高中数学必修3第二章知识点总结及练习

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高中数学必修3第二章知识点总结及练习

高中数学必修3知识点总结

第二章统计

2.1.1简单随机抽样

1．总体和样本：在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：

，，，

研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3．简单随机抽样常用的方法：

（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距

第1页共5页离重合。

2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法：

1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3．分层的比例问题：

（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

第2页共5页1、本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)22、．样本标准差：ss

n3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、

均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。

4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x3s,x3s)的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理2.3.2两个变量的线性相关

1、概念:（1）回归直线方程（2）回归系数2．最小二乘法3．直线回归方程的应用

（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存

的数量关系

（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即

因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控

制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。

4．应用直线回归的注意事项：（1）做回归分析要有实际意义；

（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。

第3页共5页数学必修3第二章《统计》微型试卷

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级201*名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从201*人中剔除7人，剩下201*人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定

2．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()

A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，14

3．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法4.频率分布直方图中,小长方形的面积等于()

A.相应各组的频数B.相应各组的频率C.组数D.组距

5.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过70分的人数为8人,其累计频率为0.4,则这样的样本容量是()A.20人B.40人C.70人D.80人

6．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）

（1）（2）（3）（4）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）7.下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃杯数182413341039451-163若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（）A.yx6B.yx42C.y2x60D.y3x78

8．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图如下．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）A．48米B．49米C．50米D．51米

第4页共5页频率组距2%1%0.5%30313233

48495051水位（米）

9．由小到大排列的一组数据:x1,x2,x3,x4,x5,其中每个数据都小于2,则样本

2,x1,x2,x3,x4,x5的中位数可以表示为（）

x2x32x5x3x4x2x1A.B.C.D.

2222

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼。12.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有___学生。13已知200辆汽车通过某一段公路时的时速

频率的频率分布直方图如右图所示，则时速在

组距[60,70]的汽车大约有_________辆.00400314．已知x与y之间的一组数据为

002x0123001y135-a7+a4050607080时速（km）

则y与x的回归直线方程ybxa必过定点______

15.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10，标准差是2，则xy参考答案

一、选择题：CABBA，DCCCB

二、填空题：11、75012、370013、8014、(,4)15、96

第5页共5页

扩展阅读：高中数学必修3知识点总结及习题

高中数学必修3知识点

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点:

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2

程序框图

1、程序框图基本概念：

（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

（二）构成程序框的图形符号及其作用

程序框起止框输入、输出框处理框法中任何需要输入、输出的位置。赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立，成立时在出口处标判断框明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。不可少的。表示一个算法输入和输出的信息，可用在算名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何流程图学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。2、条件结构：

AB条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

AAPP成立成立不成立不成立p

当型循环结构直到型循环结构

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

（1）输入语句的一般格式

图形计算器格式INPUT“提示内容”；变量INPUT“提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句

（1）输出语句的一般格式

图形计算器格式PRINT“提示内容”；表达式Disp“提示内容”，变量（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式

（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左

右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式有两种：（1）IFTHENELSE语句；（2）IFTHEN语句。2、IFTHENELSE语句

IFTHENELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

图形计算器变量＝表达式格式表达式变量IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF满足条件？是语句1否语句24

图1图2

分析：在IFTHENELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。3、IFTHEN语句

IFTHEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。IF条件THEN语句ENDIF（图3）

是满足条件？否（图4）执行的操语句注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时

作内容，条件不满足时，结束程序；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

1、WHILE语句

（1）WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是

循环体WHILE条件循环体WEND满足条件？否是（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

2、UNTIL语句

（1）UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是

DO循环体LOOPUNTIL条件循环体满足条件？是否（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商为m，n的最大公约数；若（3）：若商

S2R1R0S0和一个余数

R0R0；（2）：若

S1R0＝0，则n

R1≠0，则用除数n除以余数

R1得到一个商

R0和一个余数

R1；

＝0，则

R2R1为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数

Rn1得到一个

和一个余数；依次计算直至

Rn＝0，此时所得到的即为所求的最

大公约数。2、更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.

