因式分解所有方法归纳总结
因式分解的十二种方法:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(201*淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a+4ab+4b(201*南通市中考题)解:a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解:m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析:1-3722-21=-19
解:7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。例7、分解因式2x-x-6x-x+2解:2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解:令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6解:令y=x+2x-5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解:a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。例11、分解因式x+9x+23x+15
解:令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。解:设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得
则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
扩展阅读:因式分解知识点归纳总结二
全国中考信息资源门户网站
因式分解知识点归纳总结二
概述
定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。注意三原则1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=-x(3x-1))
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3.公式:a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如:a2+4ab+4b2=(a+2b)2。(3)分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。比如:ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。
同样,这道题也可以这样做。
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题:
1.5ax+5bx+3ay+3by解法:=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。2.x3-x2+x-1解法:=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。3.x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d).
图示如下:×cd例如:因为1-3×72
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
例如:x²+3x-40=x²+3x+2.25-42.25=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5).
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;
2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数
⑻换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
=(x²+x+5)(x+2)(x-1).也可以参看右图。
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0,则通过综合除法可知,该方程的根为0.5,-3,-2,1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
⑽图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。例如在分解x^3+2x^2-5x-6时,可以令y=x^3;+2x^2-5x-6.作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).⑾主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
⑿特殊值法
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7.
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).也可以参看右图。⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+fx、y为未知数,其余都是常数用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解:图如下,把所有的数字交叉相连即可x2y2①②③x3y6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).双十字相乘法其步骤为:
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
多项式因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。”几道例题
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.
解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(补项)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33:x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).(分解因式的过程也可以参看右图。)
当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。
分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
∵a、b、c是△ABC的三条边,∴a+2b+c>0.∴a-c=0,
即a=c,△ABC为等腰三角形。
4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
因式分解四个注意:
因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。现举下例可供参考例1把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误
例2把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的错误。考试时应注意:
在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。
因式分解的应用
1、应用于多项式除法。2、应用于高次方程的求根。
3、应用于分式的运算。
因式分解练习题
(1)(mn)(pq)(nm)(pq)(2)m(mn)2n(nm)2
(3)x4y4(4)(3m2n)2(mn)2
(5)xn13xn2xn1(6)x315x2y16xy2
(7)y3y211y(8)8x842全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
(9)
(11)14b24aba2(12)(a4b)(ab)ab
(13)126a225a4(14)(xy)4(xy)220
(15)(3x22x8)2(x22x8)2(16)(x22x)22(x22x)1
1x3x3(10)3(xy)26(xy)243
(17)(x2)(x3)x24(18)(x22x)27(x22x)8
全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站
(19)x2(ab)16(ba)(20)(x29y2)236x2y2
(21)(x1)(x2y1)y2(22)(x27x6)(x27x8)45
(23)(a2b21)24a2b2(24)(ab1)2a2b22ab
(25)(x1)(x2)(x3)(x4)24
全国中考信息资源门户网站
友情提示:本文中关于《因式分解所有方法归纳总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用,因式分解所有方法归纳总结:该篇文章建议您自主创作。
来源:网络整理 免责声明:本文仅限学习分享,如产生版权问题,请联系我们及时删除。