高考函数题型小结

高考函数题型小结

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18．（本小题满分12分）某花店每天以5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n频数141015201*16171618151913201*以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)满足f(x)f"(1)ex1f(0)x12x．

12xaxb，求(a1)b的

22（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间；（Ⅱ）若f(x)最大值．

理科数学解析（必修+选修Ⅱ）

9．已知

xln,ylog52,ze12，则

A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx10．已知函数

yx3xc3的图像与x轴恰有两个公共点，则c

A．2或2B．9或3C．1或1D．3或119．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立，。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数f(x)axcosx,x[0,]。（1）讨论f(x)的单调性；

（2）设f(x)1sinx，求a的取值范围。

北京卷

（11）在ABC中，若a2，bc7，cosB（18）（本小题共13分）

已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx．

（Ⅰ）若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；（Ⅱ）当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间--1上的最大值．

答案

（18）【解析】（1）当n16时，y16(105)80当n15时，y5n5(16n)10n80

10n80(n15)(nN)得：y80(n16)70，80P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7（2）（i）X可取60，

14，则b．

X的分布列为

XP600.1700.2800.7EX600.1700.2800.776DX1620.1620.2420.744

（ii）购进17枝时，当天的利润为

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476得：应购进17枝

x1（21）【解析】（1）f(x)f(1)ef(0)x122x1xf(x)f(1)ef(0)x

令x1得：f(0)1

x1f(x)f(1)ex1221xf(0)f(1)e1f(1)e

得：f(x)ex

x122xxg(x)f(x)e1x

xg(x)e10yg(x)在xR上单调递增

f(x)0f(0)x0,f(x)0f(0)x0得：f(x)的解析式为f(x)exx12x

2且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（2）f(x)12xaxbh(x)e(a1)xb0得h(x)e(a1)

2xx①当a10时，h(x)0yh(x)在xR上单调递增x时，h(x)与h(x)0矛盾

②当a10时，h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1)得：当xln(a1)时，h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0(a1)b(a1)2(a1)2ln(a1)(a10)令F(x)x2x2lnx(x0)；则F(x)x(12lnx)F(x)00x当x当a

9.答案D

【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。

log52log5512，

e,F(x)0xee时，F(x)maxe1,be2

e2e时，(a1)b的最大值为

【解析】lnlne1，

ze121e1412，故选答案D。

10.答案A【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。

【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而

2f(x)3x33(x)(x1)，当x1时取得极值

由f(1)0或f(1)0可得c20或c20，即c2。

19.【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。解：记

Ai为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则

P(A1)0.6,P(A2)0.6,P(A3)0.4。

（Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为由互斥事件有一个发生的概率加法公式得

A1A2A3A1A2A3A1A2A3，

P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)0.60.40.60.40.60.60.40.40.40.352。

即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352（Ⅱ）由题意0,1,2,3。

P(0)P(A1A2A3)0.60.60.40.144P(1)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=0.408；

；

P(2)0.352；

P(3)P(A1A2A3)0.40.40.60.096

所以E0.40820.35230.0961.4

【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求

解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况。

20.【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。

解：f(x)asinx。

（Ⅰ）因为x[0,]，所以0sinx1。

当a1时，f(x)0，f(x)在x[0,]上为单调递增函数；当a0时，f(x)0，f(x)在x[0,]上为单调递减函数；当0a1时，由f(x)0得sinxa，

由f(x)0得0xarcsina或arcsinax；由f(x)0得arcsinaxarcsina。

所以当0a1时f(x)在[0,arcsina]和[arcsina,]上为为单调递增函数；在

[arcsina,arcsina]

上为单调递减函数。

（Ⅱ）因为f(x)1sinxaxcosx1sinxax1sinxcosx当x0时，01sin0cos00恒成立

ax1sinxcosxa1sinxcosxxa[1sinxcosxx]min当0x时，

g(x)

1sinxcosxx(0x)令

g(x)，则

2(cosxsinx)x1sinxcosxx(1x)cosx(x1)sinx1x2

又令c(x)(1x)cosx(x1)sinx1，则

c(x)cosx(1x)sinxsinx(x1)cosxx(sinxcosx)

x(0,34)则当

x(34时，sinxcosx0，故c(x)0，c(x)单调递减

,]当

时，sinxcosx0，故c(x)0，c(x)单调递增

34所以c(x)在x(0,]时有最小值

x0c()21，而

，

xlimc(x)(10)cos0(01)sin010limc(x)c()(1)10

综上可知x(0,]时，c(x)0g(x)0，故g(x)在区间(0,]单调递

[g(x)]ming()2所以

2故所求a的取值范围为

a。

f()1a11a2另解：由f(x)1sinx恒成立可得

g(x)sinx2x(0x

令

x(0,arcsin22，则

)g(x)cosx2

当

时，g(x)0，当

)x(arcsin2,)2时，g(x)0

g(0)g(2)02又

a2，所以g(x)0，即2xcosxxsinx(0x2

)故当

时，有

f(x)