分析：（略）

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术

则以减数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）2、冒泡排序

基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3进位制

1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数

基础型训练

一、选择题

1．下面对算法描述正确的一项是：（）

A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示

C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．用二分法求方程x220的近似根的算法中要用哪种算法结构（）

A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都用3．将两个数a8,b17交换,使a17,b8,下面语句正确一组是()

a=bb=ac=bb=aa=cb=aa=ba=cc=bb=a

A．B．C．D．

4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）

a1b3aabbab

PRINTa，b

A．1,3B．4,1C．0,0D．6,05．当a3时，下面的程序段输出的结果是（）IFa10THEN

y2a

else

yaa

PRINTy

A．9B．3C．10D．6

二、填空题

1．把求n!的程序补充完整

“n=”，ni=1s=1i<=ns=s*ii=i+1PRINTsEND2．用“冒泡法”给数列1,5,3,2,7,9按从大到小进行排序时，经过第一趟排序后得到的新数列为．

3．用“秦九韶算法”计算多项式f(x)5x54x43x32x2x1，当x=2时的值

的过程中，要经过次乘法运算和次加法运算．

4．以下属于基本算法语句的是．

①INPUT语句；②PRINT语句；③IF-THEN语句；④DO语句；⑤END语句；⑥WHILE语句；⑦ENDIF语句．5．将389化成四进位制数的末位是____________．三、解答题

1．把“五进制”数1234

2．用秦九韶算法求多项式f(x)7x6x5x4x3x2xx

当x3时的值．

3．编写一个程序，输入正方形的边长，输出它的对角线长和面积的值．

4．某市公用电话（市话）的收费标准为：3分钟之内（包括3分钟）收取0.30元；超过3分钟部分按0.10元/分钟加收费．设计一个程序，根据通话时间计算话费．

765432(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数．提高型训练

一、选择题

1．下列给出的赋值语句中正确的是（）

A．4MB．MMC．BA3D．xy02．给出以下四个问题,

①x,输出它的相反数．②求面积为6的正方形的周长．

③求三个数a,b,c中输入一个数的最大数．

x1,x0④求函数f(x)的函数值．

x2,x0n=5s=0WHILEs2．二进制数111.11转换成十进制数是_________________．3．下左程序运行后输出的结果为_______________．INPUT“a，b，c=”;a，b，c

IFb>aTHENx5

t=a

4．上右程序运行后实现的功能为_______________．ELSEyy3ENDIFPRINTx－y；y－xEND第3题y20IFx0THENxy3a=bb=tENDIFIFc>aTHENt=aa=cc=tENDIFIFc>bTHENt=bb=cc=tENDIF三、解答题

1．已知一个三角形的三边边长分别为2,3,4，设计一个算法，求出它的面积．

52．用二分法求方程x3x10在(0,1)上的近似解，精确到c0.001，写出算

法．画出流程图，并写出算法语句．

第二章2.1.1简单随机抽样

1．总体和样本

统计

在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．

把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法:

（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签

（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查

例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5．随机数表法：

例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

，，，K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

2.1.3分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：

两种方法：

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。

（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3．分层的比例问题：

（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、本均值：xx1x2xnn

2、．样本标准差：ss2(x1x)(x2x)(xnx)n222

3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、

均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。

（1）回归直线方程（2）回归系数2．最小二乘法

3．直线回归方程的应用

（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存

的数量关系

（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即

因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控

制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。

4．应用直线回归的注意事项

（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。

基础型训练

一、选择题

1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有()A．abcB．bcaC．cabD．cba2．下列说法错误的是()

A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体

B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，

那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()

A．3.5B．3

C．3D．0.54．要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的()

A．平均数B．方差

C．众数D．频率分布

5．要从已编号（1~60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）

A．5,10,15,20,B．3,13,23,33,C．1,2,3,4,D．2,4,8,16,32,48

6．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号123456

78频数1013x14151141312131149第三组的频数和频率分别是()

