初三《圆》章节知识点总结201*.11.4
《圆》章节知识点复习
《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫
中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；
ArBdCdOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
《圆》章节知识点复习
外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；
dR图1rRdr图2dR图3r
d五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
COABCBADOED《圆》章节知识点复习
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；
③OCOF；④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O中，∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC中，∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
BOCAOEFDCBCBOADCBOACBOAA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
《圆》章节知识点复习
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线
OCDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPB
PBMANOPO平分BPA
十一、圆幂定理
BOPCADA《圆》章节知识点复习
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴CEAEBE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴PAPCPB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。
如图：O1O2垂直平分AB。
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；
（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算
C22CBOEDAADPCOBEAO1BO2的
ACO2BO1-5-
OBAD《圆》章节知识点复习
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:3:2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：lABOACEDnR；180OSlnR21（2）扇形面积公式：SlR
3602Bn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S表S侧2S底=2rh2r
ADD1母线长底面圆周长B（2）圆柱的体积：Vrh
（2）圆锥侧面展开图
O2CB1C1（1）S表S侧S底=Rrr
212（2）圆锥的体积：Vrh
3ARCrB
扩展阅读：初三《圆》章节知识点总结201*.11.4
新初四暑期圆知识点总结周若楠
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；
ArBdCdOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；
新初四暑期圆知识点总结周若楠
dR图1rR图2drdR图3r
d五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
ECOADOBCBED只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
F即：①AOBDOE；②ABDE；
③OCOF；④弧BA弧BD
AODC
-2-
B新初四暑期圆知识点总结周若楠
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB
BOAC2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD
BDCOAC推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径
CBOA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端
MANOBOACDBAE新初四暑期圆知识点总结周若楠
∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA
PBO
十一、圆幂定理（此定理需要掌握，课本没有，可能做题要涉及）（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD
CBOPADA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，
BCOEAD∴CEAEBE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PD2AEO即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴PAPCPB
2CB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE
新初四暑期圆知识点总结周若楠
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：RtO1O2C中，ABCOO1O2CO2；
（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：
OBAC22122AO1BO2ACO2BO1OD:BD:OB1:3:2；
DBCO（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：lAAEDOBAnR；180OSlnR21lR（2）扇形面积公式：S3602Bn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积
新初四暑期圆知识点总结周若楠
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
S表S侧2S底=2rh2r2
（2）圆柱的体积：Vr2h
（2）圆锥侧面展开图
（1）S表S侧S底=Rrr2
（2）圆锥的体积：V123rh
ADD1母线长底面圆周长BCC1B1ORCArB
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