xyxyx当x0,

argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan；

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：z(二)复数的运算

1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22.乘除法：

1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

zei，其中argz。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2,

。

2）若z1则

z1z2z1z2e1i2；z1z2z1z2e1i2

3.乘幂与方根1）若z2）若zn1nz(cosisin)zei，则znz(cosnisinn)zeinnn。

z(cosisin)zei，则

2k2kzzcosisinnn(k0,1,2n1)（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数

1）指数函数：ezexcosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ezez。

注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；

主值：lnzlnziargz。（单值函数）

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处

解析，且lnz1；

z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。

eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4）三角函数：sinz2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）

4）双曲函数

shzezezezezshz,chz22；

平面内解析，且

奇函数，chz是偶函数。在sh,zchzzshzc,hzchz。shz

（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：

fz0=limfz0zfz0zz0；

2）区域可导：fz在区域内点点可导。2．解析函数的概念

1）点解析：fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析；2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若f(z)在z0点不解析，称z0为fz的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：

uvyxuv,xy此时，有fzuiv。

xx2．函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析

ux,y和vx,y在x,y在

uv；yxD内可微，且满足

CD条件：

uv,xy此时fzuiv。

xx注意：若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）

3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1．复变函数积分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲线。nk1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）2）

nfzdzccc1fzdz（c1与c的方向相反）；

cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数；

123）若曲线c由c1与c2连接而成，则cfzdzcfzdzcfzdz。

3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：

zzt(t)，其中对应曲线c的起

点，对应曲线c的终点，则cfzdz[f)。tdtz]t(z（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西古萨基本定理：设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

fzdz0

c2．复合闭路定理：设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn为边界的区域全含于D内，则

fzdz,其中c与ck均取正向；①fzdzk1cckn1②fzdz0，其中由c及c(k1,2,n)所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B内解析，Gz为fz在B内的一个原函数，则zz21fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。柯西积分公式：设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于

4

D，z0为c内任意一点，则

zzdz2ifz

c00fz6．高阶导数公式：解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

fz2idzc(zz)n1n!0fnz0(n1,2)

其中c为fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7．重要结论：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向简单闭曲

线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法

fzdzcf[zt]ztdt

2）设fz在区域D内解析，

c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，cfzdz0c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）设fz在区域D内不解析

fzdz2ifz0czz0曲线c内仅有一个奇点：（f(z)在c内解析）fzdz2ifnz0c(zz)n1n!0n曲线c内有多于一个奇点：fzdz（ci内只有一个奇fzdzck1ck

点zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留数基本定理）

ck1n若被积函数不能表示成算。

fz(zzo)n1，则须改用第五章留数定理来计

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数

22且满足220，

xy(x,y)为D内的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系

解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。

两个调和函数u与v构成的函数f(z)uiv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西

黎曼方程，则uiv一定是解析函数。

3．已知解析函数fz的实部或虚部，求解析函数fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知实部uux,y，利用CR条件，得v,v；

xy对vu两边积分，得vudygx（*）

yxx再对（*）式两边对x求偏导，得vxudygxxx（**）

gx；

由CR条件，uv，得uyxyudygx，可求出xx

代入（*）式，可求得虚部vudygx。

x2）线积分法：若已知实部

dvvvuudxdydxdy，xyyxx,y00uu,xy，利用

CR条件可得

故虚部为vx,yudxudyc；

yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x0,y0与x,y是解析区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部uux,y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，

fzuvuuiixyxy将此式右端表示成z的函数Uz，由于fz仍为解析函数，故

fzUzdzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1．复数列的极限

1）复数列{n}{anibn}（n1,2）收敛于复数abi的充要条件为

limana,nlimbnb

n（同时成立）

2）复数列{n}收敛实数列{an},{bn}同时收敛。2．复数项级数

1）复数项级数n(nanibn)收敛的充要条件是级数an与bn同

n0n0n0时收敛；

n0。2）级数收敛的必要条件是limn

注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。

（十）幂级数的敛散性

1．幂级数的概念：表达式cn(zz0)或cnzn为幂级数。

nn0n02．幂级数的敛散性

1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数cnzn在z00n0处收敛，那么对满足zz0的一切z，该级数绝对收敛；如果在的一切z，级数必发散。