A．14和0.14B．0.14和14C．

和0.14D．

和

二、填空题

1．为了了解参加运动会的201*名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有；

①201*名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等．

2．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的2位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人．3．数据70,71,72,73的标准差是______________．4．数据a1,a2,a3,...,an的方差为2，平均数为，则

（1）数据ka1b,ka2b,ka3b,...,kanb,(kb0)的标准差为，平均数为．

（2）数据k(a1b),k(a2b),k(a3b),...,k(anb),(kb0)的标准差为，

平均数为．

5．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在2700,3000的频率为．频率/组距0．00240027003000330036003900体重三、解答题

1．对某校初二男生抽取体育项目俯卧撑，被抽到的50名学生的成绩如下：成绩（次）10987654316

人数865164731试求全校初二男生俯卧撑的平均成绩．

2．为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：

组别145．5～149．5149．5～153．5153．5～157．5157．5～161．5161．5～165．5165．5～169．5合计频数14201*8频率0．020．080．400．300．16MMnN（1）求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少？（2）画出频率分布直方图．

（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？

3．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量

为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？

4．从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下：

甲班乙班7686748482629676667876927882727452886885

画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况．

提高型训练

一、选择题

1．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取

30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）

A．5,10,1B．3,9,18C．3,10,17D．5,9,162．从N个编号中抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为（）

A．

NnB．nC．

NND．nn13．有50件产品编号从1到50,现在从中抽取5件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为

()A．5,10,15,20,25B．5,15,20,35,40

C．5,11,17,23,29D．10,20,30,40,50

4．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（）

A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（）A．r越大，相关程度越大

B．r0,，r越大，相关程度越小，r越小，相关程度越大C．r1且r越接近于1，相关程度越大；r越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对

二、填空题

1．相关关系与函数关系的区别是．2．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样

考虑用系统抽样，则分段的间隔k为_______________

3．从10个篮球中任取一个，检验其质量，则应采用的抽样方法为_______________．4．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为_____________________

5．甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下

甲68998乙107779则两人射击成绩的稳定程度是__________________．三、解答题

1．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的

频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）79.5~89.5这一组的频数、频率分别是多少？

（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）

2．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

（1）画出数据对应的散点图；

（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；

（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m时的销售价格．

219

第三章概率

3.1.13.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试

验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例

nAfn(A)=n为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n

nA的比值n，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立

事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.13.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；

A包含的基本事件数②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=总的基本事件个数

3.3.13.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：

构成事件A的区域长度（面积或体积）积）；

P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

基础型训练

一、选择题

1．下列叙述错误的是（）

A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近

概率B．若随机事件A发生的概率为pA，则0pA1C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）

A．

14B．

12C．

18D．无法确定

3．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）

102104．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）

A．

110B．

3C．

1D．

A.3个都是正品B．至少有1个是次品

C．3个都是次品D．至少有1个是正品

5．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是()A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96

6．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在4.8,4.85（g）范围内的概率是（）

8A．0.62B．0.38C．0.02D．0.6

二、填空题

1．有一种电子产品，它可以正常使用的概率为0.992，则它不能正常使用的概率是．

2．一个三位数字的密码键,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记后一个

号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为___

3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是．

4．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是．

5．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是．

三、解答题

1．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：

（１）甲被选中的概率（２）丁没被选中的概率

2．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

3．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间

少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．

4．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为

40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?(1)红灯(2)黄灯(3)不是红灯

数学必修3第三章概率初步试卷

班级：姓名：座号：评分：

一、选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分）1.下列说法正确的是（）

A.任何事件的概率总是在（0，1）之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定2.掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（）A.

16B.

12C.

13`D.

3.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）A.

1999B.

11000C.

9991000D.

4.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A与C互斥B.B与C互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥

5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g）范围内的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A.

12B.

14C.

13D.

7.甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（）A.

13.B.

14C.

12D.无法确定

8.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A.1B.

12C.

13D.

9.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出

一球，则取出的两个球同色的概率是（）A.

12B.

13C.

14D.

