第十四章一次函数小结
第十四章一次函数小结
昆明市实验中学初二（５）班陈璇
一、函数的有关概念
（１）变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同的量叫做常量，保持不变的量叫做常量。
注意：变量和常量往往是相对而言的，在不同研究过程中，常量和变量的身份是可以相互转换的。（２）函数与自变量
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如ｘ和ｙ，对于ｘ的每一个值，ｙ都有唯一的值与之对应，我们就说ｘ是自变量，ｙ是因变量，此时也称ｙ是ｘ的函数。
注意：函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下三点：（１）只能有两个变量。
（２）一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。
（３）对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的值与之对应。二、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法和图像法。
（１）解析法：
两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析式。用解析式表示一个函数关系时，因变量ｙ放在等式的左边，自变量ｘ的代数式放在右边，其实质是用ｘ的代数式表示ｙ。
注意：解析法简单明了，能准确地反应整个变化过程中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不一定能用解析法表示出来。
（２）列表法：
把自变量ｘ的一系列值和函数ｙ的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法。
注意：列表法优点是一目了然，使用方便，但其列出的对应值是有限的而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。
（３）图像法：
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
注意：图像法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法。
在解决问题时，我们常常综合运用三种方法来表示函数。三、函数自变量取值范围及函数值
函数自变量的取值范围是指函数有意义的自变量的取值的全体。求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际。下面给出一些简单函数解析式中自变量范围的确定方法。
（１）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）。
（２）当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数。
（３）当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量值是使被开放的式子为非负的实数。
（４）当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量值取值是使底数不为零的实数。
对于自变量在取值范围内的一个值，如当ｘ＝ａ时，函数有唯一确定的对应值，这个值就是当ｘ＝ａ时的函数值。
注意：若已知函数解析式及自变量的值求函数值，其实质就是求关于自变量ｘ的代数式的值。若已知函数解析式及函数值求自变量的值，其实质就是解关于自变量ｘ的方程。四、函数的图像
（１）函数图像的意义
一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上每一点的坐标（ｘ，ｙ）代表了函数的一对对应值，他的横坐标ｘ表示自变量的某一个值，纵坐标ｙ表示与它对应的函数值。（２）函数图像的画法
在直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图像。
知道了函数解析式要画出函数的图像，一般经历以下三步：①列表：
取自变量的一些值，计算出对应的函数值，由这一系列的对应值得到一系列的有序实数对。②描点：
在直角坐标系中，描出这些有序实数对的对应点。③连线：
用平滑的曲线依次把这些点连起来，即可得到这个函数的图像。五、数学思想方法
（１）数形结合思想
本章中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题。数形结合，直观形象，由数思形，由形思数，两者巧妙结合，为分析问题和解决问题创造了有利条件，帮助我们去分析和解决问题。
（２）函数思想
研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，然后利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果。将实际问题数学化，通过建立函数模型，利用函数性质解决实际问题。
（３）转化思想
将复杂问题转化为简单问题，将未知转化为已知，将抽象转化为具体，这是数学中常用的思想方法。六、一次函数（正比例函数）的概念
解析式是用自变量的一次整式表示的函数，我们称之为一次函数。一次函数的一般形式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ为常数，ｋ≠０，特别地，当ｋ＝０时，一次函数ｙ＝ｋｘ（常数ｋ≠０）也叫做正比例函数。
注意：（１）如果一个函数是一次函数，则含有自变量ｘ的式子是一次的，系数ｋ不等于０，而ｂ可以为任意实数。
（２）自变量ｘ的取值范围是任意实数。
（３）ｋ≠０这个条件不可忽略。
（４）正比例函数与一次函数之间的关系：
①正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数。
②一次函数不一定是正比例函数，在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，当ｂ＝０时，
ｙ是ｘ的正比例函数；当ｂ≠０时ｙ不是ｘ的正比例函数。七、一次函数的图像
（１）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图像是一条直线，通常也称为直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像可以用描点法画出；另一方面，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，常用图像与坐标轴的两个交点（０，ｂ）和（－，０）
（２）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图像是经过原点（０，０）的一条直线，通常画正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图像只需取一点（１，ｋ），然后过原点和这一点画直线。八、对一次函数的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系数ｋ、ｂ的理解
（１）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直线向上的方向与ｘ轴正方向夹角的大小程度，即直线的倾斜程度；ｂ是直线与ｙ轴交点的纵坐标，ｂ＞０时，直线与ｙ轴交于正半轴上；ｂ＝０时，直线过原点，是正比例函数；ｂ＜０时，直线与ｙ轴交于正半轴上；ｂ＝０时，直线过原点，是正比例函数；ｂ＜０时，直线与ｙ轴交于负半轴上。
（２）两直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）与ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置关系。①当ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２时，两直线平行。②当ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２时，两直线重合。
注意：（１）当ｋ＞０时，直线必经过一、三象限；ｋ＜０时，直线必经过二、四象限。当ｂ＞０时，直线与ｙ轴正半轴相交，故必过一、二象限；ｂ＝０时，直线过原点；ｂ＜０时，直线与ｙ轴负半轴相交，故直线过三、四象限。
（２）ｙ随ｘ的增大而增大，还是ｙ随ｘ的增大而减小，只取决于ｋ的符号，与ｂ无关。九、一次函数解析式的确定
（１）根据数学规律、关系确定函数解析式
①对于探索一系数、图形个数等规律时，其关键是找出问题的两个变量之间存在的数量关系。②对于几何图形中的两个量的关系，要能够结合几何图形的性质确定两个变量的关系。
③对于实际问题中的两个量之间的关系，要分析出各个量之间存在的数量关系，并能正确用含一个量的代数式表示另一个量，同时注意自变量的取值范围。
