导数题型总结

导数题型总结

导数及其应用题型总结题型一：切线问题

①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程

③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程

（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标

（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f"(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P（-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。

题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos（x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性

例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f"(x)是奇函数，求y=g（x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围

（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。题型四：导数与函数图像问题

例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y

题型五：利用导数研究函数的极值和最值

例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极

yy3

2323

oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。

△判断函数极值点的注意事项：

(1)函数的极值点只出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

(2)若f(x)在（a，b）上有极值，那么y=f(x)在（a，b）上绝不是单调函数，即在区间（a，b）上的单调函数没有极值

(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如y=|x|在x=0处取得极小值(4)若可能极值点有多个时，以实用表格形式进行作答。

题型六：不等式的恒成立问题

例题8：设函数f(x)=（a/3）x3-（3/2）x2+（a+1）x+1，其中a为实数。

（1）已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值。（2）已知不等式f"(x)>x2-x-a+1对于任意a>0都成立，求实数x的取值范围。题型七：导数的实际应用（优化问题）题型八：定积分的应用

例题9：在区间[0,1]上给定曲线y=x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分面积之和最小。

扩展阅读：高考导数问题常见题型总结

高考有关导数问题解题方法总结

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是21．

22．已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c＝6；

33．函数y13xx有极小值－1,极大值3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

31,3处的切线方程是yx2y4xx1．曲线在点

42．若曲线f(x)xx在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）

4yx3．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30

4．求下列直线的方程：

322（1）曲线yxx1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx过点P(3,5)的切线；

32y/3x22xky/|x－13－21解：（1）点P(1,1)在曲线yxx1上，

即xy20所以切线方程为y1x1，

2/（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x0①又函数的导数为y2x，

所以过

2x0A(x0,y0)点的切线的斜率为

ky/|xx02x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②联立方程组得，0，即切点为（1，1）时，切线斜率为

k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分

即y2x1或y10x25别为y12(x1)或y2510(x5)，

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

32f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+11．已知函数

第1页共10页（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

322f(x)xaxbxc,求导数得f(x)3x2axb.解：（1）由

过yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切线方程为y3x1.而过yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③

32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2，b=－4，c=5∴

2（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).

23x2时,f(x)0;当2x时,f(x)0;3当

2当x1时,f(x)0.f(x)极大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又

2依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

x①当

b1时,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2时,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②当

612bb221时,f(x)min0,则0b6.b12③当

综上所述，参数b的取值范围是[0,)

322．已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．

第2页共10页(1)求函数yf(x)的表达式；(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；

(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．

(x)3x22axbf解：(1)，

2由题意得，1,1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b3．

3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴

(x)3x233(x1)(x1)f(2)，

当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；

当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；]上是减函数；在区间[1,)上是增函数．在区间[1,１函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．

(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．

于是，函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的单调性知，1n4综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n

3．设函数f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，求实数a,b的值；

6．

2，即3n6．

第3页共10页（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．

解：（1）f(x)3x2(ab)xab.

由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）当b=1时，

224(aa1)0,故方程有两个不同实根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符号如下：2，由12可判断不妨设1"""xx时，xxx时，xx时，f(x)f(x)f(x)＞０1122当＞０；当＜０；当

因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

/f1．如右图：是f（x）的导函数，(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函数

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的图像为3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)内根的个数为(B)

A、0B、1C、2D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

第4页共10页1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．设函数

（1）求函数f(x)的单调区间、极值.

（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.

22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0极大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0极小

∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减

4f极小(x)ba33，x3a时，f极小(x)bxa时，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴对称轴x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依题|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范围是5

22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函

数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

第5页共10页x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋极大值极小值22所以函数f（x）的递增区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

题型六：利用导数研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

试求函数关系式k=f(t)；

(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个

数.

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10极大值(-1,1)-10极小值(1,+∞)+1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.

第6页共10页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.

题型七：导数与不等式的综合

3a0,函数f(x)xax在[1,)上是单调函数.1．设

（1）求实数a的取值范围；（2）设

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,这解：（1）若在上是单调递减函数，则须

样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.

2若f(x)在1,上是单调递增函数，则a≤3x，

2x1,,故3x3.从而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a为实数，函数

（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f"(x)0有实数解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范围是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的单调递增区间是22；单调减区间为

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的极小值为216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值为

f(x)在[1，0]上的最大值

M对任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

题型八：导数在实际中的应用

1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4

第8页共10页由题设可得正六棱锥底面边长为：

32(x1)282xx2，（单位：m）

6故底面正六边形的面积为：

333((82xx2)22282xx)=24，（单位：m）

帐篷的体积为：

V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（单位：m）

V"（x）求导得

3(123x2)2。

（x）0，解得x2（不合题意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）当1x2时，V"为增函数；（x）0，V（x）当2x4时，V"为减函数。

∴当x2时，V（x）最大。

3答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为163m。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

y（升）关于行驶速度x（千米/

y小时）的函数解析式可以表示为：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

1002.5x40解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，

13(403408)2.517.580要耗没128000（升）。

100（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依题意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第9页共10页

令h"(x)0,得x80.

当x(0,80)时，h"(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h"(x)0,h(x)是增函数。

当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.

因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

3113a(，),b(，).2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1．设平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函数关系式Sf(t)；

，上是单调函数，求k的取值范围。（2）若函数Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是单调函数，

0则在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因为在t∈1,上3t是增函数，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22围是k3。

第10页共10页

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