10.现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能

放

一个球，则K或S在盒中的概率是（）A.

110B.

35C.

310D.

910

11.设A,B为互斥事件,则A,B()

A.一定互斥,B.一定不互斥,C不一定互斥D.与A+B彼此互斥

12.如果A,B互斥,那么()

A,A+B是必然事件B.AB是必然事件C.A与B一定互斥D.

A与B一定不互斥234567891011121二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，

则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________12.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_____________

13.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，

其中至少有1名女生当选的概率是______________

14.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

年降水量/mm概率[100,150)0.21[150,200)0.16[200,250)0.13[250,300]0.12则年降水量在[200，300]（m,m）范围内的概率是___________

三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）15.（8分）如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角

三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，

问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

16.（8分）10本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出

数学书的概率有多大？

17.（14分）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白，

三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球（1）求取出的两个球是不同颜色的概率.

（2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同

颜色的概率（写出模拟的步骤）.

18.掷红,蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少一颗骰子出现偶数点的概率.

19.先后掷两个均匀正方体骰子(六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为X,Y,则log2XY=1的概率为多少?

20.柜子里有4双不同的鞋,随机地取出4只,试求下列事件的概率.

(1)取出的鞋子都不成对;(2)取出的鞋恰好有两只成对;(3)取出的鞋至少有两只成对;(3)取出的鞋全部成对.

第三章概率例题解析

高考试题中每年都会出现概率试题大多数试题考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率，简单随机变量的分布列，以及随机变量的数学期与方差，这部分综合性较强，涉及排列、组合、二项式定理和概率，主要考查学生对知识的综合运用。而知识点将是今后每年必考的内容之一，也将是近几年高考的一个新热点。注意以下几个方面：⑴概率是频率的近似值，两者是不同概念⑵等可能事件中概率P(A)mn，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA时，P(A)P(A)1，即对立事件的概率和为1⑷相互独立事件A，B同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnP(1-P)，其中P为事件A在一

次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项

一、随机事件的概率。

例题1、设有关于x的一元二次方程x2axb0．

1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上（Ⅰ）若a是从0，22kkn-k

述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解:

练习1、如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方

DC28

MAB法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为

mnS，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方

形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.0，3内的概率．)k附表：P(k)kCt0t100000.250.75t10000t

242525740.957025750.95902424P(k)0.04030.0423解:

二、互斥事件与相互独立事件的概率。

例题2、如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常

工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.

解:

练习2、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为

1545、、

5325、

，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.（注：本小题结果可用分数表示）解:

练习3、设一射手平均每射击10次中靶4次,求在5次射击中:(1)恰击中1次的概率;(2)第

二次击中的概率;(3)恰击中2次的概率;(4)第二、三两次击中的概率;(5)至少击中1次的概率.

解:

三、求离散型随机变量分布列、期望、方差。

例题3、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．解:

例题4、设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程

xbxc0实根的个数（重根按一个计）．

2（Ⅰ）求方程xbxc0有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程xbxc0有实根的概率．解:

练习4、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

17，现有甲、乙

两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。

（I）求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)甲取到白球的概率。（III）求随机变量的概率分布列及期望。解:

概率答案

⑶互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA时，P(A)P(A)1，即对立事件的概率和为1⑷相互独立事件A，B同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P为事件A在一

次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]展开的第k+1项

一、随机事件的概率。

n例题1、设有关于x的一元二次方程x22axb20．

（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解:设事件A为“方程a22axb20有实根”．

当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为a≥b．（Ⅰ）基本事件共12个：

(0，0)，(0，，1)(0，2)，，(10)，，，，(11)(12)，(2，0)，(2，，1)(2，2)，(3，0)，(3，，1)(3，2)．其中第一个数表示a的

取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

P(A)91234．

D（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2．构成事件A的区域为(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b．

32122C

M所以所求的概率为23223．

练习1、如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下

面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为

mnS，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向

正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.0，3内的概率．)k附表：P(k)kCt0t100000.250.75t10000t

