圆知识点总结

圆知识点总结

圆知识点总结

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：

（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2;，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O内，0≤PO条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO>r；AB与⊙O相切，PO=r；AB与⊙O相交，0≤POR+r；外切P=R+r；相交R-r

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

有关切线的性质和定理

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

扩展阅读：初中圆的知识点总结加两套经典试题(绝对超值)

圆的总结

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线

点与圆的位置关系:

点在圆内dr点A在圆外

直线与圆的位置关系:

直线与圆相离d>r无交点直线与圆相切d=r有一个交点

直线与圆相交dR+r外切（图2）有一个交点d=R+r相交（图3）有两个交点R-r垂径定理:

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④BCBD⑤AC推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD

COBCBAADDOEDA

圆心角定理

EFAC

圆周角定理

BOD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④AEDBC圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角BOA∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直径

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

BDCBOACOACBOA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相

C

OB等。

即：∵MN是切线，AB是弦∴∠BAM=∠BCA

圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°∠DAE=∠C

切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：

MNAMCDBAEOAN即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件∵MN是切线∴MN⊥OA

切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

PB相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PA=PB

PO平分∠BPA

圆内相交弦定理及其推论：

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P∴PAPB=PCPA

OACBOEDA

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD

∴CE2DE2EAEB（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴PA2PCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在⊙O中，∵PB、PE是割线

∴PCPBPDPE

圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：在Rt△O1O2C中，

22AB2CO2O1O2CO21

（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和

BOPCADADPCOBEAO1BO2圆内正多边形的计算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB=1:

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE:AE:OA=1:1:2

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=COBBOC3:21:3:2OADAAEDBA

弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：

lnR1802OSlnRS（2）扇形面积公式：

36012lRB总结归纳：《圆》的知识考点

圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判定定理及公式。．．．．．．．．．．一、圆的有关概念1、圆。动静（集合）→封闭曲线围成的图形

2、弦、直径、切线。→直线3、弧、半圆。→曲线4、圆心角、圆周角。

5、三角形的外接圆、外心。→用到：线段的垂直平分线及性质6、三角形的内切圆、内心。→用到：角的平分线及性质二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角）1、圆的对称性。→轴对称中心对称

2、垂径定理及其推论。

3、弧、弦、圆心角之间的关系定理

4、圆周角定理及推论。→同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角5、切线的性质定理。6、切线长定理。三、判定定理

切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径四、点、直线、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系位置关系点在圆外点在圆上点在圆内

数量关系d>rd=rd2、直线与圆的位置关系：位置关系相离相切相交3、圆与圆的位置关系：位置关系外离外切相交内切内含

五、正多边形和圆1、有关概念

正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距

2、方法思路：构造等腰（等边）三角形、直角三角形，在三角形中求线、角、．．．．．．面积。

六、圆的有关线的长和面积。1、圆的周长、弧长C=2r,l=

nr180数量关系d>rd=rdR+rd=R+rR-r与圆有关的计算

一、周长：设圆的周长为C，半径为r,扇形的弧长为l,扇形的圆心角为n.

nr①圆的周长：C＝２πR；②扇形的弧长：l。

180例题1．(05崇文练习一）某小区建有如图所示的绿地，图中4个半圆，邻近的两个半圆相切。两位老人同时出发，以相同的速度由A处到B处散步，甲老人沿

ACB的线路行走，则下列结论正ADA1、A1EA2、A2FB的线路行走，乙老人沿确的是()

（A）甲老人先到达B处（B）乙老人先到达B处（C）甲、乙两老人同时到达B处（D）无法确定

D、D…的E、EF例题2．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的“渐开线”，其中C圆心依次按A、B、C循环，将它们依次平滑相连接。如果AB=1，试求曲线CDEF的长。

例题3．（06芜湖）已知如图，线段AB∥CD，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O的半径为10cm,从A到D的表面很粗糙，求⊙O从A滚动到D，圆心O所经过的距离。

例题4．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）圈。A4B3C5D3.56.例题5．(08大兴二模)如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了_________m．

例题6．(08房山二模)如图，∠ACB＝60，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为.

