数学归纳法应用总结

数学归纳法应用总结

数学归纳法的应用

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()

A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题

1311511173.(★★★★★)观察下列式子：1,122,1222…则可归

223423234纳出_________.

4.(★★★★)已知a1=an=_________.

三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：

3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想

an3211113.n1n22n247.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试bn比较Sn与

1logabn+1的大小，并证明你的结论.3第1页共5页8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,anan+1=－qn,求an表达式，又如果limS2n＜3,求q的取值范围.

n

参考答案

难点磁场

14(abc)6a31b11解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有22(4a2bc)2c10709a3bc于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+…+n(n+1)2=

n(n1)(3n211n10)12记Sn=122+232+…+n(n+1)2

k(k1)(3k2+11k+10)12k(k1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24)

12(k1)(k2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12设n=k时上式成立，即Sk=

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1－(2k+7)3k=(6k+27)3k－(2k+7)3k

－

=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k≥2)f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C二、3.解析：1131211即1222112(11)111511221,即1

2122323(11)2(21)2第2页共5页归纳为11112n1*

(n∈N)

n12232(n1)2答案:11112n1(n∈N*)222n123(n1)13a1233同理,4.解析:a2a131725323a23333333a3,a4,a5,猜想ana238359451055n5333333答案:、、、

78910n5三、5.证明：(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)

∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

×

117132122122411113(2)假设当n=k时成立，即k1k22k241111111则当nk1时,k2k32k2k12k2k1k1131111311242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)246.证明：(1)当n=2时，

b11b117.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－210(101)d310bd14512(2)证明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n2111而logabn+1=loga33n1,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…3341(1+)与33n1的大小.

3n2Sn=loga(1+1)+loga(1+

第3页共5页取n=1，有(1+1)=38343311取n=2，有(1+1)(1+)38373321推测：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n1(*)43n2①当n=1时，已验证(*)式成立.

11)…(1+)＞33k143k21111)(1)33k1(1)则当n=k+1时，(11)(1)(143k23(k1)23k1②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+

3k233k1

3k1(3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k40

(3k1)2(3k1)233k1(3k2)33k433(k1)13k1111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)1,即当n=k+1时，(*)式成立

43k23k1由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞

11logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1338.解：∵a1a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－

9,2an1,即an+2=qanan2q∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1两式相除，得

于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)22qk1n2k1时(kN)综合①②，猜想通项公式为an=1k

qn2k时(kN)2下证：(1)当n=1,2时猜想成立

－

(2)设n=2k－1时，a2k－1=2qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k－1∴a2k+1=2qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=－

1k

q,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k,2第4页共5页所以a2k+2=－

1k

q+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

2qk1当n2k1时(kN)这样所求通项公式为an=1k

q当n2k时(kN)2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－

1(q+q2+…+qn)22(1qn)1q(1qn)1qn4q()()

1q2(1q)1q21qn4q)()由于|q|＜1,∴limq0,故limS2n=(nn1q2n依题意知

4q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1q)5第5页共5页

扩展阅读：数学归纳法的应用习题

第2课时数学归纳法的应用

双基达标限时20分钟

1111

1．利用数学归纳法证明n＋＋＋＋2n()．

A．f(n)＋n－1C．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋nD．f(n)＋n＋2

解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案C

111

4．已知Sn＝1＋＋33557＋＋

1

，则S1＝________，S2＝________，

2n－12n＋1

S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.n

解析分别将1,2,3,4代入观察猜想Sn＝.

2n＋11234n

答案3579

2n＋1

5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案2x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：

1111

1＋22＋32＋＋n2＜2－n(n≥2)．

1513

证明：(1)当n＝2时，1＋22＝4＜2－2＝2，命题成立．

1111

(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋22＋32＋＋k2＜2－k，当n＝k＋1时，1111＋22＋32＋＋k2＋

1111111

＜2－＋＜2－＋＝2－kk＋12kkk＋1k＋k－k＋1211

＝2－，命题成立．k＋1k＋1

由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．

综合提高限时25分钟7．用数学归纳法证明不等式

11111＋＋＋2n>24(n∈N*)的过程中，由n＝kn＋1n＋2

递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是

()．

A．增加了一项B．增加了两项

1

2k＋1

11和2k＋12k＋1

1k＋11k＋1

C．增加了B中的两项，但又减少了一项

D．增加了A中的一项，但又减少了一项解析当n＝k时，不等式左边为当n＝k＋1时，不等式左边为答案C

111＋＋＋2k，k＋1k＋2

11111＋＋＋2k＋＋.k＋2k＋32k＋12k＋2

8．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是()．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立

解析由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立．所以P(4)成立，则P(6)成立．答案C

9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．

解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：c，

1＝3a－b＋

1＋2×3＝322a－b＋c，

1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，

3a－3b＋c＝1，

整理得18a－9b＋c＝7，

81a－27b＋c＝34，

11

答案a＝2，b＝c＝4

11

解得a＝2，b＝c＝4.

an

10．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，

3an＋1归纳、猜测得出an的表达式为________．222

解析a1＝2，a2＝7，a3＝13，a4＝19，猜测an＝2

答案an＝

6n－5

n1111

11．求证：1＋2≤1＋2＋3＋＋2n≤2＋n.

1

证明(1)当n＝1时，f(1)＝1＋2，原不等式成立；(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立k1111

即1＋2≤1＋2＋3＋＋2k≤2＋k成立，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋

k111111

＋＋＋≥1＋＋＋＋＋>1＋

22k＋12k＋22k＋12k＋22k＋12k＋12

.6n－5

k2＋

k＋1k1

＝1＋2＋2＝1＋2，f(k＋1)＝f(k)＋

11111111＋k＋＋k＋1≤2＋k＋k＋k＋＋k＋112．(创新拓展)数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．

证明当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，3

n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝2，7

n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝4，15

n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝8.2n－1

∴猜想an＝n－1.

2

用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，2k－1

②假设n＝k时猜想成立，即ak＝k－1成立．

2

那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋12k－12k＋1－1

＝2＋ak＝2＋k－1＝k－1，

22

2k＋1－1

∴ak＋1＝2k，即n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对n∈N*猜想均成立．

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