242525740.957025750.959032

2424P(k)0.04030.04解:每个点落入M中的概率均为pEX10000142500．

14．依题意知

1X~B100，004．（Ⅰ）

（Ⅱ）依题意所求概率为P0.03410.0310000X，

C100000.250.75tt10000tXP0.03410.03P(2425X2575)10000257424252574t2426．

t2426Ct100000.250.75t10000tCt0t100000.250.75t1000010.95700.04230.9147二、互斥事件与相互独立事件的概率。

例题2、如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常

解:记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率

P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648

(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)［1－P(BC)］=P(A)［1－P(B)P(C)］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系统N2正常工作的概率为0.792练习2、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为

1545、、

5325、

，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

（注：本小题结果可用分数表示）

2，3，4)，则P(A1)解:（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i1，

45，

P(A2)35，P(A3)25，P(A4)15，

该选手进入第四轮才被淘汰的概率

P4P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(P4)4535254596625．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

P3P(A1A1A2A1A2A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)

154525453535101125．

练习3、设一射手平均每射击10次中靶4次,求在5次射击中:(1)恰击中1次的概率;(2)第二次击中的概率;(3)恰击中2次的概率;(4)第二、三两次击中的概率;(5)至少击中1次的概率.

解:由题设,此射手射击1次,中靶的概率为0.4,此射手射击5次,是一独立重复试验,可用公式

Pn(k)CnP(1P)kknk14（1）由n5,k1,得P5(1)C5P(1P)0.2592

(2)事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可,它不同于“击中一次”,也不同于“第二次击中,其他各次都不中”,不能用独立重复试验的概率公式,其实,“第二次击中”的概率,就是此射手“射击一次击中”的概率为0.4.（3）由n5,k2,得P5(2)C52P2(1P)30.3456

(4)“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中,所以概率为0.4×0.4=0.16

(5)设“至少击中一次”为事件B,则B包括“击中一次”,“击中两次”,“击中三次”,“击中四次”,“击中五次”,所以概率为

P(B)P5(1)P5(2)P5(3)P5(4)P5(5)0.25920.34560.23040.07680.010240.92224

事件B是用“至少”表述的,可以考虑它的对立事件.B的对立事件是“一次也没有击中”,所以B事件的概率可以这样计算:

05P(B)1P(B)1P5(0)1C5(10.4)0.92224

三、求离散型随机变量分布列、期望、方差。

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

解:（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且P(A)C3C2241212，P(B)2515C4C22625．

故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)P(A)P(B)．

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且

CC41P(D)3225C4C612CCC4P(C)3222415C4C6211，

．

41515715故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD)P(C)P(D)1，2，3．由（Ⅰ）（Ⅲ）解：可能的取值为0，，（Ⅱ）得P(0)1．

71515，P(1)，

C113P(3)3P(2)1P(0)P(1)P(3)．从而．2210C4C630的分布列为

P01571513107152130310763130的数学期望E015123．

例题4、设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程

xbxc0实根的个数（重根按一个计）．

2（Ⅰ）求方程xbxc0有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程xbxc0有实根的概率．

解:（I）基本事件总数为6636，

若使方程有实根，则b24c0，即b2c。

当c1时，b2,3,4,5,6；当c2时，b3,4,5,6；当c3时，b4,5,6；当c4时，b4,5,6；当c5时，b5,6；当c6时，b5,6,目标事件个数为54332219,因此方程x2bxc0有实根的概率为

1936.

1736(II)由题意知，0,1,2，则P(0)故的分布列为

，P(1)236118,P(2)1736，

17361

173611181182

1736P

17361.

的数学期望E02(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2bxc0有实根”为事件N，则P(M)1136，P(MN)736，P(NM)P(MN)P(M)711.

17练习4、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙

（I）求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)甲取到白球的概率。（III）求随机变量的概率分布列及期望。

解:（1）设袋中原有n个白球，由题意可得

17CnC722n(n1)76n3

376351352235（2）因为甲先取，甲只能在第1次，3次，5次取到白球P(A)（3）1,2,3,4,5

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