二、面积：设圆的面积为S，半径为r,扇形的面积为S扇形，弧长为l.①圆的面积：Sr②扇形的面积：S扇形③弓形面积：S弓形S扇形S

例题1．（05丰台练习二）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，如果∠A＝120°，CD＝2，则扇形OBAC的面积是____________。

例题2．（江西省）如图，⊙A、⊙B、⊙C两不相交，且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（）A

2nr236012lr

12cm2B

8cm2C

6cm2D

4cm2

例题3．(08大兴)北京市一居民小区为了迎接201*年奥运会，计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A、B、C、D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径等于图中⊙O的直径，已测得

AB6m，则绿化地的面积为()mA.18πB.36πC.

2454πD.

92π

例题4．如图，⊙O的半径为20，B、C为半圆的两个三等分点，A为半圆的直径的一个端点，求阴影部分的面积。

例题5．(08房山)如图1是一种边长为60cm的正方形地砖图案，其图案设计是：①三等分AD（AB=BC=CD）②以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交AD于B、交AG于E；③再分别以B、E为圆心，AB长为半径画弧，交AD于C、交AG于F两弧交于H；④用同样的方法作出右上角的三段弧．图2是用图1所示的四块地砖铺在一起拼成的大地砖，则图2中的阴影部分的面积是_______cm2（结果保留）．

例题6.(08西城)如图,在RtABC中,BAC90,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点D,则阴影部分的面积是.

例题7.(08朝阳)已知：如图，三个半径均为1m的铁管叠放在一起，两两相外切，切点分别为C、D、E，直线MN（地面）分别与⊙O2、⊙O3相切于点A、B．（1）求图中阴影部分的面积；（2）请你直接写出图中最上面的铁管（⊙O1）的最低点P到地面MN的距离是______________m．

例题8．(08海淀)如图，一种底面直径为8厘米，高15厘米的茶叶罐，现要设计一种可以放三罐的包装盒，请你估算包装用的材料为多少（边缝忽略不计）。

BACD三、侧面展开图：①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；②圆锥侧面展开图是形，它的半径是这个圆锥的，它的弧长是这个圆锥的底面的。

例题1．(05丰台)圆柱的高为6cm，它的底面半径为4cm，则这个圆柱的侧面积是()

A.48cm

2B.24cmC.48cm

22D.24cm

2例题2．（05丰台）如果圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，那么它的侧面积是()A.15cmB.20cmC.24cmD.40cm

例题3．(05海淀）如图圆锥两条母线的夹角为120，高为12cm，则圆锥侧面积为______，底面积为______。例题4．（05朝阳）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（）A.10cmB.10cm

222222C.20cm

2D.20cm

2例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是()A.8πcm2B.10πcm2C.12πcm2D.9πcm2

四、正多边形计算的解题思路：等腰三角形直角三角形。正多边形转化转化连OAB作垂线OD可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。

例题1．（05朝阳）正n边形的一个内角是135，则边数n是（）A.4

B.6

C.8

D.10

例题2．如图，要把边长为6的正三角形纸板剪去三个三角形，得到正六边形，它的边

长为__________。

例题3．如图扇形的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、D、E分别在OA、OB、ED，交ED的延长线于点F，垂足为F。若正方形的边长AB上，过点A作AF⊥为1，则阴影部分的面积为______。（福建福州）

圆

与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d>r，②d=r，③d

2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切，③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①dr.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含，②相内切，③相交，④相外切，⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：

①dR+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

5.从圆外一点可以向圆引2条切线，切线长相等，这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

与圆有关的计算

1.圆的周长为2πr，1°的圆心角所对的弧长为180，n°的圆心角所对的弧长

nrnr为180，弧长公式为l180n为圆心角的度数上为圆半径).

2.圆的面积为πr，1°的圆心角所在的扇形面积为的扇形面积为S=360R=

n2r2

r2360，n°的圆心角所在

1rl2(n为圆心角的度数,R为圆的半径）.