0x2①当

2时，xsinx，cosx1，所以f(x)1sinx

2(x②当2xf(x)2时，

xcosx12)sin(x2)1sinx

综上可知故所求a的取值范围为

a2。

【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。11.4

18.18．解：（）由1，c为公共切点可得：

2f(x)ax1(a0)，则f(x)2ax，k12a，

g(x)xbx，则f(x)=3xb，k23b，

322a3b①

又f(1)a1，g(1)1b，

a11b，即ab，代入①式可得：2a3b314．

（2）a4b，设h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1

则h(x)3x22axa2，令h(x)0，解得：x1a0，a24a61a2，x2；

6a，

原函数在，aaaa，，单调递增，在单调递减，在上单调递增

2626①若1≤②若a2a2，即a≤2时，最大值为h(1)aa6a24；

a21a6，即2a6时，最大值为h1

a2③若1≥时，即a≥6时，最大值为h1．

2综上所述：

当a0，2时，最大值为h(1)aa4；当a2,时，最大值为h1．

2a

扩展阅读：高考函数题型总结

反函数

（201*陕西卷文）函数f(x)2x4(x4)的反函数为（A）f1121x4(x0)(B)f1(x)x24(x2)22121211（C）f(x)x2(x0)(D)f(x)x2(x2)

22(x)

学科

（201*全国卷Ⅱ文）函数y=x(x0)的反函数是

（A）yx2（x0）（B）yx2（x0）（B）yx（x0）（D）yx2（x0）

x(201*年广东卷文)若函数yf(x)是函数ya的反函数，且f(2)1，（a0，且a1）2则f(x)A．log2xB．

1x2

C．log1xD．2x221ax1(xR,且x)的反函数是1axa1ax11ax1(xR,且x)B、y(xR,且x)A、y1axa1axa(201*湖北卷理)设a为非零实数，函数yC、y

（201*四川卷文）函数y2x11x1x(xR,且x1)D、y(xR,且x1)

a(1x)a(1x)(xR)的反函数是

A.y1log2x(x0)B.ylog2(x1)(x1)C.y1log2x(x0)D.ylog2(x1)(x1)

（201*全国卷Ⅰ文）已知函数f(x)的反函数为g(x)＝＋12lgxx＞0，则f(1)g(1)

（A）0（B）1（C）2（D）已知f(x)

2x11，求f14x33

（201*重庆卷文）记f(x)log3(x1)的反函数为yf1(x)，则方程f1(x)8的解x分段函数

(201*山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=的值为()

x0log2(4x),，则f（3）

f(x1)f(x2),x0x24x6,x0（201*天津卷文）设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是（）

x6,x0A(3,1)(3,)B(3,1)(2,)C(1,1)(3,)D(,3)(1,3)

3x,x1,（201*北京文）已知函数f(x)若f(x)2，则x.

x,x1,1,x01x（201*北京理）若函数f(x)则不等式|f(x)|的解集为__________7__.

3(1)x,x03（201*辽宁卷文）已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()；当x＜4时f(x)＝f(x1)，则f(2log23)＝

（A）

抽象函数

（201*四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数

12x1131（B）（C）（D）248812x都有

xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是

A.0B.

15C.1D.22（201*辽宁卷文）已知偶函数f(x)在区间0,)单调增加，则满足f(2x1)＜f()的x取值范围是（A）（

已知函数yfx22x3的定义域为2,2，求f(x)的定义域。

已知f(2x1)的定义域是0,1，则f(13x)的定义域

2x1x11若f，求f(x)2xxx1312121212，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）33332323已知fx1132x523x，则f(x)xxx1x已知3f(x)5f2x1，求f(x)单调性

（201*年广东卷文)函数f(x)(x3)e的单调递增区间是A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)

（201*全国卷Ⅱ文）设alge,b(lge)2,clge,则

（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba

（201*天津卷文）设alog12,blog13,c()32x120.3，则

AaA．aR，f(x)在(0,)上是增函数

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B．aR，f(x)在(0,)上是减函数C．aR，f(x)是偶函数D．aR，f(x)是奇函数