（２）待定系数法确定函数解析式
先设出函数解析式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出函数解析式的方法，叫做待定系数法，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，其一般步骤是：
①设一次函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。
②将函数图像所经过的任意两点的坐标带入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。③解此二元一次方程组，得待定系数k、b的值。④确定函数解析式。注意：（１）在正比例函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且为常数）中，只有一个待定系数ｋ，确定正比例函数关系式只需一个条件。
（２）在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ为常数，且ｋ≠０）中，有两个待定系数ｋ和ｂ，因此确定一次函数关系式需要两个条件。
十、一次函数与方程（组）及不等式之间的关系（１）一次函数与一元一次方程
直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴交点的横坐标，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解。
求直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴的交点，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－，－是直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次方程的解。（２）一次函数与二元一次方程（组）
一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图像上任意一点的坐标都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解为坐标的点都在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像上。
两条直线ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）与ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交点的横、纵坐标就是方程组ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１
ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２
注意：若ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２，则两直线平行，无交点，所以方程组无解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，则两直线重合，通常不研究此类情况。（３）二元一次方程组的图像解法
画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图像解法。
（４）一次函数与一元一次不等式
使一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ大于０的自变量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同样使一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ小于０的自变量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集。
扩展阅读：第十四章一次函数复习小结
第十四章一次函数复习小结
一、本章知识结构图
二、各个知识点突破
（一）1、当x、y满足什么条件时，y是x的函数。
答：判断的标准：对于x取一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应。
2、并能够写出函数的解析式，并判断哪些是常量、变量、自变量、函数。
常量：始终不变的量。变量：数值发生变化的量。自变量：先变的那个量。函数：随着自变量而发生变化的量。3、自变量的取值范围。
答：三种情况：①一般情况下是全体实数。②有分母的，则分母不能为0。③开平方的，被开方数要≥0。练习：1、下列图象中，表示y是x的函数图象的是（）
2、设地面气温是20℃，如果每升高1千米，气温下降6℃，则气温T与高度h之间的函数关系式是。其中常量是，变量是，自变量是，是的函数。当h=6时的函数值为。3、y=
1中，x的取值范围是；y2x3中，x的取值范围是。x2x中，x的取值范围是；yx14、y2x1，x的取值范围是。
（二）函数的表示方法有：列表法、解析式法、图象法优缺点：列表法：直观准确，但不完全。解析式法：准确完全，但不直观。
图象法：直观形象，但不够准确也不太完全。（三）正比例函数和一次函数的图象和性质。（掌握熟记，能够随手画出图象来）函数解析式图象性质①k>0时，图象从左到右上升，经过一、三象限，y随着x的增大而增大。②k0时，图象从左到右上升，y随着x的增大而增大。②k0，图象并于y轴正半轴；b0，b>0时，函数图象过一、二、三象限k>0，b
3、下列函数当中，①y2x1，②y2x1③，y2x1，④y2x1，⑤y11x1，⑥yx1，22y随着x的增大而减小的有，交于y轴正半轴的有，图象经过一、二、四象限的有。
4、利用两点法画出下列图象。
方法：正比例函数：确定两点：原点（0,0）和（1,k），
一次函数：确定两点：与y轴的交点即x=0，算出y的值（0,）、与x轴的交点即y=0，算出x的值（,0）。（1）y11x（2）y2x1（3）yx122
（四）能够用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式。
方法：①先设出相应的解析式。如正比例函数（过原点的图象）则设为y=kx,若只说是一条直线，则设为y=kx+b。②再从已知条件或图象上确定两个点的坐标。（注：若是正比例函数，只要确定一个点的坐标即可）
③把点的坐标的横坐标（作为x的值）、纵坐标（作为y的值）代入解析式中，解出k、b的值。④k、b的值值代入原设的解析式中得出解析式。练习：1、直线过点（3,2）且与y轴的并点坐标为（0,-2），求直线的解析式。
2、直线过原点，且与y轴交于点(0,3)，求直线的解析式。
（五）一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间的关系。（1）一元一次方程与一次函数的关系。（注：先把一元一次方程转化为ax+b=0的形式。）
一元一次方程ax+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0实际上是同一个问题。表现在图象上即直线y=ax+b与x轴交点的横坐标即是方程ax+b=0的解。（2）一元一次不等式与一次函数的关系。（注：先把一元一次不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0的形式。）
一元一次方程ax+b＞0或ax+b＜0可以看作是：当一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围。表现在图象上：ax+b＞0即直线y=ax+b在x轴上方的图象对应的x的取值范围。ax+b＜0即直线y=ax+b在x轴下方的图象对应的x的取值范围。（3）二元一次方程与一次函数的关系。（注：先把每一个一元一次方程转化为y=ax+b的形式，即用含x的式子表示y）
二元一次方程组y1kx1b1可以转化为：两个一次函数在自变量取何值时，函数值相等。在图象上表现为：
y2kx2b2求两条直线交点坐标的问题。
练习：利用函数图象解下列方程、不等式和方程组。
xy3（1）3x2x2(2)5x33x5(3)
3xy5
友情提示：本文中关于《第十四章一次函数小结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，第十四章一次函数小结：该篇文章建议您自主创作。
来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。
公文素材库友情提示：本网站所有内容为共享上传提供，不涉及任何商业利益，本站对此不承担任何保证责任！
Copyright © www.bsmz.net Corporation, All Rights Reserved 共享时代 共享你我他 版权所有