3.圆柱的侧面积公式：S=2rl（其中4.圆锥的侧面积公式：S=

（其中

为底面圆的半径，为圆柱的高.）为底面的半径，为母线的长.）

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积

A组

一、选择题（每小题3分，共45分）

1．在△ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（）。

A．C在⊙A上Ｂ．C在⊙A外

C．C在⊙A内Ｄ．C在⊙A位置不能确定。2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为（）。A．16cm或6cmＢ．3cm或8cmC．3cmＤ．8cm3．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（）。

A．40°Ｂ．140°或40°C．20°Ｄ．20°或160°4．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）。

A．130°Ｂ．60°C．70°Ｄ．80°

5．如图1，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，

则∠DFE的度数是（）。A．55°Ｂ．60°C．65°Ｄ．70°

6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其

中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）。A．A处B．B处C．C处D．D处

图1图2

7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）。A．内含Ｂ．内切C．相交Ｄ．外切8．已知半径为R和r的两个圆相外切。则它的外公切线长为（）。

A．R＋rＢ．R2+r2C．R+rＤ．2Rr9．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（）。Ａ．10πB．12πＣ．15πＤ．20π10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是

（）。

A．3B．4C．5D．611．下列语句中不正确的有（）。

①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦

③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

④长度相等的两条弧是等弧

A．3个Ｂ．2个12．先作半径为

32C．1个Ｄ．4个

的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作

上述外接圆的外切正六边形，，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（）。A．(233)Ｂ．(7233)C．(832)Ｄ．(732)

813．如图3，ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于ABC，则阴影部分面积为()

A．12-πＢ．12-2πC．14-4πＤ．6-π

14．如图4，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（）。

4848A．4－πB．4－πC．8－πD．8－π

999915．如图5，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中相似三

角形有（）。

A．2对Ｂ．3对C．4对Ｄ．5对

图3图4图5

二、填空题（每小题3分，共30分）

1．两圆相切，圆心距为9cm，已知其中一圆半径为5cm，另一圆半径为_____.

2．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。3．边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。

4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。

5．矩形ABCD中，对角线AC＝4，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。

6.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。

7．圆的半径为4cm，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为_________。

8．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦

之间的距离为_________。9．如图6，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，MN是过B点而垂直于OB的直线，则

∠ABM=________，∠CBN=________；

10．如图7，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，将矩形绕点A旋转90°，到达A′B′C′D′

的位置，则在转过程中，边CD扫过的(阴影部分)面积S=_________。

图6图7

三、解答下列各题（第9题11分，其余每小题8分，共75分）1．如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D。

(1)PO平分∠BPD；(2)AB=CD；(3)OE⊥CD，OF⊥AB；(4)OE=OF。

从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。

BAPCEFOD2．如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连结CB，BD是⊙O的直径，∠D＝40°求：∠AO1B、∠ACB和∠CAD的度数。

3．已知：如图20，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=43，以A为圆心，2为半径作⊙A，试问：直线BC与⊙A的关系如何？并证明你的结论。

ABC

4．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：ADDC＝PABC。

PDCOAB

5．如图ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线。

6．如图，已知扇形OACB中，∠AOB＝120°，弧AB长为L＝4π，⊙O′和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E，求⊙O的周长。

7．如图，半径为2的正三角形ABC的中心为O，过O与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。

8．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。

9．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五

边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点。⑴求图①中，∠APD的度数；

⑵图②中，∠APD的度数为___________，图③中，∠APD的度数为___________；⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

B组

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．如图，把一个量角器放置在∠BAC的上面，则∠BAC的度数是（）（A）30o．（B）60o．（C）15o．（D）20o．

BPE图①AAMBPECD图③MNADCBPE图②DCyPOx

（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条圆弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）（A）12m．（B）18m．（C）20m．（D）24m．

3．如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则

这样的点共有（）

（A）4．（B）8．（C）12．（D）16．

4．用一把带有刻度尺的直角尺，（1）可以画出两条平行的直线a和b，如图①；（2）可以

画出∠AOB的平分线OP，如图②；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③；（4）

可以量出一个圆的半径，如图④．这四种说法正确的有（）

图①图②图③图④

（A）4个．（B）3个．（C）2个．（D）1个．

5．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形，其中∠AOB为120o，

OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（）（A）64cm2．（B）112cm2．（C）114cm2．（D）152cm2．