（201*湖南卷文）设函数yf(x)在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

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f(x),f(x)K,fK(x)K,f(x)K.1时，函数fK(x)的单调递增区间为2取函数f(x)2x。当K=

A．(,0)B．(0,)C．(,1)D．(1,)

（201*福建卷文）定义在R上的偶函数fx的部分图像如右图所示，则在2,0上，下列函数中与fx的单调性不同的是A．yx21B.y|x|1

C.y2x1,x0x1,x03

xe,xoD．yx

e,x0（201*江苏卷）函数f(x)x15x33x6的单调减区间为

奇偶性和图像平移对称

321)与f(x1)都是奇函数，（201*全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x则(D)

(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇函数

(201*山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则().

A.f(25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(25)C.f(11)f(80)f(25)D.f(25)f(80)f(11)

（201*全国卷Ⅱ文）函数y=ylog22x的图像2x（A）关于原点对称（B）关于主线yx对称（C）关于y轴对称（D）关于直线yx对称

（201*北京文）为了得到函数ylgx3的图像，只需把函数ylgx的图像上所有的点10（）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

（201*江西卷文）已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有

f(x2）f(x)，且当x[0,2)时，f(x)log2(x1，则f(201*)f(201*)的值）为

A．2B．1C．1D．2

(201*陕西卷理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(,0](x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1))0.则当nN时,有

*(A)f(n)f(n1)f(n1)(B)f(n1)f(n)f(n1)

(C)(C)f(n1)f(n)f(n1)(D)f(n1)f(n1)f(n)(201*年广东卷文)（本小题满分14分）

已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行,且yg(x)在x=－1处取得最小值m－1(m0).设函数f(x)g(x)x(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值(2)k(kR)如何取值时,函数yf(x)kx存在零点,并求出零点.

（201*浙江文）（本题满分15分）已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb

(a,bR)．

（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；（II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围．．．．

（201*北京文）（本小题共14分）

设函数f(x)x33axb(a0).

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.

（201*江苏卷）(本小题满分16分)设a为实数，函数(1)若(2)求

f(x)2x2(xa)|xa|.f(0)1，求a的取值范围；f(x)的最小值；(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.f(x),x(a,)，直接写出．．．．

(3)设函数h(x)

(201*山东卷文)（本小题满分12分）已知函数f(x)13axbx2x3,其中a03（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

（2）已知a0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.

.设函数f(x)13x(1a)x24ax24a，其中常数a>13(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

（201*安徽卷文）（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）讨论

的单调性；

在区间{1，

，a＞0，

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（Ⅱ）设a=3，求

}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。

（201*江西卷文）（本小题满分12分）设函数f(x)x392x6xa．2（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

（201*天津卷文）（本小题满分12分）

设函数f(x)13xx2(m21)x,(xR,)其中m03（Ⅰ）当m1时，曲线yf(x)在点（处的切线斜率1，f（1））（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，且x1x2。若对任意的x[x1,x2]，x1,x2，

f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围

（201*四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x2bxcx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)f(x)321mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

（201*湖南卷文）（本小题满分13分）

已知函数f(x)xbxcx的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在xt处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。

（201*辽宁卷文）（本小题满分12分）

设f(x)ex(ax2x1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。（I）（II）

求a的值，并讨论f（x）的单调性；证明：当[0,2]时，f(cos)f(sin)2

（201*陕西卷文）（本小题满分12分）已知函数f(x)x33ax1,a0

求f(x)的单调区间；

若f(x)在x1处取得极值，直线y=my与y的取值范围。（201*四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)f(x)f(x)的图象有三个不同的交点，求m

1mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

（201*湖北卷文）（本小题满分14分）

已知关于x的函数f(x)+

13xbx2cxbc,其导函数为f+(x).令g(x)＝34，试确定b、c的值：3f(x),记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-

（Ⅱ）若b>1,证明对任意的c,都有M>2:

(Ⅲ)若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

（201*宁夏海南卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x3ax9axa.(1)设a1，求函数fx的极值；

32(2)若a

1"，且当x1,4a时，f(x)12a恒成立，试确定a的取值范围.4（201*福建卷文）（本小题满分12分）

13xax2bx,且f"(1)03（I）试用含a的代数式表示b；

已知函数f(x)（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）令a1，设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点

M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；

（201*重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）

已知f(x)x2bxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，g(x)(xa)f(x)．（Ⅰ）求曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若当x1时函数yg(x)取得极值，确定yg(x)的单调区间

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