初三圆知识点汇总

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第五章圆知识要点解析

知识点1圆的有关概念

（1）圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。（2）（3）（4）（5）

弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。

弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。

【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点，形成半径。

⌒上，且

1．（201*玉林市、防城港市）如图1，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在MN

⌒上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则不与M，N重合，当P点在MNAB的长度（）

Ａ．变大

Ｂ．变小

Ｃ．不变Ｄ．不能确定

ＮＰＢCD

BA

EABOOＯＭＡ

D图1图2C

图32．（201*江苏扬州）如图2，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．

3．如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD的延长线交于点E，且AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数。

知识点2圆的有关性质

（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

(2)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。

(4)圆周角的性质：①同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半

②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。

【解题方法2】当弦长=R时，弦所对的圆心角=60°,当弦长=2R时，弦所对的圆心角=90°当弦长=3R时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。

用心爱心专心

【圆周角定理1的理解】①同弧所对的圆周角相等；②等弧所对的圆心角相等；③圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半；④圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；

【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。【常作辅助线3】利用直径，构造直角。

4.（201*白银）高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）

A．5B．7C．D．

57CC3737A

ＯOD图4

BＡAODB

Ｂ图5图6图7

图8

5.（201*连云港）如图5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

（）

A．2cm

B．3cm

C．23cm

D．25cm

6.已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．

7.（201*黄石）如图6，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BAC50，则ADC．8.（201*湖北黄石）如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝.⌒

9.（201*黄冈）如图8，⊙O中，MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________

10.如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：∠BAE=∠CAD

11．(201*年温州)如图10，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙0相切于点A′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是

知识点3与圆有关的位置关系

（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r,点到圆心的距离为d①点在圆内dr②点在圆上内dr③点在圆外dr（2）直线与圆的位置关系圆的半径为r,直线到圆的距离为d

①直线与圆相交点在圆内dr②直线与圆相切点在圆内dr③直线与圆相离点在圆内

用心爱心专心

2

HM图9

图

dr

（1）圆与圆的位置关系①两圆外离dRr②两圆外切dRr③两圆相交

RrdRr④两圆内切dRr⑤两圆内含0dRr

（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。（4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。

（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。

（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。

【解题方法3】证切线的两种方法：①当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直②当直线与圆无交点字母时，作垂直，证dr

【解题方法4】求线段的长：把要求的线段放进一个已知一边长的△中，再找一个已知三边长的△，证相似，运用比例线段计算。

【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。

【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。

12．（201*邵阳市）已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）

DA.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能13．（201*山东淄博）如图11，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有（）

A．①②B。①③④C。②③④D。①②③④14．（201*仙桃）如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．

AAOBC

图C11FDEO

B

图12

15．如图13，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D.AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？

16．已知如图14，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，点E为垂足，CE的延长线交AB于点F。求证：ACABAF

A2BPCAD图13

OFBEDC

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3

图

17．如图15，△ABC中，I为内心，AI交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE，试说明：BE=EC=IE。

AIBDC18．（201*湖南长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r12、r24，若两圆相交，则圆心距O1O2可E图15

能取的值是（）．

A、2B、4C、6D、8知识点4圆中的计算

nR（1）弧长公式：l

180（2）扇形面积：SnR3602或S12lR

（3）圆锥的侧面积：S侧rl（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）

【解题方法5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。【解题方法6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。

19．（201*宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若

圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是

（）A．R＝2r

B．R＝3rC．R＝3r

D．R＝4r

20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______．(结果保留)21.（201*浙江宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°.(1)求⊙O的半径；

(2)求图中阴影部分的面积.

AD图16

COPBFE图17

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扩展阅读：初三《圆》章节知识点总结201*.11.4

《圆》章节知识点复习

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫

中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；

ArBdCdOrdd=rrd

《圆》章节知识点复习

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；

dR图1rRdr图2dR图3r

d

五、垂径定理

图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圆》章节知识点复习

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圆》章节知识点复习

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，

CD∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线

OBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

BMAN即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPB

POPO平分BPA

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十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴PAPCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。

如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圆》章节知识点复习

（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：

OD:BD:OB1:3:2；

BOACD

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：lnR180AA；

OSl（2）扇形面积公式：SnR360212lR

Bn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积

《圆》章节知识点复习

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

S表S侧2S底=2rh2r2

（2）圆柱的体积：Vr2h

（2）圆锥侧面展开图

（1）S表S侧S底=Rrr2（2）圆锥的体积：V13r2h

ADD1母线长底面圆周长BCC1B1ORCArB

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