（第5题）（第6题）（第7题）

6．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为的方向行走，走到

场地边缘B后，再沿与半径OB夹角为的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56o，则的度数是（）（A）52o．（B）60o．（C）72o．（D）76o．

7．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的

圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是（）（A）第①块．（B）第②块．（C）第③块．（D）第④块．

8．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（）（A）．（B）3．（C）4．（D）7．二、填空题（每小题3分，共18分）9．某单位拟建的大门示意图如图所示，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形

ABCD，其中AB＝3.7米，BC＝6米，则弧AD的中点到BC的距离是____________米．

y3211123xO（第9题）（第10题）（第11题）

10．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两

个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为_____________cm．

11．如图，∠1的正切值等于_____________．

12．一个小熊的头像如图所示．图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关

系没有反映出来．请你写出这种位置关系，它是____________．

（第12题）（第13题）（第14题）

13．如图，U型池可以看作一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面

是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑板爱好者

从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为______________m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

14．三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）如图所示．则

三个几何体的体积和为cm3．（计算结果保留）

三、解答题（每小题6分，共18分）

15．如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延长线交BC于E，

若∠C=25°，求∠A的度数．

16．如图，AB是OD的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你找出线

段OE与OF的数量关系，并给予证明．

17．如图，P为正比例函数y（x，y）．

（1）求⊙P与直线x2相切时点P的坐标；

（2）请直接写出⊙P与直线x2相交、相离时x的取值范围．

32x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为

四、解答题（每小题8分，共24分）

18．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲．用尺量

出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8cm和2.3cm，如图乙．那

么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.001cm）

图①图②

19．如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿圆周

逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．

（1）如果∠POA＝90o，求点P运动的时间；

（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判

断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．

20．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．

（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、

B、C的抛物线上；

（3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线．

五、解答题（每小题8分，共16分）

21．如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环

钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②．已知铁环的半径为5个单位

（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝，且sin0.6．

（1）求点M离地面AC的高度MB（单位：厘米）；

（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单

位：厘米）．

22．图①是用钢丝制作的一个几何探究具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB

＝6，AC＝3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图②），然后点A在射线OX由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图③），当点B滑动至与点O重合时运动结束．

（1）试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上；（2）设点C的坐标为（x，y），试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？

图①图②图③

参考答案A组

一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B7、C8、D

9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C

二、1、4cm或14cm；2、9π；3、23π，43π；4、4：3；

5、(2483)π；6、12+2π；7、（9、65°，50°；10、16πcm。三、

1、命题1，条件③④结论①②,命题2，条件②③结论①④.

证明：命题1∵OE⊥CD,OF⊥AB,OE=OF，∴AB=CD,PO平分∠BPD。

2、∠AO1B=140°，∠ACB=70°，∠CAD=130°。

3、作AD⊥BC垂足为D,∵AB=AC，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.

∵BC=43,∴BD=

12∴⊙A与BC相切。

2

83π-43）cm2；8、7cm或1cm；

BC=23.可得AD=2.又∵⊙A半径为2,

4、连接BD，证△PAD∽△DCB。5、连接OD、OE，证△OEA≌△OED。6、12π。

7、4π-63。【解析】解:三条弧围成的阴影部份构成"三叶玫瑰",其总面积等于6个弓形的面

积之和.每个弓形的半径等于△ABC外接园的半径R=(2/sin60°)/2=2√3/3.每个弓形对应的园心角θ=π/3.每个弓形的弦长b=R=2√3/3.∴一个弓形的面积S=(1/2)R^2(θ-sinθ)=(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)]

=(2/3)(π/3-√3/2)

于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3.8、

。提示：将两圆圆心与已知的点连接，用面积列方程求。79、（1）∵△ABC是等边三角形∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°

∵BE=CD∴△ABE≌△BCD∴∠BAE=∠CBD

∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°

（2）90°，108°

（3）能．如图，点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且

BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为

B组

一、选择题

1．C2．D3．C4．A5．B6．A7．B8．C二、填空题

9．4.710．511．三、解答题

15．∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，∴∠ABC=90°，∵∠C=25°，∴∠BOC=65o，