z0处发散，那么对满足zz02）幂级数的收敛域圆域

幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。

3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。

cn1比值法如果limncn0，则收敛半径R1；

根值法

limcn0，则收敛半径Rn1；

如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；

如果，则R0；说明仅在zz0或z0点收敛；

注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如cnz2n）

n03．幂级数的性质

1）代数性质：设anz,bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记

nn0n0RminR1,R2，

则当zR时，有

nn(an0nbn)zanzbnzn

n0n0（线性运算）

（乘积运算）

(anz)(bnz)(anb0an1b1a0bn)znnnn0n0n02）复合性质：设当且gzr，

则当zr时，fannn0，当zR时，gz解析

R时，f[gz]an[gz]n。

n03）分析运算性质：设幂级数anzn的收敛半径为R0，则

n0其和函数fzanzn是收敛圆内的解析函数；

n0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且

zR

fznanzn1

n0

在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；0fzdzzR

zann1zn0n1

（十一）幂函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数fz在圆域zz0可以展开成幂级数fzn0R内解析，则在此圆域内fzfnz0n!n并且此展开式是唯一的。zz0；

注：若fz在z0解析，则fz在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径Rz0a；

其中R为从z0到fz的距z0最近一个奇点a之间的距离。

2．常用函数在z00的泰勒展开式

1nz2z3zn1）ez1z

2!3!n!n0n!z12）zn1zz2zn

1zn0z

z1

(1)n2n1z3z5(1)n2n13）sinzzzz

3!5!(2n1)!n0(2n1)!z

(1)n2nz2z4(1)n2n4）coszz1z

(2n)!2!4!(2n)!n0z

3．解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出cn1fnz0n!，于是fzcnzz0n。

n02）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开

1.洛朗级数的概念：cnzz0n，含正幂项和负幂项。

n2．洛朗展开定理：设函数fz在圆环域R1zz0R2内处处解析，

c为圆环域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆

环域内，有fzcnzz0n，且展开式唯一。

n3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4．利用洛朗级数求围线积分：设fz在rrzz0R内的任何一条正向简单闭曲线，则c1为f(z)在rzz0R内洛朗展开式中

zz0R内解析，c为

fzdz2ic。其中

c11zz0的系数。

说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(zz0)1的系

数。

（十三）孤立奇点的概念与分类

1。孤立奇点的定义：fz在z0点不解析,但在z0的0析。

2。孤立奇点的类型：

1）可去奇点：展开式中不含

fzc0c1zz0c2zz0

2zz0内解

zz0的负幂项；

2）极点：展开式中含有限项zz0的负幂项；

c(m1)gzcmc12fzcc(zz)c(zz),01020(zz0)m(zz0)m1(zz0)(zz0)m其中gzcmc(m1)(zz0)c1(zz0)m1c0(zz0)m在z0解析，且gz00,m1,cm0；

3）本性奇点：展开式中含无穷多项zz0的负幂项；

fzcmc1mcc(zz)c(zz)010m0m(zz0)(zz0)

（十四）孤立奇点的判别方法

fzc0常数；1．可去奇点：zlimz0fz2．极点：zlimz0fz不存在且不为。3．本性奇点：zlimz04．零点与极点的关系

1）零点的概念：不恒为零的解析函数fz，如果能表示成

fz(zz0)mz，

其中z在z0解析，z00,m为正整数，称z0为fz的m级零点；2）零点级数判别的充要条件

z0是

nfz00,fz的m级零点mfz00(n1,2,m1)

