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初三《圆》章节知识点汇总

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-29 15:37:08 | 移动端:初三《圆》章节知识点汇总

初三《圆》章节知识点汇总

《圆》章节知识点汇总

一、圆的概念集合形式的概念:

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:

1圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直

平分线(也叫中垂线);

3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系

1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;

-1-

ArBdCdO三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;四、圆与圆的位置关系

外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点

rdrdd=rRrdRr;

内切(图4)有一个交点dRr;

内含(图5)无交点dRr;

dR图1rRddr图2R图3r

dRrdrR

图4

图五、垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

CBOEDA③OCOF;④弧BA弧BD七、圆周角定理

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角∴CD

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所

EF推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圆心角定理

COABACB对的弦是直径。

即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90

DDO∴C90∴AB是直径

CCDC

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。

此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,

即:①AOBDOE;②ABDE;

BOABOABOA

C推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,

-2-

BOA那么这个三角形是直角三角形。即:在△ABC中,∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形

以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

B十、切线长定理

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条

AOP切线的夹角。

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在⊙O中,

∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180BD180

即:∵PA、PB是的两条切线

CDBOPCADCBOEDA∴PAPBPO平分BPA

DAEC

九、切线的性质与判定定理

BAE十一、圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可

MANO∴PAPBPCPD

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条

即:∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

-3-

线段的比例中项。

A即:在⊙O中,∵直径ABCD,

DEO∴CEAEBE

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的

2PCB切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线∴PAPCPB(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。

A2(2)正四边形同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1::2

(3)正六边形同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线

DEOAB:OB:OA1:3:2.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关

C∴PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:

PCBO计算公式

1、扇形:(1)弧长公式:lOBAAO1BACO2BO1O2nR;180BAD(2)扇形面积公式:

BCOADnR21SlR

3602n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形

弧长S:扇形面积

2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图

2S表S侧2S底=2rh2r

OSEAB1(1)公切线长:RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;

(2)圆柱的体积:Vrh

(2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算

(1)正三角形在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:OD:BD:OB1:3:2;

-4-

2lOR(2)圆锥侧面展开图(1)

BACrBS表S侧S底=Rrr

(2)圆锥的体积:V2ADD1母线长底面圆周长12rh3BCC

扩展阅读:初三《圆》章节知识点总结201*.11.4

《圆》章节知识点复习

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;

(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫

中垂线);

3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;

ArBdCdOrdd=rrd

《圆》章节知识点复习

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;

dR图1rRdr图2dR图3r

d

五、垂径定理

图4RrdrR图5垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圆》章节知识点复习

六、圆心角定理

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,

只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①AOBDOE;②ABDE;

③OCOF;④弧BA弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角∴CD

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。

即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圆》章节知识点复习

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在⊙O中,

CD∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线

OBAE(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

BMAN即:∵PA、PB是的两条切线∴PAPB

POPO平分BPA

A《圆》章节知识点复习

十一、圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,∴PAPBPCPD

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即:在⊙O中,∵直径ABCD,∴CE2AEBE

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线∴PAPCPB

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。

如图:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式:

(1)公切线长:RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圆》章节知识点复习

(2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:

OD:BD:OB1:3:2;

BOACD

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1:2:

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:lnR180AA;

OSl(2)扇形面积公式:SnR360212lR

Bn:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积

《圆》章节知识点复习

2、圆柱:

(1)圆柱侧面展开图

S表S侧2S底=2rh2r2

(2)圆柱的体积:Vr2h

(2)圆锥侧面展开图

(1)S表S侧S底=Rrr2(2)圆锥的体积:V13r2h

ADD1母线长底面圆周长BCC1B1ORCArB

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