1∵∠A=∠BOD，∴∠A=32.5o．16．解：OE＝OF．证明：作OM⊥AM，垂足为M．根

2据垂径定理得AM＝BM．∵AE＝BF，∴AM－AE＝BM－BF，即EM＝FM．∴OE＝

153OF．17．（1）当⊙P与直线x2相切时，点P的坐标为（5，）或（1，）；（2）

22当1x5时，⊙P与直线x2相交．当x1或x5时，⊙P与直线x2相离．四、解答题

135(n2)180n。

12．相交13．2214．18．设该两层卫生纸的厚度为xm，则：1111.4x3005.822.3211，解得

x0.026，答：设两层卫生纸的厚度约为0.026cm．19．（1）3s；（2）当点P运动2s时，

∠POA＝60，∴OA＝AP＝AB，∴∠OPB＝90，∴BP与⊙O相切．20．（1）略；（2）63五、解答题y1x2oo

2（3）略．x4，点D不在抛物线上；

21．（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．易求得铁环钩离地面的

高度MB为1cm；（2）解Rt△FMN，结合勾股定理与三角函数可得，铁环钩的长度FM为50/3cm．22．（1）连OG，OG＝AG＝BG，∴点O始终在⊙G上；（2）作CD⊥x轴，CE⊥y轴垂足分别为D，E，可得△CAD∽△CBE，得y33x，332（3）线段的两个端点x6；

分别为C1（

332，

32），C2（33，3），当OA0时，C1（

332，

32）；当OA6时，

C3（

92，

332）；C1C2＝3，C2C3＝333，点C运动的路程为6圆综合复习测试题

一选择题（每题3分，共30分）

1、如图，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为（C）O中，A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2、如图，点A，B，C都在O上，若∠C34，则∠AOB的度数为（）A．34

B．56

C．60

D．68

3、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧⌒CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）

A．45°B．60°C．75°D．90°

4、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB24cm，CD10cm，则两弦AB，CD的距离是（）Ａ．7cm

AＢ．17cmＣ．12cm

A

DOＤ．7cm或17cm

BOOCBBAPD

BCO

1题图第

AC第2题图

(第3题图)第6题

5、⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）．

A．相离

B．相切

C．相交

D．内含

126、如图，已知扇形OBC，OAD的半径之间的关系是OB的（）Ａ．

12的长是OA，则BCAD长

倍Ｂ．2倍Ｃ．

14倍Ｄ．4倍

7、如图，已知EF是O的直径，把∠A为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在

直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POFx，则x的取值范围是（）Ａ．60≤x≤120

Ｂ．30≤x≤60

Ｃ．30≤x≤90Ｄ．30≤x≤120

8、若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为()A.10cm

B.14.5cm

C.19.5cm

D.20cm

N是圆心角为90的弧，其大小尺寸9、如图是一个零件示意图，A、B、C处都是直角，MN的长是（）如图标示．M．

（A）π（B）

32π（C）2π（D）4π

1310、如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个

圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cm

E

P（B）OA

AB．35cmC．8cm

3D．53cm

NFC7M3第7题图

B二、填空题（每题3分，共30分）11、如图，AB切⊙0于点B，AB=4cm，AO=6cm，则⊙O的半径为cm．

12、如图，点A，B是O上两点，AB10，点P是O上的动点（P与A，B不重合），连结AP，PB，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，则EF．13、已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC

＝45。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是。

第11题图

AEPF第97题图C第10题图

00

OAB60cm108BO第12题图

第13题图

第16题图

14、两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是。15、已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是．（结

果保留）16、如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB．已知半径OA60cm，

∠AOB108，则管道的长度（即（结果保留）AB的长）为cm．

17、⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出

发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动

的时间为s时，BP与⊙O相切

18、已知O1、O2的圆心距O1O2=5，当O1与O2相交时，则O1的半径R=___▲___．（写出一组满足题意的R与r的值即可）O2的半径r=___▲___．

19、如图，在126的网格图中（每个小正方形的边长

均为1个单位），A的半径为1，B的半径为2，要使A与静止的B相切，那么A由图示位置需向右平移个单位．20、如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为