1的m级极点；fz3）零点与极点的关系：z0是fz的m级零点z0是4）重要结论

若za分别是z与z的m级与n级零点，则

za是zz的mn级零点；

z当mn时，za是的mn级零点；

zz当mn时，za是的nm级极点；

zz当mn时，za是的可去奇点；

z当mn时，za是zz的l级零点，lmin(m,n)

当mn时，za是zz的l级零点，其中lm(n)（十五）留数的概念

1．留数的定义：设z0为fz的孤立奇点，fz在z0的去心邻域

0zz0内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称

c积分

fz2i1d为zfzfzdz

在

z0的留数（或残留），记作

Res[fz,z0]c2i12．留数的计算方法

若z0是fz的孤立奇点，则Res[fz,z0]c1，其中c1为fz在

z0的去心邻域内洛朗展开式中(zz0)1的系数。

1）可去奇点处的留数：若z0是fz的可去奇点，则Res[fz,z

12

0]

2）m级极点处的留数

法则I若z0是fz的m级极点，则

1dm1Res[fz,z0]limm1[(zz0)mfz]

(m1)!zz0dz特别地，若z0是fz的一级极点，则Res[fz,z0]lim(zz0)fz

zz0注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。

Pz法则II设fz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,

QzQz00,Qz00，则Res[PzQz,z0]Pz0Qz0（十六）留数基本定理

设fz在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,zn外处处解析，c为

cD内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

nn1fzdz2iRes[fz,z]

说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。

积分变换复习提纲

一、傅里叶变换的概念

F[f(t)]f(t)ejwtdtF(w)

F1[F()]12F()ejtdf(t)

二、几个常用函数的傅里叶变换

F[e(t)]1j1()jF[u(t)]F[(t)]1F[1]2()

三、傅里叶变换的性质

位移性（时域）：F[f(tt0)]ejwt00F[f(t)]

0位移性（频域）：F[ejwtf(t)]F(w)www位移性推论：F[sinw0tf(t)]F(ww0)

1[F(ww0)F(ww0)]2j位移性推论：F[cosw0tf(t)]1[F(ww0)F(ww0)]

2微分性（时域）：F[f(t)](jw)F(w)（tF[f(n)(t)](jw)nF(w)，t,f(n1)(t)0

,f(t)0），

微分性（频域）：F[(jt)ft]Fw,F[(jt)nf(t)]F(n)(w)相似性：F[f(at)]1wF()aa(a0)

四、拉普拉斯变换的概念

L[f(t)]0f(t)estdtF(s)

五、几个常用函数的拉普拉斯变换

L[ekt]1；sk(m1)m!1是自然数；（)L[tm](m(1)1,(),(m1)m(m)）

sm1sm12

L[u(t)]L[1]L[(t)]1

1；sL[sinkt]k,s2k2kL[shkt]2,sk2设

ss2k2sL[chkt]2sk2T1则L[f()（f(t)是以T为周期的周期f(tT)f(t)，]t()ftdt。Ts01eL[coskt]函数）

六、拉普拉斯变换的性质

微分性（时域）：L[ft]sFsf0,L[f(t)]s2F(s)sf(0)f(0)

([)tft]F微分性（频域）：Ls，L[(t)nft]F(n)s

tFs积分性（时域）：L[0ftdt]

s积分性（频域）：L[ftt]Fsds（收敛）

s位移性（时域）：L[eatft]Fsa相似性：L[f(at)]1F(s)

aa

位移性（频域）：L[ft]esFs（0,t0,f(t)0）

(a0)

七、卷积及卷积定理

f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d

F[f1(t)f2(t)]F1(w)F2(w)

F[f1(t)f2(t)]1F1(w)F2(w)2L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s)

八、几个积分公式f(t)(t)dtf(0)f(t)(tt0)dtf(t0)

15

0f(t)dtL[f(t)]dsF(s)ds1600t

0f(t)ektdtL[f(t)]sk

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