高中数学必修5 第一章 解三角形复习知识点总结与练习201*-9-16

高中数学必修5 第一章 解三角形复习知识点总结与练习201*-9-16

名成教育辅导中心教学资料TEL:15859099020(张老师)高中数学必修5第一章解三角形复习201*-9-16

一、知识点总结

abc2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC.1．正弦定理:

sinAsinBsinCb2c2a2cosA2222bcabc2bccosA

2a2c2b2222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2acc2b2a22bacosC

b2a2c2

cosC

2ab

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：

sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

sin已知条件一边和两角（如a、B、C）两边和夹角(如a、b、c)三边(如a、b、c)余弦定理余弦定理ABCABCABCcos,cossin,tancot.、222222定理应用正弦定理一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解时只有一解。二、巩固练习

一、选择题

1、ΔABC中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B等于

A．60°

B．60°或120°

C．30°或150°D．120°（）

B．a=1,b=2,∠A=30°

1

（）

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是

A．a=1,b=2,c=3

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C．a=1,b=2,∠A=100°3、在锐角三角形ABC中，有

A．cosA>sinB且cosB>sinAC．cosA>sinB且cosB

扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习

高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习

一、知识点总结

abc2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC.1．正弦定理:

sinAsinBsinC推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜，则α≤βsinsin，等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理：sinA＞sinBA＞Ba＞bcosAcosBAB（ycosx在(0,)上单调递减）

b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA

2a2c2b2222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2acc2b2a22bacosC

b2a2c2

cosC

2ab

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,sin已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCcos,cossin,tancot222222一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。定理应用正弦定理两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解时只有一解。

解三角形[基础训练A组]

一、选择题

1．在△ABC中，若C900,a6,B300，则cb等于（）A．1B．1C．23D．23

2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．tanAD．

1tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（）A．2B．

03C．3D．2325．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90B．120C．135D．150

000000000000二、填空题

01．在Rt△ABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_______________。

2．在△ABC中，若abbcc,则A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，AB0022262,C300，则ACBC的最大值是________。

三、解答题

1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

abcosBcosAc()baba3．在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

2．在△ABC中，求证：

4．在△ABC中，设ac2b,AC3,求sinB的值。

解三角形[综合训练B组]一、选择题

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1

2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值（）A大于零B小于零C等于零D不能确定3．在△ABC中，若A2B，则a等于（）A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形

5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A()A．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,cosC0000131111，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．1457．在△ABC中，若tanABa2bab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空题

1．若在△ABC中，A600,b1,SABC3,则

abcsinAsinBsinC=_______。

2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或ab等于（）cABABABABA．2cosB．2cosC．2sinD．2sin

22222．在△ABC中，若C900,则三边的比

3．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（）A．12B．

21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，则下列各式中正确的是（）

00A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB

5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（）A．90B．60C．120D．150

0000tanAa22，则△ABC的形状是（）6．在△ABC中，若

tanBbA．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形

二、填空题

1．在△ABC中，若sinAsinB,则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,则△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,则x,y,z的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，则cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________。6．在△ABC中，若bac，则cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

2三、解答题

1．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，请判断三角形的形状。

2．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,

求△ABC的面积的最大值。

22223．已知△ABC的三边abc且ac2b,AC

2，求a:b:c

4．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB边上的高为43，求角A,B,C的

大小与边a,b,c的长

[基础训练A组]

一、选择题

b001.Ctan30,batan3023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出图形

5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是锐角，则

2AB,AB2,C2

1,A300或150025282721,600,18006001200为所求6.B设中间角为，则cos2582二、填空题

1111.sinAsinBsinAcosAsin2A222b2c2a21AA,10202.120cos2bc203.62A15,0abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB404.120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2ACBCABACBCAB,,ACBCsinBsinAsinCsinBsinAsinCABAB2(62)(sinAsinB)4(62)sincos

22AB4cos4,(ACBC)max4

2三、解答题

5.4

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0，得A所以△ABC是直角三角形。

2或B2

a2c2b2b2c2a22.证明：将cosB，cosA代入右边

2ac2bc

a2c2b2b2c2a22a22b2)得右边c(

2abc2abc2aba2b2ab左边，

abba∴

abcosBcosAc()baba3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

ACACBBcos4sincos，4.解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sin2222∴sinBB1AC3B13，而0,∴cos，cos22222424∴sinB2sinBB31339cos222448[综合训练B组]

一、选择题

1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132::1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是锐角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinC

cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

22b2c2a21sA,bca3bc,coA2bc22220606.Ccab2abcosC9,c3，B为最大角，cosB22217ABABsinABabsinAsinB22，7.Dtan2absinAsinB2sinABcosAB222cos

ABAB2,tanAB0，或tanAB1tanAB222tan2所以AB或AB

2tan二、填空题

1.

113239SABCbcsinAc22233c,a42,a13,13

abca13239sinAsinBsinCsinA332sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)

222cos(B)2cosB11,tanAtanB1，tanAsinBtanBtanBsinBsiCnBtaCn3.2tan

cosBcoCssinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.锐角三角形C为最大角，cosC0,C为锐角

8433bca311045.60cosA2bc6222(31)22222222a2b2c6．(5,13)a2c2bc2b2a13c2222,4c9,5c13,5c1322c942三、解答题

1.解：SABC21bcsinA3,bc4,22abc2bcosA,b所以b1,c4

2c，而5cb

2.证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴sinAsin(

2,即

2A2B0

2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1

3.证明：∵sinAsinBsinC2sin

sinAsinBsinC1

cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos

2222ABABAB2sin(coscos)

222CAB2cos2coscos

222ABC4coscoscos

222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos

222aba2acb2bc1，只要证1，4．证明：要证2bcacabbcacc即abcab

而∵AB120,∴C60

00222a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab

2ab∴原式成立。

CA3bccos22221cosC1cosA3sinBsinC∴sinA222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB

5．证明：∵acos2∴sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB，∴ac2b

[提高训练C组]

一、选择题

1.CsinAcosA2sin(A),

4而0A,2.B

4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABABcos2cos2sin2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA6322

4.DAB90则sinAcosB,sinBcosA，00A450,sinAcosA，450B900,sinBcosB5.Cacbbc,bcabc,cosA22222201,A1201*sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB6.B

cosAsinBsin2BcosAsinBsinA2sinB2A,2或B2A2B2

二、填空题

1.对sinAsinB,则2.直角三角形

ababAB2R2R)1,1(1cosA21coBs2)2cAosB(21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB2,A2B,siAncBosB,sinAycosz,cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACAC,2sincos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin

2222221C2Asin2则sinAsinC4sin3221cosAcosCcosAcosCsinAsinC

3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2

22ACAC2sin22sin24sin2sin211

2222tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)2tanB1AsiCn4．1sin2sBintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanB3B3

22(C)cosBco2sB6．1bac,sinBsinAsinC,cosAcosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1

cos(AC)cosB11

三、解答题

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A1.解：2,222absin(AB)bcosAsinBsinB

cosBsiAn,sinA2cosAsiBn∴等腰或直角三角形

siBn2A,2B或22AB2

2.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,

a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222

c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2[cos(AB)cos(AB)]

2122R2[cos(AB)]222R22(1)22Smax212R此时AB取得等号2ACACACACcos4sincos22223.解：sinAsinC2sinB,2sinsinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,acbac,cosB2221,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,

1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，联合tanAtanC33

00tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1C45C75tanC23当A750,C450时，b434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA当A450,C750时，b000∴当A75,B60,C45时，a8,b4(326),c8(31),当A45,B60,C75时，a8,b46,c4(31)。

000

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