12AB第19题

的半圆后得到图形P2，然

后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,,Pn,，

记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2；并猜想得到SnSn1S3；

n2。

（第20题）

三、解答题（每题10分，共60分）21、如图，已知AB是O的直径，AC是弦，CD切O于点C，交AB的延长线于点D，

∠ACD120，BD10．

CAD

（1）求证：CACD；（2）求O的半径．

OB第21题图

22、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足为E．(1)求OE的长．(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．

第22题图23、如图，AB是O的切线，A为切点，AC是O的弦，过O作OHAC于点H．若

OH2，AB12，BO13．

B

求：（1）O的半径；

（2）sin∠OAC的值；

（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．

COHA第23题图

24、如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半

圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米．求EF的长．

AEFl第24题图C25、如图，A是半径为12cm的O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．（1）如果POA90，求点P运动的时间；

（2）如果点B是OA延长线上的一点，ABOA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与O的位置关系，并说明理由．

ＰＯＡＢ

第25题图

26、如图1，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F，连接EF.⑴判断EF与AC的位置关系(不必说明理由)；⑵如图2，过E作BC的垂线，交圆于G，连接AG.判断四边形ADEG的形状，并说明理由；⑶求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心.

图1

第26题图

图参考答案

一、1、C；2、D；3、A；4、D；5、C；6、A；7、B；8、B；9、C；10、B；

二、11、25；12、5；13、①②④；14、2d8；15、8π；16、36π；17、1或5；

311115、要满足Rr5Rr的正数R、r即可；19、2、4、6、8；20、,,83224n1

21、解：（1）连结OC．DC切O于点C，OCD90．又ACD120，

1ACOACDOCD1209030．OCOA，AACO30

ACOBD

21题答图

COD60．D30，CADC．（2）sinDOCOCOBODOBBDOBBD解得OB10．即O的半径为10．

，sinDsin3012，OBOB10112．

22、解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，.AE=EC，∵AO=B0，∴OE=(2)∠A=

12∠BDC=25°，在Rt△AOE中，sinA=OE/OA，∴弧AC的长=

21302.5πBC=5/2，≈13．4．

180sin2523、解：（1）AB是O的切线，OAB90，

222AOOBAB，OA5．

（2）OH⊥AC，OHA90，sinOACOHOA25．

2222（3）OHAC，AHAOOH，AHCH，AH25421，

AH21，AC2AH221≈9.2．

24、解：∵⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，点A、B、C分别是三个圆的圆心，

∴AE＝AF＝4，BE＝CF＝2，AB＝AC＝6．则在△AEF和△ABC中，∠EAF＝∠BAC，

AEABAC63EFAEAE216故．则EF＝BC＝8．BCABAB3325、解：（1）当∠POA90时，点P运动的路程为O周长的

AF42．∴△AEF∽△ABC．

PBO

14A

或

34．设点P运动的时间为ts．当点P运动的路程为O周长的解得t3；当点P运动的路程为O周长的

341434时，2t14212．

时，2t212．解得t9．

当∠POA90时，点P运动的时间为3s或9s．

（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与O相切．理由如下：

当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4cm．连接OP，PA．O的周长为24cm，

1AP的长为O周长的，∠POA60．

6OPOA，△OAP是等边三角形．OPOAAP，∠OAP60，ABOA，APAB．

∠OAP∠APB∠B，∠APB∠B30．

∠OPB∠OPA∠APB90．OPBP．

直线BP与O相切．

26、解：⑴EF∥AC.

⑵四边形ADEG为矩形.理由：∵EG⊥BC，E为切点，∴EG为直径，∴EG=AD.又∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，即四边形ADEG为矩形.⑶连接FG，由⑵可知EG为直径，∴FG⊥EF，又由⑴可知，EF∥AC，∴AC⊥FG，又∵四边形ADEG为矩形，∴EG⊥AG，则AG是已知圆的切线，而AB也是已知圆的切线，则AF=AG，∴AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心，

因此，圆心O就是AC与EG的交点.说明：也可据△AGO≌△AFO进行说理

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